岩体力学的块体极限平衡法的方程思想及其教学思路

曹贤发+孙刚臣+张芹

摘要：块体极限平衡法作为分析岩体边坡、坝基坝肩岩体稳定性的主要方法而成为岩体力学教学中的重要基础内容。在结合教学实践的基础上，阐述了块体极限平衡法的方程思想和總体教学思路，可为其课堂教学设计和教材编修提供参考。

关键词：岩体力学；块体极限平衡法；滑动模型

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）10-0242-02

岩体力学在土木工程、地质工程、采矿工程、水利工程、交通工程等领域中都得到了广泛应用，是理工科院校中的一门重要的专业基础课。块体极限平衡法是目前生产实践中边坡岩体和坝基岩体稳定性分析的主要方法，是本科阶段岩体力学教学过程中的重要内容[1，2]。学生能否深刻理解块体极限平衡法原理并掌握其应用方法，直接关系到该门课程的教学质量，并将影响后续相关专业课程的教学过程和教学效果。

块体极限平衡法分析岩质边坡的稳定性方面的教学实践存在以下问题：首先，学生对于块体极限平衡法的本质理解不足，虽然知道稳定系数由滑动块体的静力平衡方程导出，但不理解滑动体稳定系数不等于1时为什么仍然要视为极限平衡状态。其次，块体极限平衡法属于岩体稳定性分析方法的大类，包括单平面滑动、单块体双平面滑动、双块体双平面滑动、折线形滑动、楔形体滑动和圆弧滑动等多种模型，一般教材会介绍至少其中两种滑动模型，并针对不同的受力条件给出相应的稳定系数计算公式，大部分教材对这些模型及其稳定性分析方法相互联系和区别并未阐述清楚，导致学生甚至很多教师对其也是一知半解，在教学过程中只是将各种分析方法分解为独立的教学内容进行“填鸭式”的知识灌输。最后，坝基岩体稳定性分析原理仍属于块体极限平衡的内容，其分析方法和边坡岩体仍然相似，但大部分教材仍将其作为独立的知识进行阐述。上述问题导致学生在学习过程中难以深刻理解块体极限平衡法的基本原理，造成大部分学生觉得岩体稳定性分析的内容多而乱，因为模型太多，遇到实际问题反而不知道采用哪种模型，既不利于培养学生的专业素养，也不利于学生发散性思维的培训。针对上述问题，结合教学实践，分析了块体极限平衡法中常见的岩体稳定性分析模型的内在联系，对其教学逻辑进行了探讨，这对岩体力学教材编制、岩体力学课程教学效果的提高具有积极意义。

一、块体极限平衡法方程思想

1.根据稳定系数定义阐述块体滑动达到平衡状态时的抗滑力发挥程度，这是将块体转化为极限平衡状态的条件，因此可称为极限条件方程。

稳定系数η是指块体滑动面所能提供的最大抗滑潜力R与总下滑力S之比，如：η=■（1）

若块体处于极限平衡状态，则稳定系数η=1，否则稳定系数η≠1。式（1）可写成如下形式S=■R（2）

显然，从上式可知，S为块体总下滑力，而右边式子■R块体达到极限平衡状态下必须提供的抗滑力，其中1/η可解释为滑动面上抗滑力的发挥程序，该式可作为块体视为极限平衡状态下的限定条件，故称为极限条件方程。根据库伦定律，滑动面所能提供最大抗滑潜力R为R=N·tgφ■+C■L（3）

把式（3）代入式（2）可得极限条件方程的具体形式：S=■（N·tgφ■+C■L）（4）

2.对滑动体进行受力分析，列出力学平衡方程，可参考以下步骤：①按照滑动面分割滑动块体，每个滑动面对应一个滑动块体。对滑动分块逐一进行受力分析，确定滑动块体的所有可能作用类型。②为便于后续受力分析，将各滑动块体所有已知力（如重力、地震力、静水压力、动水压力等）分解为两个正交方向的分力，并合成得到正交方向上的两个合力。一般情况下，两个正交方向通常有两种选择：水平方向和竖直方向，滑动方向及其法线方向。滑动体分块间的相互作用力也要分析，一般可用两个方法表示：两个正交分力，作用力大小及作用方向。③根据分块受力条件，逐一列出各分块在两个正交方向上投影的力学平衡方程。上述方法与静力分析方法完全一致。

3.引入适当假设以简化力学模型。若滑动体有n个滑动面，分为n个滑动分块，则可列出n个极限条件平衡方程，2n个力学平衡方程，其未知参数如下：①滑动面上的稳定系数。每个滑动面存在一个稳定系数，故存在n为未知参量。②滑动面上的未知力。每个滑动面上有两个未知力：滑动面上的法向分力N和切向分力S（即下滑力），n个滑动面则有2n个未知量。③分块间接触面上的相互作用力。n个分块出现（n-1）个接触面，故有2（n-1）个未知量。

以上未知量的总数为（5n-2）个，方程总数为3n个。不难看出，未知量个数与方程组数量之差为

2（n-1），由此可知：当n=1（单滑动面情况）时，方程组可解；当n>1时，方程组数量少于未知量个数，方程组不可解，此时为使方程组可解则可引入一定的假设条件以增加方程组数量或减少未知量的个数，根据假设条件列出的方程即可称为假设条件方程。显然，单滑动面情况无需引入假设条件方程。常见假设条件有：①各分块滑动面上的稳定系数一致，这是块体极限平衡法中最为常见的假设，这个假设可使原方程组的未知数减少（n-1）个，而只存在一个未知的稳定系数η。②忽略分块间的作用力，这个假设也可使方程组的未知量减少2（n-1）个。③假设上一个分块的反作用力方向与上个分块的滑动面方向一致，可减少（n-1）个未知量。④假设条分块间的反力方向垂直于接触面，或与接触面法线成φ角，可减少（n-1）个未知量。⑤假设滑动面上的反力方向垂直于滑动面，或与滑动面法线成φ角，可减少（n-1）个未知量。

引入一定的假设条件后，可解出上述方程组。同一个滑动模型可采用不同的假设条件，从而产生不同的稳定性分析方法，因此可以说假设条件是不同方法的本质差异。假设条件应根据实际情况选择，假设条件数量能够满足方程组可解即可。如果假设条件过多，就会导致模型的可靠性变差，适用范围缩小。

二、总体教学思路

块体极限平衡法可用于边坡、重力坝基和拱坝的坝肩的岩体稳定性分析，其中单平面滑动、双平面滑动、折线性滑动、圆弧性滑动等是岩体力学教学的基本内容，建议采用以下教学逻辑。

1.按照本文提出的逻辑介绍单平面滑動模型，这部分内容简单易学，但涉及了块体极限平衡方法的基础内容。通过教学学生很容易掌握边坡稳定性建模思想、岩质边坡常见作用力类型，理解稳定性系数定义和稳定性判断方法，理解极限条件方程的物理意义，并列出力学平衡方程，从而加深学生对边坡稳定性分析的理解，建立学生的学习信心。

2.重点介绍双平面滑动模型，因为该模型是引入假设条件最简单的情况，也是单平面滑动的延伸与扩展，学生很顺利地从已掌握的单平面滑动模型过度到双平面模型，符合深入浅出的教学逻辑。

3.根据该课程的课时情况进行适当扩展，介绍折线滑动模型、圆弧滑动模型和楔形体滑动模型，以及坝基岩体和坝肩岩体的滑动模型的假设条件，并比较分析各种方法的内在联系，加深学生对块体极限平衡分析法的理解。

三、结论与建议

块体极限平衡法是目前工程实践应用最为广泛的岩土体稳定性分析方法，因而是相关专业本科阶段需要重点掌握的基本内容。

1.块体极限平衡分析方法可细分为多种分析方法，各种方法的方程均可分为极限条件方程、力学平衡方程和假设条件方程。极限条件方程和力学平衡方程是各种分析方法的共性，其本质大同小异，不同方法的本质区别在于假设条件的差异。

2.单平面滑动和双平面滑动均是块体极限平衡方法中的基本方法，建议将其作为岩体力学教学中的重要方法，以此为基础可更好地阐释块体极限平衡法的原理和本质，从而使学生更好地理解和掌握各种极限平衡分析方法。

3.目前教材中对单平面滑动模型的介绍方法没有很好地直接体现块体极限平衡方法的基本原理，而只是介绍了工程中常见的计算公式形式，建议在原来教学策略的基础上参照本文的思路和方法进行适当补充，这样可使后续的教学内容和逻辑更加连贯，达到深入浅出的效果。

参考文献：

[1]刘佑荣，唐辉明.岩体力学[M].北京：化学工业出版社，2008.

[2]沈明荣，陈建斌.岩体力学[M].第二版.上海：同济大学出版社，2015.

Equation Thought of Block Limit Equilibrium Method in Rock Mass Mechanics and Its Teaching Method

CAO Xian-fa，SUN Gang-chen，ZHANG Qin

（School of Civil and Architectural Engineering，Guilin University of Technology，Guilin，Guangxi 541004，China）

Abstract：The block limit equilibrium method as the main method for stability analysis of rock slope，dam foundation and abutment and become an important content of rock mechanics teaching. On the basis of teaching practice，expounds the block limit equilibrium equation by thought and general teaching ideas，can provide reference for the design of classroom teaching and textbook compiling.

Key words：rock mass mechanics；block limit equilibrium method；gliding model