这道试题到底错在哪儿？

王淼生

在解题过程中，从局部看，每一步都是严谨、规范的，但从整体审视，其结论存在瑕疵，甚至错误，而且极其隐蔽.笔者在教学过程中就遇到这样一个棘手问题，现整理成文，与同行一起探讨.不当之处，敬请批评指正.

1案例呈现

评注案例1源自某地高三质检题.案例1以平面向量为载体，考查圆、椭圆及最值、范围等相关知识，同时凸显数形结合、转化与化归等思想，是一道集知识、能力、方法与思想于一体的综合性较强的试题.鉴于此，我校高三备课组决定将案例1作为周末作业题.

2解答过程

3遭遇质疑

周一讲评时，学生陈汜玄提出质疑，认为上述解答过程与结论都存在错误，这让笔者大吃一惊！仔细审视上述整个解答过程与结论，似乎每一步都是严谨、规范的.刚好下课，笔者带着满腹疑惑回到办公室，并将这一“突发事件”立即报告同行，请求大家一起研究.

4错在哪儿

4.1熟知结论

让我们先看以下熟悉的试题（以下简称案例2）：

注意到案例2与案例3中的A，B，表面上看，点A，B是椭圆长轴两个端点，其本质则是点A，B关于原点（椭圆中心）对称，因此我们进一步推广得到（以下简称案例4）：

评注上述案例2、案例3及案例4的证明较为简单，请读者自行推理.案例2、案例3及案例4充分说明这样一个事实：一旦椭圆确定，则椭圆上任一点与椭圆上关于其中心对称的两点连线的斜率（假设斜率存在）之积为定值.

4.2重温教材

对于教学中遇到的问题，尤其是棘手的疑难问题，最先自救的是重温教科书.俗话说得好，“解铃还须系铃人.”教科书是离我们最近、与我们最熟悉、跟我们最密切的规范性文本.

相信大家一定记得人教版教科书（文[1]）第二章“圆锥曲线与方程”第二节“椭圆”中例3（第41页），原题如下（以下简称案例5）：

评注文[1]主编特意将案例5与案例6中的坐标设置相同，意在凸显案例5与案例6是从特殊到一般、从椭圆到双曲线、焦点从x轴到y轴，这既是作为本章总复习的综合考查，又是渗透数形结合、分类讨论等系列数学思想的绝佳时机.同时主编暗藏玄机：案例5求轨迹方程，而案例6则是求轨迹，也就是说，案例6不仅要求出方程（代数），更要指出其轨迹（图形）.

4.3疑点浮现

对照上述案例1与案例2、案例3及案例4，可以猜测命题专家当初就是依据上述案例2、案例3及案例4而命制上述案例1.应该说案例1回归教材，以教材为本，确实是一道难得的好题.审视案例5与案例6，不难发现上述解答就是仿照案例5、案例6的两点坐标而构建坐标系.按理说，上述解答过程中的建立平面直角坐标系也是中规中矩，况且平时都是这样建立坐标系.上述案例1的解答步骤似乎规范、严谨，那问题到底出在哪儿呢？是上述解答错误？还是案例1本身有问题呢？

4.3.1定值的本质到底是什么？

上述案例2、案例3及案例4说明：只要椭圆确定，则椭圆上任一点与椭圆上关于中心对称的两点连线的斜率（假设斜率存在）之积为定值.那反过来，若斜率之积为定值，椭圆能唯一确定吗？这才是问题关键所在，这正是学生质疑的地方.

4.3.2学生质疑的依据是什么？

为何案例5所得到的椭圆是唯一确定，而案例1中的椭圆不是唯一呢？请读者仔细对照上述案例1与案例5中细微差异.对于案例5，主编已经确定点A，B的坐标，而案例1中命题专家并没有确定点A，B的坐标，只是给出线段AB的长度而已.由于我们习惯性地“以线段AB所在直线为x轴，以线段AB中垂线为y轴”，并由此而得到点A，B的坐标，即“A（-2，0），B（2，0）.”这样我们人为地将线段AB默认为椭圆的长轴（如图5所示）.

殊不知，上述案例4有力地表明：线段AB不一定必须作为椭圆的长轴，其实只要将线段AB作为椭圆的任意一条中心弦（如图6所示）都可以满足斜率之积为定值.将线段AB默认为椭圆长轴（如图5所示）是最小的椭圆，将线段AB默认为椭圆短轴（如图7所示）是最大的椭圆.当然，不论椭圆多大、多小，只要其斜率之积为确定定值，那么离心率e始终保持不变，这就是“相似椭圆”的由来，这正是学生产生质疑的原因所在，这也正是专家当初命制案例1时所没有考虑到的盲区！图5图6图7说到底，案例2与案例3的逆命题并不成立，换言之，kPA·kPB为定值，此时AB并非就是椭圆的长轴，可能为过椭圆中心任一条弦，更何况，由上述案例6可知其轨迹还不一定就是椭圆，可能为圆或双曲线.

4.3.3“相似椭圆”如何变化？

由上述分析不难得到，尽管斜率之积为定值，但并不能保证椭圆能够唯一确定，而是得到系列“相似椭圆”.那满足条件的“相似椭圆”不断变化时，其|PQ|又是如何变化呢？

其二、上述图8、图9到图10有力地说明前面解答中“以线段AB所在直线为x轴，以线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），”是不恰当的，因为这样构建直角坐标系，就等于默认了线段AB只能作为椭圆的长轴，从而只能得到其中最特殊的一种情况，即最小的椭圆，也就是图8.

实践是检验真理的唯一标准！至此，我们完全可以得出这样的结论：备课组给出的解答过程及答案都是错误的，当然也说明命题专家给出的答案也是错误的.遗憾的是，因笔者功底浅薄，至今还有一些疑惑，在此借贵刊平台，向各位同行请教.比如，案例1本身是否正确？如果案例1正确，那么|PQ|的取值范围到底是什么？如果案例1本身存在瑕疵，瑕疵在哪儿？又该如何修复？以后命制此类相关试题时如何避免犯同样的错误？

5研究教材

教材是专家依据《高中数学课程标准》和学生认知结构编写的教学用书，是课程目标和教学内容的具体体现.教材是经过无数次去粗存精与高度浓缩编写而成的，教材是教师教学的蓝本和依据.正因为教材的特殊地位与作用，教材本身就是专家命制试题的依据与源泉.

命题不仅是一件消耗体力、需要耐力的繁重劳动，更是一种面对危机、充满挑战的智慧结晶.命题之所以出现错误，其原因是多方面的，其中最典型、也是最隐蔽的错误就是自以为对教材熟悉.无论是命題专家给出的参考答案还是上述解答过程，其错误根源都是没有吃透教材.比如上述“以线段AB所在直线为x轴，以线段AB中垂线为y轴”，这就等于默认“以AB作为长轴的椭圆”，这就是没有吃透教材习题（上述案例5与案例6）而导致！

笔者认为，作为教材配套的教师教学用书（即教参）理应与教材一样严谨、规范.遗憾的是教师教学用书还是有一些瑕疵.比如上述案例6，随m不同取值，其轨迹不仅可以是圆、椭圆和双曲线，而且椭圆的焦点也会变化，既可以在x轴，也可以在y轴.因此笔者认为文[2]再版时，应该更加规范、严谨地表述为：

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修21[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中课程标准实验教科书教师教学用书（A版）数学选修21[M].北京：人民教育出版社，2012.