高中数学“错题”的教育功能研究

徐周钰

【摘 要】随着教学制度改革，教学内容主要从以前的课本知识逐渐转变为研究性学习。尤其是高中数学教学对于学生的研究性要求很高，高中数学常会出现资料“错题”，学生经过学习找出这些错题，便可从中考验自己的数学知识掌握程度，体现出自己的研究精神。“错题”对于老师和学生都是一种考验，如何在学习过程中辨别这些“错题”，针对这些错题应该从中总结出怎样的经验将成为学生和教师学习的重点。文章针对高中数学“错题”的相关情况进行研究，为促进学生的学习、研究提供一些帮助。

【关键词】错题；高中数学；教育功能

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）36-0049-02

为了适应当前教育改革的要求，教师在教学过程中不得不转变角色，从以前的以“讲”为主教学逐渐变为以学生“学”为主体教学，学生在学习过程中应投入更多研究，主要实现掌握学习方法，然后自己从事学习研究。由于教学模式的转变，学生在学习过程中发挥的作用越来越大，高中数学学习过程中经常会遇到一些资料上出现“错题”的情况，如何识别这些错题，并且从中学习数学知识将是检验学生学习水平的最好工具。因此，学生只有学习到一定程度，才能够发现高中数学资料上的“错题”，否则，就会跟着资料错下去。下面将针对高中数学中的“错题”教学作用和功能进行分析，指出学生在学习过程中发现错题的重要性。

一、“错题”在数学发展中的积极作用

错题在数学发展史上给数学教学造成了很多阻碍，课堂上的错题在教学中具有很高的借鉴价值和教学指导作用。数学家遇到的错题对于其研究具有很好的指导作用，同时也为数学家发现数学新东西提供了研究对象。比如，费马为了找出素数的表达式，他提出了Fn=22 +1，当n=0，1，2，3，4…时，它们均为素数。于是便提出结论：当n为任何非负整数时，用表达式Fn=22 +1可以表示素数。

对于上述命题，很多数学家都投入过大量研究，表明该题属于错误命题。当n=5时，上式子中的值并不是素数，从而推翻了费马的猜想。纵观数学发展史，其实就是从一个“错题”到另外一个“错题”的发展历史，在不断论证过程中实现数学的教与学，当然也有一些科学家在“错题”中不断进步，努力寻求真理，为数学发展做出了突出贡献。

二、“错题”在高中数学中的作用

1. 可以加深学生对数学知识的学习和理解

在数学教学过程中，教师可以为学生设置缺漏、创新疑点，通过学生自己钻研探索和巩固新知识。从“错题”教学中，让学生学会思考问题，积极培养他们的自主学习能力，为其今后的学习和研究打下基础。

错题1：已知f（sinx）=sin2x，则f（cosx）等于： （ ）

A. sin2x B. -sin2x C. ±sin2x D. cos2x

针对这个错题，一个学生使用两种方法进行解题，最后呈现出不同的答案，由此说明此题为错题。

解法1：cosx=sin（x+），因此得出f（cosx）=f[sin（x+）]=sin2（x+）=sin（π+2x）=-sin2x。因此结果选B。

解法2：cosx=sin（-x），因此f（cosx）=f[sin（-x）]=sin2（-x）=sin（π-2x）=sin2x，故结果选A。

在教学中发现此类错误时，教师就可在课堂上让学生自己进行研究，结果发现确实存在着两个不同的答案，很显然这种题目不正确，经过不同解法取得的结果也应该是一致的。错题一般都具有一定的隐蔽性，通过学生自己寻找结果，这比教师直接告知结果效果要好。學生通过研究可以加深对题目的记忆和理解，有利于他们在学习过程中不断开发自己的创新钻研意识。

2. 可以完善学生的认知

数学教学尤其是新知识教学，教师需要根据学生的学习出错规律来评估他们的学习知识点在什么位置，在学习中找出薄弱点，通过对“错题”的分析和研究，使学生在学习过程中实现知识的整合。

错题2：曲线C：y2-4x2=1，试求斜率为2的直线与曲线C相交轨迹的中点。

假设：与曲线交于A、B两点，其中A（x1，y1），B（x2，y2），终点为P（x，y）。一些学生解题时，设A、B在曲线C上，因此可以得出关系式子：y1-4x12=1…（1）；y2-4x22=1…（2）；由（1）-（2）得出：y1+y2=4（x1+x2）；从题意来看，直线斜率为2，即k=2；（x1+x2）/2=x；（y1+y2）/2=y。根据计算，得出的相交轨迹为直线y=2x。但是采用另外一种解法则会出现不同的结果。通过列方程组求解，利用根与系数之间的关系，发现斜率为2的支线与C曲线只有一个交点，没有2个交点，说明此题其实是一个错题。很多人利用中点弦求解都采用点差法，但却忽略了一个问题，即对于题目的自身考虑，对于图形结构认知不到位而出现差错。

3. 有利于培养学生的质疑精神

学生在求知阶段通过发现资料错误并进行矫正，可以加深对知识本质属性的理解，弄清楚一些比较容易混淆的知识点，联系知识点的本质区别，使学生可以正确理解和掌握知识。很多学生对于高考题深信不疑，认为高考题是不可能出现差错的，但是实际情况却并非如此。实践证明，如果教师能够根据学生学习的知识，然后结合高考数学中出现的有争议的“错题”进行教学，常常会收到意想不到的效果。

例如，错题3：已知数列Sn的{an}为前n项和，且Sn=（an+1）2，试求{an}的通项公式，并证明数列{an}为等差或者等比数列。当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2，可以得出（an-1）2=（an-1+1）2。即可以得出an-an-1=2或者an=-an-1（n≥2）；当an-an-1=2时，数列{an}为等差数列，且公差d=2，由S1=（a1+1）2以及S1=a1，得出a1=1。故，an=2n-1（n∈N*）；当an=-an-1时，数列{an}成等比数列，且公比q=-1，因此得出an=（-1）n-1（n∈N*）。从上述解题来看，仔细一看存在着问题，通过列举反例：a1=1，a2=-1，a3-a2=2，a4-a3=2，……因此，满足条件的数列有很多，这道题目属于错题，如果让这道题目变成正确题，就应添加条件：an>0。由此可见，通过错题可以使学生加深对数列的认识和理解，可以有效诊治学生的数学思维顽疾，并增强其综合运用能力。

“错题”不仅是数学学习过程中的难点问题，更是遗留给教育学者研究的宝贵财富。高中数学教学中通过“错题”教学可以有效提升学生的各方面能力，对于整合学生的知识构架具有非常重要的作用。学生发现“错题”、解决“错题”不仅是一种学习能力的体现，也是其学习数学之后对于知识的综合利用。本文针对“错题”教学的功能研究，分析了其在高中数学教学中的重要作用，以案例方式向读者呈现高中数学教学“错题”以及提出解决方案。

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（编辑：朱泽玲）