高三数学复习课的探究式教学设计

王海滔　朱海燕

摘 要：新课标中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的主要方式。”在高三教学专题复习教学过程中，不仅应着眼于对知识的深化和方法的拓展，而且要重视渗透数学思想方法，在探究过程中培养学生辨析能力和反思能力。

关键词：探究；反思；思维；激活；拓展

高三复习课，贯穿整个高三数学教学的始终，许多教学重点、难点以及学生的易错、易混淆的知识点和题型，都需要通过复习课来强调、落实、辨析和纠正。在新课程背景下，课堂教学改革要求精心设计课堂教学程序，优化教学过程，从而提高教学效率，特别是在高三教学专题复习教学过程中，不仅应着眼于对知识的深化和方法的拓展，而且要重视渗透数学思想方法，在探究过程中通过变题、编题培养学生的辨析能力和反思能力。

本文就一节《导数与不等式综合应用》的高三复习课为例，结合自己的一些体会，把这节课的教学过程加以细化和整理，以教学设计的形式呈现给同行，敬请指教。

一、教学背景

上节课复习了导数在函数中的简单应用（求单调区间和极值、最值等），呈现作业：已知函数f（x）=2lnx+（a∈R）。（1）求f（x）单调区间；（2）求f（x）在[1，2]上的最小值。答案如下：

（1）f ′（x）=（x>0），当a≤0时，f（x）增区间为（0，+∞）；当a>0时，f（x）减区间为（0，），增区间为（，+∞）。

（2）分类讨论可求得當a≤1时，f（x）min=a；当1

二、教学设计

1.基本应用问题，一题多解——激活思维

教师：今天，我们继续由作业题中的函数f（x）=2lnx+（a∈R），一起来探讨导数与不等式综合应用的有关问题。思考下列问题，寻求一题多解。

问题（1）：若f（x）在[2，3]上是增函数，求实数a的取值范围。

问题（2）：若x∈[1，2]时，f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围。

问题（1）学生回答有这样三种解法。

解法1：等价转化为f ′（x）≥0，即x2-a≥0在[2，3]上恒成立，结合y=x2-a图像，只需22-a≥4，故a≤4。

解法2：同样等价转化为f ′（x）≥0在[2，3]上恒成立，分离变量得，只需a≤（x2）min，故a≤4。

解法3：利用作业中已求出的单调区间，只需[2，3]是增区间子集，故a≤0或0<≤2，故a≤4。

问题（2）学生回答有这样两种解法。

解法1：不等式恒成立直接转化为f（x）min≥2，利用作业中最小值的结果，转化为解不等式组取并集，即a≥42ln2+≥2或1

解法2：由f（x）≥2分离变量得a≥2x2-2x2lnx，设h（x）=2x2-2x2lnx，x∈[1，2]，只需a≥h（x）max，易得出h（x）max=h（）=e，故a≥e。

教师：尝试改变题目的条件，进行变式，并说出求解思路。

学生：问题（1）变式：在[2，3]上是减函数呢？转化为f′（x）≥0在[2，3]上恒成立。

解题思路：转化为f ′（x）≤0在[2，3]上恒成立。

问题（2）变式：存在x∈[1，2]，使f（x）≥2成立呢？

解题思路：直接转化为f（x）max≥2或分离变量后只需a≥h（x）min。

课堂上，学生通过一题多解，变式编题并及时解答，完全融入到自主学习中，学生的解题思维充分被激活，探究热情被充分激发，课堂气氛非常轻松活泼。

教师引导学生总结反思：

问题（1）、（2）常有哪些解题基本方法？

学生归纳总结：问题（1）已知函数某个区间单调性，求参数取值问题，常用方法有等价转化为导函数大于等于或小于等于0恒成立问题，或等价转化为已知的单调区间是原函数相应单调区间的子集问题。

问题（2）处理不等式恒成立问题，或能成立（存在性）问题，一般方法有抓住主元直接求最值法、分离变量法、数形结斜率公式合法等，但解题要选择最优解法，能避免分类讨论的尽量避免，故问题（2）中分离变量法比较简洁。

2.形同质异问题，辨析归纳——拓展思维

问题（3）：当a=-4时，若对任意的x1，x2∈[1，2]，使f（x1）-f（x2）≤M恒成立，求实数M的最小整数。

学生1：要使原不等式恒成立，只需（f（x1）- f（x2））max≤M。

教师：如何求f（x1）-f（x2）的最大值。

学生1：f（x1）-f（x2）=2lnx1+-2lnx2+=……

学生2：这样不能求f（x1）-f（x2）的最大值，因为有2个自变量x1，x2。因f（x1）和f（x2）取值范围相同，所以只要求出f（x）在[1，2]的最大值、最小值，它们的差就是f（x1）-f（x2）的最大值。

很多学生都有同感，教师给予了及时的表扬，课堂气氛非常融洽，接着和学生一起板演了解题过程。

问题（4）：设g（x）=x2+2x-6，若对任意的x1，x2∈（1，2），使f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a取值范围。

学生分小组讨论，并派代表讲解解题思路。

学生3：等价转化为f（x1）min≥g（x2）max，即f（x1）min≥2，x∈[1，2]，就转化为问题（2）中的解法1。

学生4：两个变量恒成立，逐个处理，对x2∈[1，2]，只需f（x1）≥g（x2）max即f（x1）≥2，再用问题（2）中的分离变量法求解。

教师：比较问题（3）、（4），并继续尝试改变题目的条件，改编题目。

学生：问题（3）变式：若存在x1，x2∈[1，2]使用 f（x1）-f（x2）≥M成立呢？

解题思路：等价转化为（f（x1）-f（x2））max≤M

问题（4）变式1：若存在x2∈[1，2]，使对任意的x1∈[1，2]有f（x1）≥g（x2）成立呢？解题思路：等价转化为f（x1）min≥g（x2）min。

问题（4）变式2：若存x1，x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）成立呢？

解题思路：等价转化为f（x1）max≥g（x2）min

教师引导学生总结反思：对于这些形同质异的问题，学生往往觉得亲切、熟悉，但易成问题失误。学习中通过变式探究、辨析和归纳，反思他们的内在联系和规律，这将提高同学们分析解决问题的能力和思维能力。比较问题（3）和（4）及变式题，反思它们的解题关键有何区别和联系？

学生5：都是含双变量不等式恒成立，或能成立（存在性），求参数取值范围问题。（3）是研究同一个函数，（4）是研究两个函数。处理不等式恒成立或能成立问题的关键点仍然是直接或分离变量后转化为求最值。

3.综合困境问题，联想化归——升华思维

问题（5）：若a<1，对任意的x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，都有|f（x1）-f（x2）|>4|x1-x2|成立，求实数a取值范围。

教师把时间充分地留给学生。学生们经过理性思考和深入讨论后，有同学有了一种解法。

学生6：联想到斜率公式，不等式变形为>4恒成立，只需|f ′（x）|>4，通过画图，感觉上就是。

此时，教师引导学生一起通过画图，说明已知 f（x）是连续光滑曲线。f（x）图像上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），f（x）图像上必存在点P，使过点P的切线与AB平行，故只需|f ′（x）|>4，x∈（1，2）。即|f ′（x）|=>4对x∈（1，2）恒成立。再转化为a<（x2-2x3）max，得a≤-12。

学生7：不等式含有绝对值，考虑怎样去掉两个绝对值。不妨令x1>x2，因a<1，故f（x）在[1，2]递增，则f（x1）>f（x2），这样就去掉了两个绝对值，不等式可以化为f（x1）-f（x2）>4（x1-x2）……①

教师：为什么可以不妨令x1>x2？可以怎样变形①式，怎么转化为熟悉的问题？

学生7：不等式关于x1，x2对称，变形为f（x1）-4x> f（x2）-4x2……②，设函数F（x）=f（x）-4x，则②式为 F（x1）>F（x2），对x1，x2∈[1，2]恒成立。于是转化为F（x）在[1，2]上單调递增，求a取值范围。

教师引导学生反思，第二种解法成功的关键在何处？关键是根据单调性去掉不等式中的绝对值，变形成②式，再构造函数F（x），把双变量不等式恒成立问题转化为新函数单调性问题。

教师：我们继续尝试改变题目条件，来比较两种方法的优越性。

问题（5）变式1：改变a的范围，比如a∈R，求a取值范围。

学生8：选择问题（5）解法一较简单。如果选择解法二，要对a分类讨论单调性来去绝对值，太复杂。

问题（5）变式2：不等式变为|f（x1-f（x2）|<（7-a）ln呢？

学生9：不能用问题（5）解法一解，选择解法二，不等式变形去绝对值。不妨令x1>x2，则f（x1）-f（x2）<（7-a）（lnx1-lnx2），即f（x1）+（a-7）lnx1

设函数H（x）=f（x）+（a-7）lnx，于是转化为H（x）在[1，2]上单调递减，下略。

这节课围绕着五个问题，同学们经过一番理性思考与深入探究变题，及时辨析、反思、总结。以导数为载体，把函数单调性最值问题与含参不等式恒成立、能成立问题搭建了一座畅通的互相转化的桥梁。学习中，无时不渗透着数学思想，特别是分类讨论思想、数形结合思想、化归思想。在一题多解、一题多变的探究性学习中，同学们主动参与，思维活跃，讨论也很激烈，从而真正达到做一题，会一类，通一片，进而建立知识模块，形成知识网络。事实上，从一道平凡的例、习题出发，经过不断地思考、拓展，就能成为一批经典的数学问题。

三、教学反思

1.教师精选例题，做好专题复习教学的策划设计和调控

衡量一堂课高三数学专题复习课成功与否的关键在于学生参与的程度，而学生的参与与例题的选取有密切的关系。在专题复习教学中应复习巩固重点知识为目标，设计高质量的例题，既要考虑重点知识的基础性，又要考虑重点知识的综合性。因此，在复习课中，我们也应该控制好例题的难度，要使得绝大多数学生都能做，要让绝大多数学生通过“跳”后都能“摘到桃子”，否则，会严重地伤害学生做题的积极性。要建立良好的专题教学氛围，教师发挥好主导作用是关键，在专题教学过程中，教师应当成为参与者、促进者和调控者。当学生的思维受阻时，给予启发和引导；当学生回答有偏差时，给予点拨。可针对解题过程中出现的问题，适当地组织学生进行讨论。

2.围绕探究组织教学，拓展学生的思维空间

在独立探究的基础上，学生在课堂上展示自己的思维方法和解决问题的方法，教师给出恰当的鼓励评价，这样既增强了学生学习的自信心，又提高了学生主动探索的能力，当学生的思维处于被激活的状态时，学生的创造性思维才能得以激活。因此，教师要适当地运用鼓励和评价的手段，以提高课堂教学效率。“耳听眼看终觉浅，绝知此事要躬行”，在教学中，教师指导学生编题，不但可以使学生加深对解题思路方法的理解，掌握典型题目的解题规律，而且可以使课堂教学充满生机和活力，有利于培养学生的探索能力和创新精神，有利于学生自我意识和独立人格的形成，有利于形成全面深刻的数学观。教学过程中，不仅应着眼于对知识的深化和方法的拓展，而且要重视渗透数学思想方法，在探究过程中培养学生辨析能力和反思能力，真正激活、拓展、升华学生的数学思维。

总之，高三数学专题复习课堂教学中，教师要时时刻刻注意给学生提供参与的机会，体现学生的主体地位，充分发挥学生的主观能动作用，只有这样才能收到良好的教学效果。让我们记住关于教育的一句世界性名言——告诉我，我会忘记；分析给我听，我可能记住；如果让我参与，我会真正理解。

参考文献：

张乃达.数学思维教育学.

（作者单位：浙江省温岭市第二中学）