如何用代数法和几何法解析函数与几何综合题

陆晓平

函数与几何是初中数学中的重点，也是中考重点考查的内容之一。函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化。由于函数与几何结合的综合题灵活多变，能较好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因此不难发现近几年上海数学中考24题一般都是二次函数与几何综合题，进一步研究可以发现其中大部分问题是求满足某一条件的点的坐标。

本文特选一例来谈一谈二次函数与几何综合题中用代数法和几何法求点的坐标，期望能达到抛砖引玉的目的。

本小题有两个直角∠AOB=90°和∠ABC=90°，对“一线三等角”模型熟悉的同学会很容易想到过点C作x轴的垂线，利用相似三角形或锐角三角形来解决，相比前两种代数法，这种几何法的计算量更小。

解得a=10，a=-6或a=0，a=4

∴P（0，1），（-6，4），（4，-1），（10，-4）

本小题已知ΔBCP与ΔOAB，并且很容易找到一对直角对应相等，于是分类讨论就只有两类，很容易把BP的长度求出来，因为点P在直线BC上，容易想到设未知数，用一个未知数表示所求点的坐标，再利用两点之间距离公式建立方程，解出方程的解即可。此代数法容易想到并且不容易漏解，但是相对几何法计算量稍大。

解法二：几何法求点P坐标。

∴PH=4，BH=8 ∴P（10，-4）

∴综上所述：P（0，1），（-6，4），（4，-1），（10，-4）

本小题还可以利用如上平行线成比例或相似三角形对应边成比例的几何法来解决，过点P作x轴的垂线，构成相似三角形或平行线基本图形，利用对应边或对应线段成比例直接解决过点P的垂线段的长度，从而解决点P坐标。相对于前面代数法，这里几何法的计算量非常小，但可能容易漏解。

通过对这个二次函数和几何综合题的分析，我们不难发现，在二次函数与几何综合题中求点的坐标一般都可以用代数法和几何法解决。代数法一般可以利用两点之间距离公式、勾股定理，列出方程，求出方程的解即可求出点的坐标或者利用两个函数解析式联立方程组求出方程组的解即可解决点的坐标。代数法求点坐标的优点是不易漏解，但有时用代数法计算量可能较大，容易算错，还有可能出现高次方程不会解。几何法一般可以过所求的点作与坐標轴的垂线，构成相似三角形、平行线成比例或直角三角形等基本图形，利用相似三角形、线段成比例、锐角三角比或勾股定理求出过所求点的垂线段长度就可以解决所求点的坐标。几何法的优势是计算量比较小，可以使得解题又快又准确，但几何法对作图要求比较高，容易漏解。

（作者单位：上海市奉贤区古华中学）