从一道习题的推广谈数学文化的渗透

文︳申 潜

从一道习题的推广谈数学文化的渗透

文︳申 潜

题目解答不难，不过做完后不妨留心思考：题目中给出的是具体的椭圆，那么这个结论对所有椭圆是否都成立呢？也就是说，我们把这个事情一般化，探究椭圆是否都具有这样的性质。这样就可以解一题而通一类，培养解题能力和数学思维。若M，N是椭圆=1（a＞b＞0）上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于M，N的一点，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2，则 k·1k2= 。

解：设点 M（x0，y0），则 N（-x0，-y0），设椭圆上点 P（x，y）。

也就是说，其斜率乘积与椭圆的长、短轴有关。再进一步推广，双曲线是否也有这样的性质？

说到圆锥曲线和特殊到一般的数学思想，不得不提一个著名定理——费马大定理。

1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图《算术》的拉丁文译本时，在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或将一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

费马的话可整理成：当整数n＞2时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解。

毕竟费马没有写下证明，而他的其他猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。1753年，瑞士著名数学家欧拉在给哥德巴赫的信中说，他证明了n=3时的费马猜想。1816年，巴黎科学院把费马猜想简化归结为是奇素数的情况，认为费马猜想应该成立，并称之为“费马大定理”（以区别费马关于同余的小定理），还为证明者设立大奖和奖章，费马大定理之谜从此进一步风靡全球。

19世纪初，法国自学成才的女数学家热尔曼证明了当n和2n+1都是素数时费马大定理的反例x，y，z至少有一个是n整倍数。在此基础上，1825年，德国数学家狄利克雷和法国数学家勒让德分别独立证明费马大定理在n=5时成立。1839年，法国数学家拉梅对热尔曼方法作了改进，并证明了n=7的情形。他的证明使用了跟7本身结合得很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形。

1844年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一段落。但对一般情况，在猜想提出的头200年内，数学家们仍对费马大定理一筹莫展。

1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线与另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山丰的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山—志村猜想”。这个猜想说明了有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想尽管让一些学者搞不明白，但它使费马大定理的证明向前迈进了一步。

1984年，德国数学家弗雷在德国小城奥伯沃尔法赫的一次数论研讨会上宣称：假如费马大定理不成立，则由费马方程可构造一个椭圆曲线，它不可被模形式化，也就是说谷山—志村猜想将不成立。但弗雷构造的所谓弗雷曲线不可模形式化也说不清具体证明细节，因此也只是猜想，被称为“弗雷命题”。弗雷命题如果得证，费马大定理就与谷山—志村猜想等价。

1986年，英国数学家安德鲁·怀尔斯听到肯·里贝特证明弗雷命题后，感到攻克费马大定理到了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域。他开始放弃其他所有活动，精心梳理有关领域的基本理论，花了一年半时间把椭圆曲线与模形式通过伽罗瓦表示方法“排队”。接下来要将两种排队序列对应配对，这一步他花了两年时间却无进展。此时他攻读博士学位时学的岩泽理论一度取得实效。1991年，他的博士导师科茨告诉他，有位叫弗莱切的学生用苏联数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线，这一方法使其工作有了重大进展。

1993年6月，在剑桥牛顿学院的一次学术会议上，怀尔斯以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题，分三次作了演讲。听完演讲，人们意识到谷山—志村猜想已经被证明。由此把法尔廷斯证明的莫德尔猜想、肯·里贝特证明的弗雷命题和怀尔斯证明的谷山—志村猜想联合起来就可说明费马大定理成立。其实这三个猜想每一个的证明都非常困难，怀尔斯的证明，成为完成费马大定理证明的最后一棒。至此，费马大定理经过众多数学家从特殊情形出发，一步一步推广到一般情况，最后在椭圆曲线的帮助下，终于被证明了。

一个定理的证明历经多年，凝结了众多数学家的心血。由解题展开，联系数学文化，学生可以体会到数学不是“冷冰冰”的形式化的表述和推理，而是背后都蕴藏着丰富的数学文化，有着“火热的思考”。

邵东县一中）