从一道课本习题谈图形内角的求法

平时的学习过程中，我们要重视课本习题的解答，从解答过程中归纳解题的方法，达到举一反三、融会贯通的效果.现以义务教育教科书《数学》苏科版七年级下册第34页第5题为例加以说明，供同学们学习参考.

问题 如图，从△ABC的纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE.若∠C=50°，求∠1+∠2的和.

【分析】本题要求∠1+∠2的和，观察图形不难发现：∠1、∠2的补角分别为∠CED、∠CDE，应用△CDE的内角和可以先求得∠CED与∠CDE的和.还可以把∠1、∠2看成是四边形ABDE的内角，即可得∠1、∠2、∠A、∠B的和为360°，只需要求得∠A、∠B即可解决问题，因此，仍然应用△ABC的内角和求得∠A、∠B的和.

解：方法一 在△CDE中，

由∠C+∠CDE+∠CED=180°，∠C=50°，得：

∠CDE+∠CED=130°.

由∠1的补角为∠CED、∠2的补角为∠CDE，可得：

∠1+∠2+∠CED+∠CDE=360°，

所以∠1+∠2=230°.

方法二 在△ABC中，

由∠C+∠A+∠B=180°，∠C=50°，

可得∠A+∠B =130°.

在四边形ABDE中，

由∠1+∠2+∠A+∠B=360°，得

∠1+∠2=230°.

【解法反思】本题方法一，借助于要求的一个角的补角将问题转化为图形中某个三角形的内角，再应用三角形的内角和加以解答；方法二，直接把所求的角看成是三角形或多边形的内角，应用多边形的内角和求得结果.这两种方法，都能够根据问题的条件，没有把“∠1+∠2”分别看成是两个角求解，而是把“∠1+∠2”看成是一个整体，体现了整体数学思想，使得解法简捷.应用这两种方法可以帮助我们解答这类问题.

应用1 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数.

【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠C+∠D+∠E=310°，可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的和，进一步求得∠P的度数.

解：在五边形ABCDE中，

∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°.

由∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，得：

∠EAB+∠ABC=230°.

由AP平分∠EAB，得：∠PAB=[12]∠EAB，

同理可得：∠ABP=[12]∠ABC，

所以∠PAB+∠ABP=[12]（∠EAB+∠ABC）

=115°.

在△ABP中，∠P+∠PAB+∠PBA=180°，

则∠P=65°.

【点评】本题灵活应用多边形的内角和公式、角平分线的定义和整体思想，先求得两个内角的和，再确定第三个角的度数.

应用2 如图，线段AD、CF、BE两两相交于点G、H、I.求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.

【分析】把∠A与∠B、∠C与∠D、∠E与∠F分别看成是△ABH、△CDI、△EFG的内角，再应用△GHI的内角和求得∠G+∠H+∠I的值.

解：在△ABH中，

由∠A+∠B+∠AHB=180°得：

∠A+∠B=180°-∠AHB；

在△CDI中，

由∠C+∠D+∠CID=180°得：

∠C+∠D=180°-∠CID；

在△EFG中，

由∠E+∠F+∠EGF=180°得：

∠E+∠F=180°-∠EGF.

在△GHI中，

由∠EGF+∠CID+∠AHB=180°得：

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

=（180°-∠AHB）+（180°-∠CID）+（ 180°-∠EGF）

=540°-（∠AHB+∠CID+∠EGF）=360°.

【點评】本题也可以把∠A与∠B、∠E与∠F分别看成是△ABH、△EFG的内角，把∠C与∠D看成是四边形CDGH的内角，并根据四边形内角和为360°、三角形内角和为180°，应用整体和转化思想求得结果，请同学们自己完成解题过程哦！

（作者单位：江苏省盐城市盐都区实验学校）