功的定义中关于位移概念的再思考

张博远

关于功的定义中位移的含义是一个争论已久的问题，焦点集中在关于位移的表述到底应该是物体的位移还是力的作用点的位移存在不同的看法.究竟孰是孰非，下面通过几个典型的实例来探讨这个问题.

先看下面的例子：

例1 质量为m的物块放在光滑的水平面上，绳的一端固定，在绳的另一端经动滑轮用与水平方向成α角、大小为F的力拉物块，如图1示，将物块由A点拉至B点，前进s，求外力对物体所做的总功有多大？

解一 注意W=Fscosα中的s应是力的作用点的位移，当物体向右移动s 时，力F的作用点既有水平位移s，又有沿绳向的位移s，合位移为

小结 此例中的解法1显然是把位移理解为力的作用点所通过的位移.由于此例中物体通过的位移与力的作用点通过的位移不再相等，力F拉动物体做的功理解为沿力F方向通过的位移与力F的乘积；解法二中则是把位移理解为物体的位移.

再看下面的问题：

例2 如图2所示，在恒力F的作用下，将质量为m的物体从A拉至B，A、B间距离为s，滑轮与物体的高度差为H，两次绳与水面夹角分别为α、β，此过程中F做了多少功？ 图2

解析 作用在绳子上恒力F的位移是滑轮左侧A、B两位置绳子距离之差，即

小结 此例当中位移的理解与例1解一类似，仍然认为是力的作用点的位移.

这样看来好像关于位移的两种理解都有道理，到底那种说法是正确的呢？

下面先研究一个实际例子，如图3所示.

在光滑水平面上有两个物体A和B沿同一方向作直线运动，而物体A 的速度v1大于物体B 的速度v2.

又物体A的尾部有一钩子与物体B的上表面接触.设物体B对A的摩擦力为f1，一时间后A的位移为s1，B的位移为s2，在这段时间内，物体B对A的钩子作用的摩擦力做功为W1=-f1s1，与此同时钩子对物体B的作用力f2所做的功是什么？如果按照位移理解为“力的作用点通过的位移”，那么f2对物体B所做的功应该是：

W2=f2s1.

因为f1 =f2这样将上面两式相加，可得一对摩擦力作的总功为零.从这个结果能够说明什么？按照动能定理， 上式意味着两物体的摩擦力并不能改变系统（物体A与物体B）的动能，这显然错误的， 因为滑动摩擦力必定将一部分动能转化为内能使动能减少.此例当中位移理解为“沿力的作用点通过的位移”的观点遇到了无法克服的困难.

图4再看下面的例子，如图4所示，一均质圆柱体沿固定斜面无滑动滚下一段距离s，对斜面来说，圆柱体作用斜面上的摩擦力的作用点由P1转移到了P2，转动位移的大小为s，假如把力的作用点的位移也计算在内，则有，W=f1s，并且这部分功必定转化为内能.但是我们知道在圆柱体做无滑动的纯滚动过程中机械能是守恒的（圆柱体滚动是重力做功的原因），根本不存在机械能转化为内能的现象发生.

由以上二例可见，关于功的定义中位移的确切含义应当非常明确，即用“物体的位移定义”，在高中阶段，由于只研究质点运动的问题，所以可以理解为力所作用的质点的位移.

下面回到本文开始介绍的例子进一步探讨，可以看出这几个例子都是通过滑轮做功的实例.滑轮是由可绕中心轴转动有沟槽的圆盘和跨过圆盘的柔索（绳、胶带、钢索、链条等）所组成的可以绕着中心轴转动的简单机械.定滑轮实质是个等臂杠杆，定滑轮的作用是改变力的方向.动滑轮实质是个动力臂为阻力臂二倍的杠杆，使用动滑轮能省一半力，费距离.其实这里涉及到功和能的关系，比如第二个例子中因为力与物体位移的夹角不断变化，所以直接求解力F做的功比較困难，不妨设想拉动绳子对绳子做功，通过定滑轮改变方向，力F做的功大小等于全部转化为拉动物体做的功（笔者觉得物理中常常假设绳子的质量为零妨碍了对这个问题的理解）.

综上所述，功是整个物理学中的一个重要概念，对于做功应该具备的两个必要因素中位移的正确理解直接关系到功的公式的应用.只有辨析清楚位移的含义为作用在质点上的位移，才能够进一步说明功的物理意义：

功是能量变化的量度.