对称美在高中数学解题中的应用

江苏省张家港高级中学 张新秀

对称美在高中数学解题中的应用

江苏省张家港高级中学 张新秀

罗丹说过：“生活中不是缺少美,而是缺少发现美的眼睛。”对称美是数学美中最典型的代表之一，教学中如果能够带领学生去发现隐藏在数学问题中的对称美，将能够冲淡学生学习数学时的枯燥感，增强学习数学的兴趣。在教学中，我常常在以下几个方面培养学生在解题中感受和发现对称美的意识：

一、运用数学图形的对称美寻求解题思路

图形的对称美常常体现在对称轴和对称中心。无论是一个图形本身的自对称，还是两个图形之间的互对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，而对称中心则是任意两个对称点的中点。抓住了对称的本质，就抓住了解题的关键。

例1 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x,则f（7.5）= __________。

解析：∵f（x）是定义在R上的奇函数，点（0,0）是其对称中心，

又∵f（x+2）=-f（x），即f（x+1）=f（-x），

∴x=1是y=f（x）的对称轴。

∴y=f（x）是以2为周期的函数，

∴f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-0.5。

评析：函数奇偶性即函数对称性，正确应用对称性导出周期性，是解题的关键。

二、运用数学关系的对称美寻求解题方法

数学中存在着很多“对称”关系：乘幂与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等等。利用对称关系来构造辅助项，能得到较为巧妙的解题思路。

例2 计算p=sin10°sin30°sin50°sin70°。

解析：利用三角函数中的正弦与余弦的对称关系，构造一个与p对称的关系式：

设q=cos10°cos30°cos50°cos70°，则：

pq=（1/2）4sin20°sin60°sin100°sin140°=（1/2）

cos70°cos30°cos10°cos50°=（1/2）4q，

评析：这里为求p而巧设q，解法巧妙，呈现了均衡的对称美，令人愉快。用对称美的观点去审题、解题，有利于培养学生的综合能力，挖掘题目的内在规律，从而抓住本质，变难为易，轻松地解答数学题。

解析：只要在“对称”上认真思考，就不难发现下面的简单方法：在x上取关于对称的两点，如，由图像的对称可知，它们对应的函数值相等，从而很快得到a=-1。

评析：在数学解题过程中考虑对称美的因素，运用对称美思考，可启迪人的思维，起到事半功倍的效果，有助于培养思维的深刻性。

三、运用数学思想的对称美，寻求解题灵感

题感，就是我们常说的解题直觉，指未经过一步步的逻辑分析或无清晰的逻辑步骤，而对问题直接的、突然间的领悟、理解或给出答案的思维，通常称之为灵感。直觉思维在问题解决中具有重要的作用，许多数学问题都是先从数与形的直觉感知中得到某种猜想，然后再进行逻辑证明的。

例4 给定半径为R的圆，求内接于圆的面积最大的三角形。

解析：圆是最美、最对称的平面图形，最能填满圆的三角形，在完美性上就必须最接近圆，因而，这个三角形必须具有最多的对称性。故我们设想正三角形比其他三角形更能最大限度地“填充”圆。

类似的，利用对称思想，我们还可以得出内接于圆的具有最大面积的n边形必定是正n边形。不但如此，我们还可以得出内接于球的具有最大体积的四面体必是正四面体等一些结论。

评析：对称思想可以帮助我们实现猜测，增强数学预感。

运用对称美解题是一种给人以自由感受的教育，有助于学生摆脱思维定式的影响，特别有助于学习者非逻辑思维活动的展开。教师可以根据学生的知识水平，有计划地训练学生从整体出发，根据数学的对称美的特征，用猜测、跳跃的方式直接而迅速地找到答案。

除了以上的两道习题外，像用一根“断尺”来测量物体的长度，家里的电表、水表读数等一些问题，都是很有针对性的一些变式。

教学实践证明，迁移教学能有效地落实课堂素质教育，它注重“四基”的落实(“四基”只有达到一定的程度，才能有效实施迁移)和能力的培养(特别是观察、比较、分析、动手操作、综合概括能力)以及注意联系生活实际，培养学生开放性、创新性思维，有利于提高课堂教学效率，减轻学生负担，全面提高学生的综合素质。

迁移是数学学习中的一种普遍现象。正是由于迁移，学生掌握的数学知识才能以某种方式联系起来，并能够在解决数学问题的过程中发挥作用。数学新知识的掌握总在某种程度上改变着已有的数学认知结构，学生对已经掌握的不同数学知识进行组合，往往可以形成新的数学知识。诸如此类的数学知识之间的相互影响，都是数学学习的迁移现象。