紧密结合，水乳交融—试析函数教学中实现数形结合思想的途径

福建省大田县第六中学 魏育玲

紧密结合，水乳交融—试析函数教学中实现数形结合思想的途径

福建省大田县第六中学 魏育玲

在学生函数知识的形成过程中有效地渗透“数形结合”数学思想，有助于发展学生的抽象思维能力，培养学生的逻辑思维。在函数学习与具体函数问题解决的过程中，问题往往会是从不同的角度进行切入的，教师需要引导学生把数形结合作为一种自觉的意识，及时把尚未在问题中呈现的相关信息补全，解决问题后需要进行具体的方法总结，从而真正让学生由“学会”走向“会学”，实现函数学习的增值。

函数教学；数形结合；数学思想；切入

现实中不少教师都会遇到这样的现象：我们讲了不少题目，但学生总是只会局限于模仿型解题的水平，只要具体条件稍作变动，他们就会不知所措。为何会出现这样的情况？究其原因还是在于教师指导过程中的就题论题，没有将解决策略上升到方法的层面，更没有提高到数学思想的高度。可见在数学教学中使学生掌握一定的数学思想方法，让学生把具体的知识消化吸收为有个性的数学思想，对学生来说是至关重要的。

说到函数学习，很多师生会脱口而出“数形结合”四个字，似乎数形结合已经成为解决函数问题的不二法门。教学实践也表明，在学生函数知识的形成过程中有效地渗透“数形结合”数学思想，有助于发展学生的抽象思维能力，培养学生的逻辑思维，培养学生的创新意识，提升学生的综合数学素养。

一、借形析数，开拓解题思路

现行初中数学教材比20世纪已经明显减少了难度，但对于初中生来说，函数依然是一块相对抽象的内容。为了化解理解上的难度，开拓解题思路，通过形的直观来分析数的抽象是必然之路。

坐标系是构成函数的必要元素，也是函数图像得以体现的基础，教师应进行有效引导，促进学生理解函数知识，并逐步将知识引向深入。比如“正比例函数”的教学中，教师通过让学生观察图像、了解了表达式y=kx（k≠0）的意义与函数的基本特征以后，可以把画一次函数y=kx+b（k≠0）图像的机会让给学生，让他们自己去分析、观察与探究，让学生理解数与形二者的关系。通过观察，学生可以发现函数在坐标系y轴上的截距就是b值，图像与x轴的交点是，根据“两点确定一条直线”，学生就可以画出这条直线了。当然具体教学中，这儿的字母还是用具体数字来表示更加直观，也易于学生理解。随着不断的画图与尝试，学生就可以总结出上述规律来了。就这样，教师通过让学生对正比例函数图像画法进行迁移，实现了学生的自主探究，实现了函数学习的数形结合，让学生感受到了借形析数的好处。以下通过解题进行继续分析：

112233

像上的三个点,且x1＜0＜x2＜x3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）。

A.y3＞y1＞y2B.y1＞y3＞y2

C.y2＞y1＞y3D.y1＞y2＞y3

图1

如图所示，∵x1＜0＜x2＜x3，画图可得点A在第二象限，点B与C位于第四象限，∴y1＞y3＞y2。

点评：解决这道题，曾经有学生用具体数字来尝试分析问题，比如取x1=-1、x2=1、x3=2，然后找到y1、y2、y3的值，也可以解决问题，但幸好这是选择题，如果这道题变成问答题，这种举实例的方法难免缺少说服力，因为字母可以表示数，但字母并不只表示特定的数，而通过画图方法不但能很快找到三个纵坐标的位置，从而直观地比较纵坐标的大小，而且通过数形结合为以后的解题找到了门径。命题者故意不给学生画出图像，其意图也非常明显——考查学生对函数图像的分析能力，培养学生数形结合的数学思想。具体解答这类题目的过程中，学生需要根据平时所学把图像补画出来，然后再具体问题具体分析。

二、以数解形，回归函数本质

“以数解形”指的是在函数学习的过程中，将函数的图像信息转化为代数信息，促进对于函数解析式的代数思考。

分析：根据题目所给的图像分析，可以判断系数k＞0，即3-m＞0，故m＜-3。本题主要考查了反比例函数的图像性质，要掌握它们的性质才能实现灵活解题。

AB⊥x轴于B，且S△AOB=3，求k的值。

图2

分析：这类三角形面积与函数图像结合在一起的题目有一定的综合性，不少学生一开始找不到解题方向，虽然题目中还给出了图像，省去了学生画图的麻烦，但要真正读懂题目并建立起思路还真不容易。这里转化问题的第一步是对S△AOB进行分析，可以发现三角形的面积是AB与OB之积的一半，因此OB与AB之积是6，这就将问题转化成了对点A的横坐标与纵坐标的分析，从而认清了这个突然冒出的面积问题的真实面目，使条件与结论之间的距离更近了。

图3

解：因为S△AOB=3，所以OB·AB=6。所以|k|=6。又因为函数在二、四象限，所以k=-6。

三、数形交融，解决综合问题

目前的中考中往往出现一些函数综合性的题目图像，这类题往往需要通过建立点与坐标之间的对应关系，这样一方面可以用代数方法来研究几何图形，实现以数析形，另一方面又可以借几何直观，使抽象的代数问题变得形象而易于理解。这中间，学生如何找到数与形的结合点，灵活地进行数与形的转化，从不同的侧面加深对问题的理解是非常重要的。

例4 （1）请在如图4所示的平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图像；（2）将方程x2-2x=1的解在图上近似地表示出来（通过描点）；（3）借助图像，直接写出方程x2-2x=1的解。

分析：这是一道中考题，考查的内容是方程的根与二次函数图像的关系。这个知识对于学生来说是一个难点，数形结合思想在这里起到了重要的作用。这道题虽然学生不用写多少字，却需要通过数形结合进行全面深入的分析才能得到正确答案，虽然题目中指出是“大致图像”，但精心制图的习惯在函数学习中的重要性得到了显现；第3个小题的解答需要前面两个小题的正确解答为基础，而且可以有不同的方法来解答问题，有助于引导学生进行创新。具体解答时学生可以直接画出y=1这条直线然后再去找交点，也可以将方程x2-2x=1化为x2-2x-1=0，然后在坐标系中通过平移y=x2-2x的图像得到y=x2-2x-1的图像，然后找到相应的点。

图4

学生错误答题的表现主要有：部分考生由于随便画一条抛物线，导致在第2小题中描点时由于位置不准确而失分，接下来的第3小题就更是离得更远了；还有一部分考生在第2小题的表示过程中显得粗糙与不到位，表现在部分学生只标出当y=1时抛物线上的两点，也有的学生只标出x轴上的两点，足见对概念理解的不全面。他们能画图又无法正确表示，则说明平时缺少对形的解读与理解。

由于初中二次函数的内容相对比较多，特别是数形结合思想的应用是学生感到有困难的，但它是高中进一步学习的重要基础，所以教师在教学过程中需要帮助学生落实好每一个知识点，关注知识发生、发展与形成的过程。教学过程中，教师需要引导学生注重图像的应用与画法，画后又要进行进一步的深化理解，将数与形牢牢地结合起来，防止让学生浅尝辄止。

总之，数和形是初中数学的两条主线，数形结合则是函数解题中经常要用到的思想方法。教学实践告诉我们，在函数学习与具体函数问题解决的过程中，问题往往会从不同的角度进行切入，教师需要引导学生把数形结合作为一种自觉的意识，及时把尚未在问题中呈现的相关信息补全，解决问题后需要进行具体的方法总结，才能实现由方法到思想的过渡，从而真正让学生由“学会”走向“会学”，实现函数学习的增值。

[1]祁春霞.运用“数形结合”培养低年级学生数学意识[J].宁夏教育科研，2011（03）.

[2]朱亚邦.等腰直角三角形添补成正方形可解多种题型——谈谈转化思想的渗透[J].中学数学杂志，2012（02）.