谈基于数学史视角的《数系的扩充和复数的概念》教学设计

北京市陈经纶中学 张 辉

美国数学史家克莱因指出：“数学史是数学教学的指南。大数学家所遭遇的困难恰恰是学生所经历的障碍，试图用冗长的逻辑语言来消除这些困难是不可能成功的！”这充分说明，数学概念的认识过程与其历史发展过程有非常相似的一面。教学中教师需要理解相关数学知识背景，能够从学生已有的知识经验和思维特点出发，预见学生学习中可能遇到的疑惑和困难，洞察学生的数学思维活动过程。在这个过程中教师不断发展数学学科数学知识，使学生体会数学的知识、学生的知识、教学法的知识不断建构的过程。现将《数系的扩充和复数的概念》的教学设计及笔者的一些感悟成文。

一、教学简录

（一）回顾历史 提出问题

1.创设问题情境

师：1545年，数学家Cardan出了这么一个题目： 把10分为两部分，使其乘积为40。他按照自己的习惯，设其中一部分为x，列出方程为x(10－x)=40。但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌。你知道这是为什么吗？

用配方的办法可得：，负数是没有办法开方的。

师追问：方程的解如何？

生：

师：严格地说，这个答案不够准确，因为事先没有规定是在那个数集内解这个方程。在自然数集，这个方程是没有解的。所以，我们可以认为解方程的需要推动了数的不断发展。

（二）回顾数的发展史（略）

2.呼应问题 引出新课

师：我们回过头再来看刚才无法解决的方程只要负数能开方这个方程就能解了。为了使负数能开方，你觉得应该引进一个什么样的新数？

师：大数学家欧拉也想到了这点，他把这个数记为i，该字母源自英文单词imaginary的第一个字母，是“假想的、虚构的”的意思，在数学上，我们称之为虚数单位。

问题：当我们引入一个新的数i，使它服从我们希望对i能与实数一起进行加、减、乘、除等运算，这样，你觉得会产生哪些“新数”？

复数定义（板书）

引出复数的分类。

复数相等（板书）

例题2 已知

(x+y)+(x−2y)i=(2x−5)+(3x−y)i，求实数x,y的值。

3.归纳小结 提升能力

二、几点感悟

（一）确定教学设计的想法

首先，《普通高中数学课程标准（实验）》在课程的基本理念中明确提出要体现数学的文化价值：“数学是人类文化的重要组成部分，数学课程中要体现数学的文化价值。”笔者看过一份数据调查，调查对象是某市两所重点中学高中数学教师，采用自编的“高中数学教师对数学文化知识认识与实践的调查问卷”，本次共发放试卷80份，回收试卷78份。问题1：“您对课标里设置数学史与数学文化的目标和理念及教学要求阅读情况是”。“仔细阅读过”的只占5.7%，“较仔细阅读过”的只占14%；问题2：“就微分学与积分学的起源而言：①积分学早于微分学；②微分学早于积分学③积分学与微分学同期；④不确定”。选择答案“积分学早于微分学”的只有7.8%的教师……从上面问卷可以看出数学教师对于数学史知识极为欠缺！这些都是数学史上最为著名的一些常识性知识，且与中学教材内容联系紧密。通过上述史实的渗透，可以让我们更好地回归知识的源头，获得对思想过程的重要认识，看到数学家在发明发现中的经典方法。再者，这些内容学生容易接受，也容易产生共鸣。如果老师连这些基本常识没有，就谈不上在课堂中主动、自觉、恰当地融入数学史知识，更谈不上激发学生动力，增强学习数学的情感，启迪学生的思维了。

其次，新课程改革之后，复数内容受到了较多的淡化处理。然而，从国际上来看，很多国家都非常重视学生对复数内容的学习。在人教社高中数学教材《数学》（选修2-2）侧重于数系的发展。明确这部分内容要“体现数学的文化价值”，这节课的内容恰好能较好地反映数学的历史、应用和发展趋势，能较好地反映数学对社会发展的推动作用，数学的社会需要、社会发展对数学发展的推动作用，数学学科的思维体系以及数学家不断追求的创新精神在本节课也有很好地体现。

（二）数学史融入数学教学的想法

我们知道，教学中引入数学史料可以有多种教学功能，不仅可以拓展学生视野，激发学习兴趣，而且可以让学生在“再发现”和“再创造”的过程中感悟其中的数学思想及精髓，为锻炼学生思维提供绝佳契机。在经历了古人的探索过程后，教师还可进一步引导学生进行反思。本节课本着回顾数学发展简史，展示数学文化的想法，从中提炼出相关的思想来指导我们后面的学习和探索。正因为数学的可发展性，所以在小结时提出“数系能否在一次扩充的问题”，目的在于激励学生勇于探索。所以本节课学生是在兴意盎然中学习的。

通过本节课的学习，笔者认为数学史视角的数学概念教学设计一定要关注知识的自然发生发展过程，在概念的引入上着力，追求数学自然生成的境界。可以采用以下两种方式：第一种方式可以展示有关的数学家图片，讲述数学故事，直接采用历史上的数学问题和解法，根据历史材料，编制数学问题；第二种方式借鉴或重构知识的发生和发展历史，创造性地运用数学史，课构建数学史有效融入数学教学的模式。本节课以问题为出发点，激起学生探求新知的欲望，本节课始终围绕如何解展开，用问题引领本节课内容的展开。在探索过程中，将数学问题本质化，最终转化为如何求解从中启发学生学数学，解决数学问题要将其最本质的东西把握住。 但本节课还可以让学生活动多些，比如，提前布置些查阅史料的作业，让学生进行展示，会更及促进学生学习的主动性，也会使教学方式、学习方式更加丰富。

在人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2—2教学参考书中指出：“数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求。教学中，应突出数系的扩充过程。”所以，本节课立足于让学生清楚以前的数集为什么要一次又一次地扩充，又是怎么进行扩充的。与此同时，让学生感受到我国数学家在数学方面所做出的突出贡献；体会在探索新知过程中勇于质疑、敢于质疑的精神。数学在其自身发展过程中的丰富数学思想方法，数学家数学学习和创造发现的史料，都会给我们的教学带来重要启示，数学史是改进教学的有力工具。