用相对论分析数学空间

广西壮族自治县凌云县中学 黄星铭

犹太裔物理学家阿尔伯特·爱因斯坦于1915年发表《广义相对论》；于1921年发表《狭义相对论》。起初，很多人不理解他的意思，甚至视他为疯子。直到他的理论被世界逐一证实，他的思想才逐渐被人们所接受。

今天，我们用相对论深入分析数学空间，一可加深认识，二可创新思维，不断变式思维，拓展数学研究。

一、点是最基本的数学空间

“点”只有位置。数轴上的一点A与一个实数a一一对应。相对于平面直角坐标系内的一点A′，则要用横坐标x、纵坐标y，即有序数对(x,y)才能表示出点A¢的位置。而相对于空间直角坐标系内的任一点A″，则要用横坐标x、纵坐标y、竖坐标z，即有序数组(x,y,z)才能表示出点A″的位置。相对来说，要考察的“点”空间不同，所用的“维度”就不同。

“点”没有大小之分。相距无穷远的两颗宇宙星体A、B，客观上它们均有各自的形态、面积、体积等等概念空间。然而，由于它们相距无穷远，相对来说，两颗宇宙星体已经失去了轮廓形态概念，高度浓缩成两个点就可以用两点间的距离近似看作这两颗星体之间的距离。显然，如果两颗星体的距离不够远，它们的距离是不能这样计算的。

二、线是点运动的数学空间

点动成“线”。相对来说，点A沿直线移动至点B处，可记作若从点B沿直线移动至点A处，则记作。显然，是相反矢量，长度相等，但是方向相反；一个来回，路程是2|AB|，位移却为0。可见，点的移动是一种矢量运动。

“线”有曲直。直线是一种很简单的轨迹，在平面直角坐标系内它的轨迹方程是一次函数y＝k·x＋b，k为直线的斜率。相对来说，像圆，椭圆，双曲线，抛物线，螺旋线，…，这些轨迹不是直线。如果曲线整体共面，可以用平面直角坐标系来研究它们的轨迹方程。像圆心在（0,0）、半径为1的单位圆方程就为x2＋y2＝1；长轴为4、短轴为1、焦点在横轴上的椭圆方程就为x2＋4y2＝4；实轴为4、虚轴为1、焦点在横轴的双曲线方程就为x2－4y2＝4；顶点在原点、焦准距为4、开口向右的抛物线方程就为y2＝4x。像螺旋线，这种曲线整体经常不共面，我们要在空间直角坐标系内考察它，它的轨迹方程就不容易测算了。

曲线的性质是相对而言的。函数的变化率有快有慢，像指数函数y＝2x的图象呈现出“爆炸式”的快速增长势态，而对数函数y＝log2x的图象则呈现出“蜗牛式”缓慢增长势态，这个变化率的极限就是函数的一阶导数y¢。曲线的单调性有增有减，从左至右看指数函数y＝2x、对数函数y＝log2x的图象均呈现出“上升”势态，但是从右至左来看，却呈现出“下降”势态，可用函数的一阶导数y¢来讨论单调性。曲线有凹有凸，从一侧看是“凹”的，像指数函数y＝2x图象呈现出“两头高中间低”的向下凹势态，曲线y＝log2x呈现出“两头低中间高”的向上凹势态，但是从曲线的另一侧来看，则是“凸”的，可用函数的二阶导数y″来讨论凹凸性。

“线”占据一定的长度空间。因为点的一次矢量运动是不可能形成“面”的概念，最多留下“框架结构”。

“线”没有粗细之分。一根很长很粗的钢管，如果把它放置在我们眼前适当远的位置，相对来说，钢管的“粗细”概念好像失去了，只留下“一根线”的视觉印象。

三、面是线运动的数学空间

线动成“面”。在空间直角坐标系内，若把横轴x沿纵向无限平移，就形成“水平面xoy”；若把横轴x沿竖直方向无限平移，就形成“竖直面xoz”；若把曲线y=x2若竖直方向无限平移，就留下一个“凹槽的抛物面”；“球面”也是一个曲面。显然，“面”分“平面”或“曲面”。“平面”是无限平直延展的，没有大小；然而，存在封闭的“曲面”，像篮球、排球等球面。

“面”没有厚薄之分。长100米、高3米、厚2米的长方体墙面矗立在我们的跟前，相对来说，它的正视图是一个“长100米、宽3米的长方形”，侧视图是一个“长2米、宽3米的长方形”，俯视图是一个“长100米、宽2米的长方形”，不管视角如何，失去了“厚度”概念。

“面”是实心的。“线”的直线运动是无数个“点”的矢量运动，它们占据了一定的面积空间，显然“面”不是空心的。像三角形，平行四边形，梯形，圆，扇形，…，这些平面区域的面积可直接套用公式，计算难度不大。

四、体是面运动的数学空间

面旋动成“体”，造就了柱体，锥体，台体，球体，…，这些简单多面体有旋转轴。由若干个柱体、锥体、台体、球体等等简单多面体组合得空间组合体。一个“体”必须要用三维空间来刻画。

“体”有凹凸之分。凸多面体的任意一个侧面无限延展，“体”均在这个平面的同一侧，像简单多面体、由简单多面体组合得空间组合体均是凸多面体。若把“体”的一个侧面无限延展，“体”不在这个平面的同一侧，它是凹多面体。若在柱体、锥体、台体、球体等等简单多面体内挖出部分简单几何体，则余下部分是凹多面体。

“体”它们是实心的。“面”的移动是无数个“点”的矢量运动，占据了一定的宇宙立体空间。像柱体、锥体、台体、球体…等规则空间几何体的体积容易计算，可以套用公式。像V柱体＝底面积X高；V锥体＝底面积X高÷3；V球体＝ 而V台体＝[上底面积＋上底面积与下底面积的几何平均数＋下底面积]X高÷3。

组合体的体积可先分割成若干个柱体、锥体、台体、球体等规则空间几何体，再进行计算它们的体积总和。

定义在有界闭区域R上的正值连续函数f(x,y) 为曲顶的曲顶柱体的体积V，通常要“无穷分割”®“近似替代求面积”®“精确求面积和”®“求极限”，由二重积分测算出曲顶柱体的体积V。

在立体空间或空间的一部分V上分布着某一种物理量，V就构成一个“场”。像物体的温度场，大气压力场，空间的引力场，液体的速度场，能量场，…。一般来说，“场”可分为两类，第一类是数量场，像密度场，温度场，…；第二类是向量场，像引力场，速度场，…。尽管每种场都有各自的物理特性，但是在数量关系上各类场都有相同的数学形式。数量场f(x,y,z)在点P（x,y,z）的梯度表为grad(P)，即数量场的梯度是一个向量场。在温度场中，热是由温度高处流向温度低处，沿着梯度相反方向流动最快。在电势场中，电场强度E等于电势的梯度grad(U)，但是二者方向相反。然而，我们对“场”认识是初步的，尚需不断研究它们的共性。

总之，用相对论审视数学空间，可以推动数学的拓展，深刻认识宇宙空间。