“数”“形”结合，分组探究，相得益彰
2017-03-28王慧慧
王慧慧
【摘要】“指数函数的图像和性质”是苏教版教材必修一第三章第一课时的内容，是学生在已掌握了函数的一般性质之后系统学习的第一个函数。通过对指数函数定义、图像及性质的探究，进一步深化学生对函数概念的理解与认识，从“数”和“形”两个角度得到研究函数性质的方法。在问题探究方式上，采用分组研究的方法，调动学生积极性的同时也让两种方法得到了互相验证，相得益彰。
【关键词】指数函数；教学设计；教学反思；数形结合；分组探究；思维方式
一、对教学几个环节的认识和重构
1.问题引入，得出概念
师：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，3个分裂成8个……一个这样的细胞，分裂x次后，你能求出细胞分裂的个数y与x之间满足的关系式吗？
生：y与x之间的关系式，可以表示为y=2（x∈N*）。
师：有1根长1米的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半……剪了x次后绳子剩余的长度为y米，试写出y与x之间满足的关系式。
生：y=（）（x∈N*）
这两个都是实际问题，让学生感知到这种函数在实际情境中经常会用到，且和以往学过的函数不同，从而体会学习新知的必要性。虽然从实际背景中抽离出两个数学模型，但是两个函数定义域都是N*，多多少少会给部分学生造成一定误解，好像指数函数定义域只可取，所以可以考虑换一个定义域不是N*的实际例子，比如：
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%，如果经过x年，该物质剩余的质量为y，那么该如何描述这两个变量的关系？
之后，还要说明这两个变量的关系式都是函数表达式，既然是函数，又和以往的不同，那这种函数的一般形式是什么，取个什么名字比较好，那么这些问题就比较自然了。
2.指数函数概念的理解
新课标在知识与技能层面要求学生掌握指数函数的概念，并能根据定义判断一个函数是否为指数函数。因此针对一些学生不太清晰或易错的点要指明。比如判断y=5×3，y=3，y=-3是不是指数函数。通过以上这三个小问题学生就知道了判断一个函数是不是指数函数的标准：经过整理后的形式符合：（1） ax的系数是1；（2）a的指数是x；（3）a大于0且a不等于1。三个例子中，y=3是指数函数。这样就对一些同学的错误认识，即只通过看指数位置是否为自变量来判断是否是指数函数，提前做了规避，加深了对指数函数概念的理解。
3.數形结合得出指数函数性质
新课标在过程与方法层面上要求：（1）通过探讨指数函数的概念，感知数学概念的严谨性和科学性；（2）在学习指数函数过程中体验研究具体函数的过程和方法，如从特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想方法。但在实际应用数形结合思想来发现性质时，可能会出现一些问题。
在指数函数的性质得出的过程中，不少老师可能会让学生通过几个具体指数函数的图像来研究，因此会列表，描点，连线。但如果仅仅如此，会有学生在作图时出现不标出定点（0，1）的情况，导致在观察图像时总结不出图像过定点的结论，原因是他们在列表时就没想到让x取0。
为了避免这个问题，一方面我们可以通过类比的方法来解决。比如我们在画二次函数图像时，虽然是画草图，但草图上也会标出函数的顶点，以及与坐标轴的交点（若有的话）。由此观察图像，得出指数函数过（0，1）定点。这是从“形”的角度来考虑。
另一方面，我们研究函数的性质可以先从函数解析式出发，从“数”的角度得出此函数会有哪些性质。比如，（1）当x=0时，y=1，所以过（0，1）；（2）奇偶性：定义域是R关于原点对称，但a-x不恒等于 ax，也不恒等于-ax，所以指数函数不具有奇偶性，是非奇非偶函数。（3）单调性：不妨先考虑x取正整数的情况，此时y=ax 就是x个a相乘，所以a>1和0
当然除了从“数”的角度来分析，还要让学生动手画图（列表，描点，连线），从“形”的角度加以验证。通过实物投影展示学生作图，加以对比分析，总结性质。同时借助几何画板，展示规范作图和当a取不同值时的函数图像，一方面验证指数函数性质，另一方面引导学生发现指数函数其他可研究的内容。
4.比较值的大小
（1）1.5，1.5 ；（2）0.5，0.5； （3）1.5 ，0.8
除了通过构造指数函数，借助函数单调性来比较值大小外，可能会有学生想到借助作差或作商的方法来比较大小，比如，1.5-1.5=1.5（1-1.5）或者=1.5，不论哪种方法最后还是要借助指数函数的单调性或图像来比较，因为由指数函数y=1.5的单调性可知，1.50.7>1，所以1.5>1.5。由此可以总结，在处理比较值大小的题目时直接借助指数函数的单调性来解决更好。切不可对学生作差或作商的想法直接予以否定，强行中断思路，强行引导到构建指数函数的思路上来。（3）可分别借助y=1.5，y=0.8的图像，观察出两个值的大小，学生会自然发现要和1比较。最后总结：在比较不同底的函数值大小时，要寻求中间数来比较，这个中间数常会考虑1，熟练掌握后可不用画图。总之，在刚接触这类题目时，教师应调动学生学习积极性，让学生畅所欲言，感受思考带来的乐趣，学生通过自主探究，归纳出处理这类问题的最优方案。
经过前面四块内容的改进与重构，下面概述一下这节课整体的教学设计（部分内容已在前面详述，不赘述）。
二、改进后，我的教学设计
1.创设情境
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，3个分裂成8个……一个这样的细胞，分裂x次后，你能求出细胞分裂的个数y与x之间满足的关系式吗？
问题2：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%.如果经过x年，该物质剩余的质量为y，那么该如何描述这两个变量的关系？
（1）对于关系式y=2 （x∈N）和y=0.84 （x∈（0，+∞））
让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：
①它们能否构成函数？有什么共同特征？
②是我们学过的哪个函数吗？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？
（2）让学生讨论并给出指数函数的定义，同时根据定义，由学生讨论给出a的范围，即a>0且a≠1。
之后，教师可通过让学生写出指数函数式的方式来判断学生是否理解指数函数概念，也可写出一些解析式让学生判断，如计y=5×3x，y=32x，y=-3x。
2.数形结合，分 组探究，归纳指数函数性质
（1）提出问题，集思广益
问题3：你打算如何研究指数函数的性质？
问题4：一般研究函数哪些性质，你打算怎样研究？
设计意图：学生的思路基本会分成两类：一类尝试通过逻辑关系的探究，得出定义域、值域及单调性、奇偶性等，这类学生的逻辑思维能力较强；而另一部分学生则想通过画函数图像的方法去判断，这类学生是以形象思维为主要思维方式。这恰恰也反映了高中生在数学学习上表现的两种典型思维：形象思维和抽象思维。
（2）分组活动，合作学习
按学生思路，将学生分为两组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数性质，一组借助列表、描点、连线的作图方法，通过观察图像研究指数函数性质。
（3）展示交流、逐步完善
教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，先让组一同学的代表从代数角度上台展示其研究成果，其他组员可对其进行补充完善。再让组二同学结合自己画的图像，利用投影仪展示对前面组一同学的结论进行评价，最后教师对两组同学的成果以及表现进行点评，并用几何画板展示不同的指数函数图像，与学生一起从“数”、“形”两个角度对比得出指数函数的性质。当然，还可以抛出问题让学生留作思考：除了定义域、值域、单调性、奇偶性外，你是否还发现了其他的性质？
设计意图：这一环节一方面让学生从两个角度（代数、几何）合作探究，自主得出了指数函数的性质，让学生对新知识理解得更加透彻，掌握得更加扎实，印象更加深刻；另一方面，探究的过程就是学生独立思考，合作学习，并展示自我的过程，这体现了教学中“以学生为主体”的启发性教学原则，发挥了学生学习的主动性，激发了其对数学学习的兴趣，启迪其思考，利于其思维水平的提高。同时，这种探究过程能提高学生语言的表达能力和展示自我的勇气，符合我们本节课对情感态度价值观这一教学目标的要求，同时也为我们以后研究其他函数的性质指明了方向。
3.鞏固训练，提升能力
例1.比较下列各组数中两个值的大小：
（1）1.5，1.5 ；（2）0.5，0.5； （3）1.5 ，0.8
例2 .（1）已知 3≥3，求实数x的取值范围；
（2）已知0.2<25，求实数x的取值范围；
4.课堂小结
（1）本节课我们学到了什么新知识？
（2）回顾我们的研究过程，我们是怎么研究指数函数的。
三、教学反思
（1）本节课的重难点在于如何引导学生研究并归纳出指数函数性质。数形结合的思想方法是高中常用数学方法之一，也反映了高中生的两种思维方式：抽象思维和形象思维。教师在这一环节中，引导学生从“数”和“形”两个角度研究函数，避免了学生一些易犯的错误，让学生知其然，知其所以然，明晰研究和思考的全过程，在实际教学中也取得了很好的教学效果，也为以后如何研究函数指明思路。
（2）交流是教学活动最基本的形式，在这一阶段，教师给学生提供了一个各抒己见、真实表达自己思路、充满对话交流的开放性场景，组织学生讨论、辩论，互相启迪，互相评价。在深化知识点的同时，让学生明白不仅要倾听和理解他人，还要学会正确的表达自己。本节以学生讨论交流为主，教师适时点拨，发现和捕捉学生思维亮点的同时，引发学生更高层次的体验和感悟。
（3）数学教学是数学思维活动的教学，数学学习只有学习者参与思维活动才有效。教师应让学生充分思考，去探索问题，在探索中解决问题，在解决问题中引发更深的新问题。只有不断探索、解决问题，学生的思维能力和创新能力才能得到有效的发展。我们应该坚持关注学生的体验，在课堂上给学生更多思考的时间和空间。
【参考文献】
[1]祝世清.人教A版选修（2-2）：一道习题解答的勘误[J]. 中学数学教学，2008（5）.
[2]高中数学教学参考书（必修1）[M]. 江苏凤凰教育出版社，2012.
[3]数学教育研究导引[M].江苏教育出版社.
[4]陈向阳.指数函数教学设计[J]. 中学数学月刊，2010（11）.
