极限思想方法在无穷级数与广义积分中的应用

姜珊珊+杨柳+南华

摘要：本文主要探讨分析极限过程，通过论述阶的估计方法及其在无穷级数和广义积分的敛散性判别中的应用，展示分析学不同问题中的极限思想与方法。

关键词：极限；无穷级数；广义积分

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）10-0215-02

一、引言

經数学发展史上第二次数学危机，最终由Weierstrass和Cauchy等人严格阐述的“极限”这一概念是微积分学中最基础的概念。极限过程是变量的稳定的变化过程，也是由“量变”到“质变”的一个过程。现代分析学，如数学分析等就其内容的性质而言，实质上就是一门研究极限过程的理论和变量计算方法的学科，其中变量计算方法的理论依据就是极限过程的内部规律性，而变量计算的形式法则又是极限过程内部规律性的外在体现。

观察数列f■=■（n=1，2，3，…），当n沿自然数列逐渐增大时，f■随之逐渐变小，但不论n如何增大，f■始终是一个正数。显然这是一个量变的过程，因为尽管f■随着n增大一直在变小，却仍旧保持着“是一个正数”的性质。然而■f■=0，这一结果改变了“是一个正数”的性质，或者说“f■是一个正数”的性质随着n无限增大而消失了。这虽是一个简单的例子，但是已充分说明了极限过程是由“量变”到“质变”的过程。又如，无理数也是从有理数出发，再加上极限过程的理论而定义的。事实上，我们知道对任意的自然数n来说，1+■+■+…+■总是一个有理数，而其极限■a■=e却导出了一个无理数。

无穷小与无穷大的概念也是由极限过程来定义的，也可以说它们本身实际上就是一个极限过程，若能体会极限的这种“质变”过程的意义，对分析学中常以极限过程来定义新概念也就可以理解了。

二、函数阶的估计及其应用

关于无穷小与无穷大阶的概念，利用极限过程可以将其推广到任意的函数f（x）和g（x）（g（x）>0）上。当x→x■（x→x■也可以是x→0，或者x→∞）时，类似的有阶的表示：若f（x）/g（x）→0，则记作f（x）=o（g（x））；若f（x）/g（x）→1，则记作f（x）~g（x）；若f（x）/g（x）→d（有限常数）≠0，则记作f（x）=■（g（x））；若|f（x）|/g（x）＜d（有限常数），则记作，f（x）=O（g（x））；若f（x）/g（x）→∞，则记作，

f（x）?酆g（x）或，g（x）?刍f（x）。

对于无穷级数我们已知如下的极限比较判别法：定理1：∑u■和∑v■是两个正项级数，若■■=l，则：（1）当0＜l＜+∞时，∑u■和∑v■有相同敛散性；（2）当l=0且∑v■收敛时，级数∑u■收敛；（3）当l=+∞且∑v■发散时，级数∑u■发散。

显然可以由此无穷级数的极限敛散判别法得到下面的关于广义积分的敛散判别法：定理2：f（x）是定义在［0，∞）内的一个连续函数，则：（1）f（x）=O■（s>1）时，■|f（x）|dx＜∞，即收敛；（2）f（x）=■■（s≤1）时，■|f（x）|dx=∞，即发散，且绝对收敛隐含收敛性。

这两个定理可以用来处理一些判别无穷级数和无穷积分的敛散性问题。

例1：无穷级数■■sin（■）是发散的。事实上由于x→0时，sinx~x，故当n→∞时有■sin（■）~■（■），而级数■■=∞发散，于是由定理1（1）可知级数■■sin（■）是发散的。

例2：无穷积分∫■■■dx，当α-2β>1时绝对收敛；而当α-2β≤1时发散。事实上当x→∞时，有■■~1，■■~1，于是可知在x→∞时被积函数f（x）=■■■■x■~

x■。再由定理2可得到原题结果。

三、结论

阶的概念和极限的概念是分不开的。可以说，极限过程是变量的变化过程，而阶的概念则是反映此过程中变量变化的快慢状态。通过估计函数的阶来判别广义积分和无穷级数的敛散性的方法是特别方便的。值得注意的是：要运用此方法必须具备粗略估计函数阶的能力，也就是要学会对于收敛性问题的观察能力，具有了这种能力，才可能选择适当的函数进行阶的比较，进而判别无穷级数或广义积分的敛散性。极限思想是高等数学尤其是分析学理论研究中最为重要的数学思想。它不仅是解决在微积分学中一些运算问题，较复杂的解析式的估计，变量之间相对的比较法则，不同形态的极限之间的联系法则，等等无不蕴含着极限思想与方法。另一方面，解决有一定难度的数学问题有时是需要猜测或估计的，上面提到的用函数的阶的估计方法判定敛散性问题就特别强调了这种能力。

参考文献：

[1]徐利治.数学分析的方法及例题选讲[M].大连理工大学出版社,2008.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2013.

The Application of the Thought and Method of Limit in Infinite Series and Improper Integral

JIANG Shan-shan,YANG Liu,NAN Hua

(Department of Mathematics,College of Science,Yanbian University,Yanji,Jilin 133002,China)

Abstract:The process of limitation is studied in this paper. Through discourse the method of estimation of the order,and its application in infinite series and improper integral,we show the limit thought and method in different problems in analysis.

Key words:limit;infinite series;improper integral