小学数学教学中如何让学生理解平均数的统计意义

葛晶

摘 要：传统的教学偏向于平均数的算术意义，忽视平均数的统计学意义。通过选取梁绍君教授平均数理解“四水平”中的前三个水平，即以平均数的“本义性理解水平”“特异性理解水平”“加权性理解水平”为维度，论述了在小学数学教学中如何让学生理解平均数的统计意义。

关键词：小学数学；平均数；统计意义

平均数是加权平均数、算术平均数、几何平均数和调和平均数的总称，由于小学生认知水平的限制，这里指算术平均数。梁绍君教授把对算术平均数概念的理解分为两个层次，即数据处理的算术层次和随机变量的统计学层次。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《新课标》）对平均数的要求（第二学段）：“体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义。”《新课标》对平均数的算术意义和统计意义的理解提出了明确要求。分析平均数的教学现状，发现学生对平均数的算术意义很容易理解，但对其统计意义的理解比较困难。

一、平均数教学现状分析

平均数是统计学中非常重要的概念，不仅在小学数学中占有重要的地位，在实际生活中也有广泛的应用。蔡金法比较了中美两国六年级学生对平均数的理解，研究结果表明学生并非缺乏算法的程序性知识，而是缺乏对算法的概念性理解。针对这一现象，笔者认为原因主要在于：第一，教学中忽视平均数统计学层次意义，偏向于算术层次意义。对平均数的考查主要是与应用题型结合的形式，使教师重视学生对平均数与总量、份数之间数量关系的把握，即平均数=总量÷份数，导致学生对平均数的理解仅仅停留在除法式子的运算层面上，统计意义的建构比较薄弱。第二，平均数与平均分概念上的混淆，误把平均数等同于平均分，不理解两者之间的本质差别。第三，学生认知发展水平的限制，四年级的学生处于具体运算阶段，尚不能通过一组离散数据感悟其统计意义层面的随机性。

二、如何让学生建构平均数的统计意义

传统的平均数教学局限于数的运算，统计学意义不明显，通过各种平均数的变式练习，学生计算平均数的操作技能程序化，统计学层次意义建构空白化。梁绍君依据数学思维的逻辑性特点，由易到难对平均数的概念建构提出了四个维度：本义性理解水平、特异性理解水平、加权性理解水平、随机变量分布理解水平。笔者在此借用梁绍君教授的平均数理解维度四水平，提出教学中加强平均数统计意义建构的策略。但是考虑到四年级学生的认知特点去掉随机变量分布理解水平，重点聚焦在本义性理解水平。

（一）本义性理解水平

本义性理解水平指“平均数能较好地反映一组数据的总体情况”。Mokros和Russell调查显示，学生对平均数有五种不同的思维模式：平均数看成一个众数，平均数被看成一个算术值；平均数被看成一个有意义的数；平均数被看成中点值；平均数被看成一个平衡值。这表明学生常常混淆平均数的意义，学生最易偏向于仍把平均数当作出现次数较多的数或是中间的数，而对平均数具体是什么尚不能建构清晰的概念，对其概念的理解非常困难。笔者针对平均数本义性理解水平的教学，提出了三点有效的建议。

1.通过样本感悟数据的随机性

算术意义上的平均数属于描述性统计，统计意义上的平均数属于推断统计，两者的差异在于是否考虑了数据的随机性。苏教版四年级上册平均数的教学例题创设的情境是男女生套圈比赛，比较男生套圈的水平高还是女生的套圈水平高。教学中不能仅仅停留在男生和女生每人套中的个数层面上，应重视学生对数据随机性的体会。教师应当让学生感悟到虽然每人套15个圈，但套中的个数是不确定的，虽然套中的个数是不确定的，但男生和女生套圈的水平相对来说在各自平均数附近上下稳定波动。这就是对样本数据随机性的感悟，使学生对平均数统计意义有了初步的感知。如果教学中仅仅引导学生对套中个数的关注，不能使学生体会这些数据间的随机性，就失去了统计学意义。

2.通过样本数据经历平均数的生成过程

数学模型思想要求学生体会数学与客观世界在数量关系及空间形式上的本质联系。平均数具有抽象的特征，大多数学生只会算法上的运算，对平均数是如何生成的，它的实际价值是什么比较模糊，这不利于学生模型思想和应用意识的培养。在男生和女生人数不等的情况下，教师通过提问“男生套的准一些还是女生套的准一些”，使学生体会比最大值（男生和女生中各自套的最多的）、比总和（男生和女生各自套圈的总数）都是不合理的，教师要让学生明确说出“最大值”和“總和”都不能反映男生和女生套圈成绩的总体水平。这样学生会清晰地感知到选取一个合适的数值来表征一组数据总体水平的必要性，同时学生也经历了平均数的生成过程，这是对统计意义层面上平均数的感悟。

3.明确平均数与平均分的区别

学生普遍存在平均数与平均分概念上的混淆，误把平均数等同于平均分。虽然平均数与平均分在运算结果上存在重合的情况，实际两者存在很大差异。平均分是把总数分成几份，每份的数量一样多，而平均数是虚拟值，平均数是几不代表每份就是几，可能少一些也可能多一些。例如，通过追问学生“平均每组4.5人是什么意思？人是整数怎么会出现小数？”当学生陷入认知冲突，使学生把握平均数是虚拟值这一特征，这样学生对平均数与平均分之间的区别体会得更深刻，对平均数统计意义的理解更加深入。

（二）特异性理解水平

特异性理解水平指平均数在受极端值影响的情况下不能反映一组数据的总体水平，这是平均数七大性质之一。现阶段平均数教学中教师已经关注到学生对平均数特异性质的理解，但是存在步子迈得太小、一笔带过的问题。教师要让学生经历平均数会随着数据的变化而变化这样一个认知过程，即使是一组数据中的仅仅一个数值发生变化，平均数就会有相应的变化。平均数特异性是数据变化时的极端特殊情况，教师通过设计一系列数据的极端变化，使学生明确当离散数据中出现极端值时，用平均数是不能合理反映一组数据的总体情况，这时需寻找另一种合适的数值来反映一组数据的总体水平。

（三）加权性理解水平

加权性理解水平是对平均数概念的拓展延伸，在小学数学中通常一组数据中各个数据的地位是相等的，然而在实际生活中，为了使统计更具准确性、可信性，样本数据的重要性往往不是等值的，这就需要赋予数据相应的权数。例如，通过创设篮球比赛的情境，有3分球，有2分球，计算每场的平均得分时，平均得分=（3分球的个数×3+2分球的个数×2）÷球的总个数，这里的“3分”和“2分”在统计学上就是权数。篮球比赛对小学生并不陌生，学生是能够感知计算平均得分时，3分球和2分球分开计算的必要性，这也是对平均数加权性理解水平的感悟。但是学生对平均数加权的特征的深刻理解有一定的难度，只是浅层次的感知，对平均数加权特征的理解还需后续的深入学习。

笔者通过分析平均数的教学现状，针对现阶段小学中平均数统计意义的教学比较薄弱这一现象，以梁绍君教授对平均数理解水平的划分为视角，论述了如何在教学中使学生更好地理解平均数的统计意义，试图改变长期以来平均数教学停留在算术层面，统计意味不强的现状，使平均数教学真正回归统计领域。

参考文献：

[1]梁绍君.“算术平均数”概念的四个理解水平及测试结果[J].数学教育学报，2006，15（3）：35.

[2]吴俊.小学四年级学生对平均数概念理解的发展过程[J].数学教育学报，2011，20（3）：39.

[3]梁绍君.“算术平均数”概念的四个理解水平及测试结果[J].数学教育学报，2006，15（3）：35.

[4]干芸.初中低年级学生关于平均数算法意义和统计意义理解的调查[D].华东师范大学，2014.

[5]史宁中.基本概念与运算法则[M].高等教育出版社，2013：230-233.