创新中的高考数学

范慧芝

【摘要】“相对稳定，重点突出，稳中有变，变中求新，适度创新”是高考数学命题的基本原则，高考求新是变化的必然趋势。推陈出新，是谓创新；创设情景， 是谓创新；定义新概念，是谓创新；方法创新， 是谓创新；大学接轨，是谓创新。

【关键词】高考数学 试题 创新

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）01-0141-02

高考数学命题一般是遵循“相对稳定，重点突出，稳中有变，变中求新，适度创新” 的基本原则。高考要“稳”就是说有许多“常规题”，复习时应按“样题”进行训练。高考有“重点”，就是说做到重点知识重点复习。高考有“变”，就是说有一些“新问题”、“新方法”、“新知识”等。高考求新是变化的必然趋势：在课程改革的大背景下，创造性地融《高中数学课程标准》倡导的新思想、新观点、新理念于高考命题之中，“围绕对数学知识、理性思维、数学应用与创新和数学人文价值等四个方面的考查设计试题”，努力开发一些融知识、方法、思想、能力与素质于一体的背景新颖、内涵深刻、富有新意的原创题型，使数学的文化性、应用性与理论性能有机结合与相互渗透， 真正考查出考生的学习潜能和个性品质。这些试题是怎么进行创新的呢？下面结合高考题和模拟试题谈谈自己的看法。

1.推陈出新，是谓创新

各课改版本的教材是高考命题的主要依据和试题的基本来源，把老题进行改编也是试题的一个来源。

例1 一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进（如图），现在小船在水平P点以南的40米处，汽车在桥上以西Q点30米处（其中PQ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 。（不考虑汽车与小船本身的大小）。

分析 本题是我们非常熟悉的一个数学模型，通过植入实际问题给予包装，给了我们全新的感觉。其实，解决问题的实质是没有变化的。

说明 回顾近年来的试题，那些最有冲击力的题，往往在我们的意料之外，而又在情理之中。

2.创设情景， 是谓创新

表现在所给数学问题的知识背景、生活背景、设问方式或外形结构等较为新颖。

例2 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”；乙说：“甲未获奖，丙也未获奖”；丙说：“我获奖了”；丁说：“是乙获奖了”。四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的 。 解析 乙的意思是“乙或丁获奖”。因为甲、乙、丙、丁都没有说甲获奖，所以获奖的一定不是甲。假设获奖是的乙，则甲、乙、丁说的都对，与只有两句是对的矛盾，所以获奖的也不是乙。假设获奖的是丁，则甲、丙、丁都不对，也矛盾。

故获奖的是丙。此时，甲、丙是对的，乙、丁是错的，符合题设。

3.定义新概念，是谓创新

定义新概念，让考生在陌生的知识中即时学习，并解决问题，显得公平、公正，这类问题命题者非常喜欢。

例3 现定义命题演算的合式公式（wff），规定为：

A.单个命题本身是一个合式公式

B.如果A是合式公式，那么？劭A是合式公式

C.如果A和B是合式公式，那么（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？圮B）都是合式公式；

D.当且仅当能够有限次地运用A、B、C所得到的命题是合式公式。

说明：考生无需知道（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？圮B）所表示的具体含义。

下列公式是合式公式的是： ___________.

①（（？劭P→Q）→（Q→P））） ②（Q→R∧S） ③（RS→T）

④（P？圮（R→S）） ⑤（（P→（Q→R））→（（P→Q）→（P→R））

解析 在①中，满足A、B、C、D所有条件，但是由于其右边括号的影响（多添加了一个括号），造成其不是合式公式；②中没有对（Q→R∧S）进行具体划分，两种命题运算符不知道哪个先，所以②不是合式公式；③中R与S之间缺少必要的命题运算符，所以该式不是合式公式；④、⑤符合题目要求，是合式公式。

4.方法創新， 是谓创新

例4 如图，有8个村庄分别用A1，A2，…，A8表示。某人从A1出发，按箭头所示方向（不可逆行）可以选择任意一条路径走向其他某个村庄，那么他从A1出发，按图中所示方向到达A8（每个村庄至多经过一次）有________种不同的走法。

解析 可以从特殊情况出发，看他们的规律：为方便计，设从A1到Ai的走法有ai种，则容易看出a2=1，a3=2，a4=3，a5=5，发现a4=a2+a3，a5=a3+a4，所以a6=a4+a5=8，a7=a5+a6=13，a8=a6+a7=21，所以从A1出发，按图中所示方向到达A8（每个村庄至多经过一次）有21种不同的走法。

也可以画出树状图来分析求解。本题实质是斐波那契数列的一部分，是世界名题在初等数学中的应用，所谓斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21，34，55，89.…，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。世界名题的特殊化，本来就是命题的一个热点，不可忽视。

说明世界名题的特殊化也是创新。

分析 设|OA|=x则x>1，SⅡ与SⅣ均为常数。

设SⅠ=f（x），SⅢ=g（x），则f（x）在（1，+∞）上为增函数，g（x）在（1，+∞）上为减函数。故函数y=f（x）-g（x）+SⅣ-SⅡ为（1，+∞）上的增函数，且x→1时f（x）→0，g（x）→+∞，∴y→-∞；同理x→+∞时，y→+∞。因此，有且仅有一个下x值使y=0，故应选B。

点评 本题考查了“有限与无限思想”，很有味道，也是创新。

5.大学接轨，是谓创新

高等数学中的基本思想和基本题目为高考命题提供了背景，这类问题起点高，但落点低，也就是所谓的“高题低做”，即解决的方法是中学所学的初等数学知识。

点评 本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

总之，高考命题的来源，一是各课改版本的教材和试题；二是往届高考题，这是“借鉴”和“稳定”的需要；三是教材与《课程标准》的交集已经成为命题的创新地带（因为命题者希望试题具有时代气息）；四是以高等数学中的基本思想和基本题目作为问题背景（因为命题组成员大都是高校老师，因此在命题时不可能不受自身的学术背景的影响）；五是新高考关注“活题”空间 ，比如探索性试题、“合情推理”题、“类比推广”题，等，而解答创新性数学问题，一是要读懂题意，通过转化，化“新”为“旧“；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”。