基于完全学分制选课的数学模型思考

蔡礼渊

【摘要】 当前中国高校在教育改革中推行了学分制，而基于完全学分制选课的算法研究，对提高学生的学习积极性和学校的教学管理水平有着极其重要的意义.

【关键词】 完全学分制；数学；模型

随着高等教育改革的不断深化，学分制的推行和选课管理成为其必要内容之一，建立基于完全学分制选课的数学模型具有十分重要的意义.

一、模型设计构想

完全学分制选课是采集学生上课需求，调配教学资源满足需求的“多元约束”数学模型.在“多元约束”模型里可以定义一个三元信息组{X，D，A}.其中X={x1，x2…xn}是一个有限的变量集合，每一个xi的取值对应一个非空值域Dxi={d1，d2…dN}.C是有限的约束集合.解多元约束问题的办法就是找出在C约束范围下的最优解Xi.

二、建立数学模型

（一）模型元素构建

教学班：Course_Class（CC）.教学管理部门通常会根据选修学生人数和教师、教室等资源情况将选课学生划分成为一个或多个教学班.教学班：CC={课程，选课集合，课程容量，任课教师，周学时，教室需求，其他略}.CC在模型中是最基本的变量集合.选课信息：SS，指学生基本的选课信息.定义为SS={学生，选择课程，优选教师}.教学时间：Time，指最高排课时间.教室：Room，指提供给授课使用的场所以及附带设备的统称.定义为Room={类型，大小，数量}.约束：指使得选课数据能满足排课要求的约束条件.约束1：有前提课程的选课必须满足.约束2：学期最高学分限制.正常学生由于精力的制约选择的课程学习量总和是有限制的.约束3：相近课程的学习.约束4：学生周课时限制.约束5：教师的周课时限制.约束6：同一时间的教室使用量受教室资源的控制.约束7：周教学时间有限.约束8：尽量高地提高选课满意度.

（二）模型的构建和算法的选择

已知数学模型的基本元素，得到多元约束问题中的基本变量集合X={x1，x2，…，xn}，也就是模型中的 A nn.同时，有了基本约束条件A.通过约束条件A，找出 A nn的值域集合D中最大满足学生选课要求和能够排课的解.其中第1、2、3、4、5条约束是很好满足的，而第6、7、8条约束只在第一次选课和教学任务的安排中无法得出结论.当得到第一次选课结果后学校进行教学任务的统筹，给定人数太少不能开课的课程及合并选择人数不够的课程后，确定教学班CC={课程，选课集合，课程容量，任课教师，周学时，教室需求，其他略}.

如何满足约束条件5、6、7得到最佳的解.通过教学任务的确定已知应有多少个教学班，教学班约束矩阵 A nn的阶数，n得到确认.让教学班约束矩阵 A nn中的每一个元素aij尽量小.aij小了代表课程与课程的冲突小，排课时不可排的概率更低.在这里使用聚合算法进行分配.聚合算法变量说明，如果有A教师的B课程有N名学生需求，开出了不止一个教学班，那么就需要进行分班.

1.n1表示A教师B课程的X名学生将被分成的教学班个数.

2.n2表示A教师B课程每个教学班的学生人数上限.

3.N表示选了该门课程的学生人数.

4.n3表示N名学生的选课总门数.

5.aik表示第i名学生选了第k门课程，aik∈{0，1}.

6.ykj表示把选了第k门课程的学生分到第j个班，这是一个决策变量，

目的是使分到第j个班的学生选其他课程的 门数尽量集中.于是有了目标函数minZ=∑ n1 e=1 ∑ n2 j=1 |yj-ye| ；st ∑ N i=1 aik ·ykj≤n2；yj=∑ n3 k=1 ykj为分班人数限制.第j个班由选了ji门课的学生组成，只需要构建一个函数使得它满足上述的要求就能使教学班约束矩阵 A nn中的每一個元素aij尽量的小.

再引入一个量称为阀值，阀值指给定的一个值，只要aij大于这个值就认为第i门课程和第j门课程冲突不能同时排课，aij小于这个值时认为可以排课.有了阀值后，凡aij大于阀值的置为1，小于等于的置为0，aii置为0.得到了一个新的矩阵 B nn， B nn是一个主对角线为0、元素为0，1的主对角线对称简单矩阵.

在不考虑课程周学时和教室的基础上， B nn矩阵的秩就是可以排课的最小时间和.同理，只要 B nn矩阵的秩小于学校的最大排课时间，那么不管排课结果的好坏都一定能进行排课.接下来加入课程的周学时，构造一个辅助矩阵 D i，i指的是第i门课程， D i是主对角线0，1矩阵， D i的阶数m是课程一周最多上课节数，1的数量为i课程的周学时.用 D i替换 B nn中为1的部分得到了一个新的n×m阶主对角线为0、主对角线对称的0，1稀疏矩阵 C ，在这里称之为判定矩阵.只要 C 秩小于等于学校允许排课时间的总量，就认为在不考虑教室的情况下一定能排出课表.

三、小 结

本文探索分析了选课管理系统的相关技术，对系统中的一些关键技术的实现方法进行了研究，并以数学模型的形式阐述了该系统的实现方式，对于提高学校的教学管理水平有着十分重要的意义.

【参考文献】

[1]Geetanjali Arora Balasubramaniam Aiaswamy Nit.C#专业项目实例开发[M].北京：中国水利水电出版社，2007.

[2]刘杨，等.突破C#编程实例五十讲[M].北京：中国水利水电出版社，2002.