几何直观在解决一次函数实际问题中的应用

摘 要：几何直观在解决一次函数实际问题中的应用是提升初中数学函数课程教学质量的关键点，以当前初中数学教学工作开展情况为基础，结合近年来初中数学课程的教学经验，对几何直观在解决一次函数实际问题中的应用策略进行分析，以期可以起到提升初中数学教学质量的效果。

关键词：几何直观 一次函数 问题 应用

初中数学一次函数知识作为学生接触的第一类函数，它在实际问题中的应用不仅是教学重点，也是教学难点。新课标对初中数学一次函数教学提出了明确的要求。几何直观作为当前解决一次函数实际问题的最佳方法，教师需要及时提高自我对其的重视。在实际开展课堂教学活动时，可以将几何直观应用在如下几种题型中。

一、路程问题

在初中数学一次函数图象题中，路程问题是最为常见的一种题型，其图象更具直观性。如：自变量时间为0时，其对应的纵坐标即为起点，时间停止时对应的纵坐标就是路程的终点。当运动速度为匀速时，其图象则呈现出直线状态，两条直线的交点则是运动物体间相交的时间和地点[1]。正是因为图象具有显著性，一般情况下路程问题都可以利用函数图象进行解决。

如：甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行.图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系.则下列说法错误的是（ ）

A. 乙摩托车的速度较快

B. 经过0.3小时甲摩托车行駛到A，B两地的中点

C. 经过0.25小时两摩托车相遇

D. 当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地

解：A、由图可知，甲行驶完全程需要0.6小时，乙行驶完全程需要0.5小，所以，乙摩托车的速度较快正确，故A选项不符合题意；

B、因为甲摩托车行驶完全程需要0.6小时，所以经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点正确，故B选项不符合题意；

C、设两车相遇的时间为t，根据题意得， + =20，t= ，所以，经过0.25小时两摩托车相遇错误，故C选项符合题意；

D、当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地： ×0.5= km正确，故D选项不符合题意，故选：D.

以上解法是学生数学思维在解决实际问题的一个较好应用。虽然在学生刚刚接触函数知识时，会不太习惯应用这种解法，但是教师需要有意识培养学生运用几何直观解决问题。在实际教学过程中，学生的数学逻辑思维与几何直观能力会得到较大提升，进而从根本上提升课堂教学质量。

二、物体存蓄数量随着时间变化而变化的函数关系

此类题型的函数图象呈现出的效果是：学生在观察函数图象过程中，可以十分明显地看出在某一时间段物体的具体存蓄数量变化。学生若是可以利用好图象，则可以准确把握物体的存蓄总量规律，对提升学生的数学思维具有较大帮助[2]。

如：如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完。假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系，（1）每分钟进水多少？ （2）当4≤x≤12时，写出y与x的函数表达式 （3）若12min后只放水不进水，求y与x之间的函数表达式。

（1）在0≤x≤4时，只进水，图像过（0，0）和（4，20），所以 （20-0）÷（4-0）=5（升）即：每分钟进水5升；

（2）当4≤x≤12时，图像经过（4，20）和（12，30），设解析式为： y=kx+b，代入两点坐标得：4k+b=20 12k+b=30 解得：k=1.25 b=15 ∴y=1.25x+15 （4≤x≤12）

（3）依据题意：两个管子同时打开，可以进水1.25升 所以：每分钟得出水量为： 5-1.25=3.75（升） 30÷3.75=8（分钟） 即：第12分钟只打开出水管，8分钟可以放完全部的水， 12+8=20（分钟）∴图像经过点（20，0） 设此时的解析式为：y=mx+n，代入（12，30）和（20，0）得： 12m+n=30 20m+n=0 解得：m=-3.75 n=75 即：y=-3.75x+75 （12≤x≤20）。

本题考查利用函数的图象解决实际问题和用一元一次方程求出水管的出水量的运用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际在实际解决函数的多变量问题时，可以分析题目中隐含的变量关系，并从中选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数。不仅可以有效深化学生的学习印象，也进一步深化了学生的学习思路，调动了学生的学习积极性。

三、分段函数中自变量数值的对比

在实际开展课堂教学活动时，大部分的方程组或不等式都是借助“形”进行解答的，教师需要使学生充分感受到“形”解决数的直观性[3]。据现有调查数据结果显示，许多初中生不喜欢其知识，并认为：运用之前所学的方法去解答方程或不等式更加便捷，不理解为何需要将知识特意绕到“形”中。但是在实际应用问题中，尤其是分段函数问题中，若是运用几何直观思想，则可以将题目中隐性的问题条件直接展示，进而有效解决问题。

面对复杂烦琐的网络宽带方案选择的问题时，教师可以在建模初期列出相关若干个一次函数，其中两个函数是分段函数，若是从数的视角进行思考分析，简单的说就是运用求解方程式的形式，解题过程将十分复杂烦琐，将在无形中为学生的数学学习带来困扰。但是若是可以将函数图象绘制在同一直角坐标系中，引导学生依据所学知识，以图象中交点为界限，交点左右两侧高的一方函数值则比较大，即为收费贵，反之则比较便宜。几何直观有利于教师将教材中抽象的数学知识直观化，因此在解决此类问题时，寻找主体对象建立模型发挥几何直观作用至关重要，也为学生强化自我学习能力奠定扎实的物质基础。

四、结束语

综上所述，在运用几何直观解决一次函数实际问题时，不可以一味关注“形”而忽略了“教”的价值，只有从以上两个视角去探究数学知识，有意识培养学生的转换意识，才可以激发学生的学习兴趣，进而在解决问题过程中不断促进学生的个性化发展。

参考文献：

[1]宋晓燕. 初中代数教学中培养学生几何直观的实践研究[D].重庆师范大学，2014.

[2]李江专. 基于几何直观的初中代数教学设计研究[D].重庆师范大学，2016.

[3]冯玉娴，刘春香.设计·生成·反思——借助几何直观解决二次函数的相关问题[J].中国数学教育，2014，09：9- 14.

作者简介：张涛（1989-），男，广东省佛山市人，民族：汉，职称：中学二级教师，学历：学士，研究方向：数学教学。