函数、方程不等式的思想在高中数学中的应用

吴云飞

摘要：本文结合例题简要分析了函数、方程式不等式的思想在高中数学教学中的应用，希望能给广大同仁的教学带来帮助。

关键词：函数；方程不等式；高中数学；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）01-0125

一、相关概念解析

函数思想是运用运动和变化的观点，分析研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，在运用函数图像和性质分析问题中，达到转化问题，进而解决问题的目的。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，用数学语言把问题转化为数学模型——方程、方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

不等式是研究数量关系的有力工具，在数学的各分支中，凡涉及数量关系的地方，无一不与不等式知识发生着联系。对某些不等的是问题，通过观察其结构上的特点，利用函数与方程思想可获得巧妙解决。

函数与方程、不等式是通过函数值大于零、等于零、小于零而相互关联的，它们之间既有区别又有联系。函数与方程思想，既是函数思想与方程思想的体现，又是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数相等与不等过程中的基本数学思想。不等式与函数、方程的关系十分密切，因为有些不等式的一边就是函数的解析式，所以我们通常不等式、方程问题转化为函数问题，这样就可以利用函数的图像性质来处理不等式、方程的问题。

二、函数思想在研究方程的根、函数零点中的应用

通过以下例题分析理解函数与方程思想在解题中的重要作用。

例：（2011年陕西选择题）求函数f（x）=-cosx在[0，+∞）内零点个数的问题。

将零点个数问题转化为方程=cosx在[0，+∞）内的根的问题，进一步转化为研究函数y=与y=cosx的图像交点问题，而这两个函数图像是高中学生熟悉的，画出图像片刻就解决了，这里显然将函数问题与方程问题相互转化给解题带来方便。

三、用方程思想解决函数问题

在求函数数解析式问题中也会用到方程组的思想解决问题。如下例中就是方程组思想的应用。

例：若f（x）满足2f（x）+f=3x，则f（2）=（ ）

该题利用构造方程的方法解题。用代替原方程中的x即可得到的方程组即可解决这个函数求解析式求值问题。当然，也可以解具体化的关于f（2），f

的方程组解题，但还是体现了方程组的思想方法。

虽然函数思想和方程思想是两个不同的概念，但它们又是密切相关的。对与函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。函数问题可以转化为方程问题来求解，如求函数的值域问题；方程问题亦可以转化为函数问题来求解，如解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点。这种紧密的关系为函数方程思想的应用，为高考题的解决提供了很多转化方向，突出高考试题的灵活性，更体现了数学思想是解决数学问题的灵魂。

四、用函数的思想解决有关不等式的问题

将不等式问题转换为函数问题解题利用函数图像数形结合解决不等式问题也是函数思想的重要体现。

从几种解析方法的比较中，不难看出解法一、二，通过变量分离构造新函数，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题解，只是一种是用换元法，一种转化为熟悉的对勾函数来求最值。解法三直接构造函数，判断为二次函数，利用二次函数根的分布，结合二次函数图像直接得到不等式解决，但解法三显然难度较大，不如转化为函数求最值简单解法一较好，但这三种做法都体现了用函数思想解不等式问题。只有最后一种解法用到了特值法及不等式性质，但只是技巧性的解决小题适用。解决不等式问题我们要灵活把握，具体问题具体分析，本着化繁为简的原则选择合适的数学思想进行解题。

在高中数学问题中，还有很多可以采用函数、方程、不等式思想互换方式解决的题型，我们只是希望通过本文的分析对教学中思想方法的渗透起到抛砖引玉的作用。希望在以后的数学教学中，能恰当地转化思维解决复杂问题，提升学生的思维能力、解题能力。

（作者单位：山西省榆社中學 031800）