“实际问题与二元一次方程组（2）”教学感悟

石巧莉

人教版初中七（下）第八章第三节的内容是实际问题与二元一次方程组.之前学生已经学会了二元一次方程组的解法，并能够用二元一次方程组解决一些简单的实际问题.这节课内容是实际问题与二元一次方程组的深入研究的第二课时——书上99页探究二.教材题目如下：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200、宽100的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4.

我们花一节课的时间来对这个问题进行分析、理解、列方程组、解答，但是效果并不明显，一节课下来很多教师都有很深的困惑——学生理解不了题目，找不到等量關系，无法列出合适的方程组.对此，我对自己上完这节课之后的感悟做了如下分析.

一、教师高估学生的审题能力，学生无法把实际问题转化成数学问题

在本题中，学生审题有两大难点.一是学生无法用数学语言回答题目中的实际问题——怎样划分土地；二是两块地的“单位面积产量”与“总产量”都没有给出具体的数据，学生无法分析出这两个比例式所能推出的数据信息，换句话说学生不知道这两个条件拿来怎么用.

第一个难点存在的原因在于，往常的数学应用题都会明确指出要求的未知量是什么，但是本题是让学生自己去找一个方案来解决问题.这属于一个开放性的题目，答案并不唯一.因此，学生一时之间不知道如何把它转化为常见的数学问题，更不知道如何用数学语言表述出合理的方案.然而，这个问题学生很容易通过书上的提示得到突破，就是把这个长方形的长分成两段，设出长度，再通过数学工具求出来就好.

对于第二个难点的突破，多数教师先选择用实际数据让学生理解，先让学生回忆起总产量等于单位面积产量乘以面积这样一个关系，这样通过具体数据的展示和计算，学生就容易理解二者的关系.而当题目中的两种作物的单位面积产量和总产量都没有出现具体数据，而是一个比例关系时，很多教师就进一步引进第三参数来理解.但是，对初一的学生而言，他们可能不容易掌握这种设而不求的思想方法，而且在接触三元一次方程组之前，学生见到三个未知数可能本能地就会产生畏难情绪.所以本题是否设置新的参数引起了很多教师的争议.

二、学生认知水平的提高必须循序渐进，教师对复杂的问题可以分层突破、步步为营

对于本题第二个难点的突破，我第一步也是用数据让学生认识到面积、单位面积产量、总产量之间的关系.第二步，为了让学生更清晰地理解本题中产生的两个比例式之间的联系，在讲解本题之前，我为学生先设置了几个类似题目相关填空题，让学生逐步突破难点.

1.有两块土地的面积之比为1∶1，分别种上甲、乙两种作物，且其单位面积产量的比是1∶2.则此时甲、乙两种作物的总产量之比应该是________________.

2.有两块土地的面积之比为2∶1，分别种上甲、乙两种作物，且其单位面积产量的比是2∶3.则此时甲、乙两种作物的总产量之比应该是________________.

3.有两块土地的面积之比为________________，分别种上甲、乙两种作物，且其单位面积产量的比是1∶2.则此时甲、乙两种作物的总产量之比应该是2∶3.

显而易见，这三个小问的设置可以让学生充分认识到两块土地面积之比、两种作物单位面积之比、两种作物总产量之比这三者的相互关系，由于已经有了总产量等于单位面积产量乘以面积的认识，这三个小问学生做起来并不困难，唯一要注意的就是数据的计算与化简.

第三步，我再让学生打开教材细读本题题目，让他们分析读完题目之后的感受.由于有了前面两个步骤的铺垫，学生对本题的难点迎刃而解，瞬间求出来本题的答案就是把这块长方形土地分成3∶2的两块地.

三、学生的思维依旧习惯感性模仿型思维，不习惯用数学模型的思想分析问题

当我与学生一起探究出本题问题实质之后，学生的目的非常明确，就是把长方形划分成两个3∶2的小长方形.可是对于接下来的解答，学生们的形式多样，让我始料未及.比如，

方案一：学生用算数的思想思考，长方形的宽一定时，长之比就等于面积之比.所以他只需要把这个大长方形的长分成3∶2就可以了.这个方案由于只涉及小学知识，简洁易懂，所以很多学生采取这个方法.

方案二：根据课本教材的提示把原来长方形的长设为x，宽设为y，接下来用建立二元一次方程组的模型求解.可是他们列的方程组让人哭笑不得.

当这些不恰当的方程出现时，我才发现原来学生的思维依旧是算数的思想，感性的思维.他们对于数学模型的理解，甚至对于二元一次方程组的理解完全停留在只要有两个未知数的方程就是二元一次方程的形式中.为了引导学生正确地列出方程组，我就引导他们思考：

1.你们所列的方程组是不是二元一次方程组？学生才发现这些方程都不是二元一次方程组，因为分母上不能含有未知数.要把这些比例式的方程转化成我们标准的二元一次方程组的形式，只需要利用比例式的性质——内项之积等于外项之积就能轻松实现.

2.你们所使用的数据是不是题目中的原始数据？3∶2是怎么来的？可以怎么改进？在这个问题中，学生们终于意识到3∶2是我们在审题时通过数据分析中得到的一个结果，在题目中并没有出现，所以，不能直接引用.同时，在计算过程中能用乘法时就不用除法，能用加法时就不用减法.所以，最后大家通过讨论得到了一个新的方程组：

通过一系列的引导和纠正，学生总算是回归正轨，找到本题列方程组的正确方法.只是在这个过程中，教师产生了深深的挫败感，同时，也对学生的认知水平有了进一步认识.他们对数学概念的认识从感性上升到理性思维确实需要很长时间，这是一个漫长的训练过程，教师只能不断引导和训练，才能逐步提升他们整理信息、分析问题、解决问题的能力.