“导数在研究函数单调性中的应用”教学设计

袁 云

（江苏省南京市第十三中学，江苏南京 210008）

引 言

高中阶段导数是研究变量和函数的重要手段，导数的概念从实际问题抽象而来，是对函数的图象与性质的总结与拓展，是研究单调性、最值问题，以及某些不等式的证明、求解和数列求解的重要工具[1]。利用导数研究函数的单调性这节课最大的难点在于如何把导数和单调性联系起来，是从导数定义出发分析还是从单调性定义引入，都觉得很突兀。

本节课主要以如何求函数的单调区间为主线，以数到形、形到数的切换为辅线，实现从观察到发现、到验证、到应用的一个过程。高中数学课程强调揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。本节课通过典型例子的引入和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法——特殊到一般的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想、算法的思想，使学生认识到导数比单调性更加精确地反映函数的变化趋势，自主探究过程过渡自然，拉近了学生与研究问题的距离，有利于发挥学生思维的主动性，突破教学难点。

一、教学过程

1.教学引入

展示一组过山车的图片，和同学交流坐过山车冲入云霄又坠入谷底的感觉。提出从数学的角度看游客的位置与时间之间的关系，学生很快说出是函数关系。那么上升和下降过程中，函数值的变化可以用函数的哪个性质描述呢，学生立刻联想到单调性，从而引入本节课研究的问题，进一步研究函数的单调性。

2.问题导入

问题1 求函数y=x2-4x+3的单调区间。

师：同学们思考一下如何求这个函数的单调区间？生：画出函数的图象，对称轴为x=2，开口向上，所以单调增区间：（2，+∞）单调减区间：(－∞，2)。师：从图象看就能确定一定是单调的吗？生：可以用定义证明。师：请问单调性的定义是什么？以单调增为例。生：在区间上任取x1＜x2,都有f(x1)＜f(x2)成立。师：非常好。刚才同学们从形的角度即图象读出函数是上升还是下降的，从而指出单调区间。又从数的角度进行了论证。下面继续看函数y=2x3-6x2+7，怎么求它的单调区间。生：用定义。师：为什么不画图？生：不会画。师：求单调区间最直接的方法就是从形的角度去看，无法画出图象就选择定义解决，那么继续看y=ex-x，怎么求它的单调区间。生：图不会画，定义也用不了了，因为f(x)-f(x)=(ex1-ex2)+(x-x)一正一负，确定不了符号。师：

1221从形的角度和数的角度都解决不了，只有另辟蹊径，大家思考一下还有什么办法？生：导数。导数的几何意义是切线的斜率，感觉可以。师：导数的实质是瞬时变化率，也是研究变化趋势的，应该可以，不妨我们来研究下一个问题。

问题2 导数和函数的单调性有什么联系？

师：导数几何意义是切线的斜率，那么在刚才的函数图象上分别取点作出该点处的切线，观察有什么规律。生：在对称轴左侧的点切线的倾斜角为钝角斜率为负，在对称轴右侧的点切线的倾斜角为锐角斜率为正。师：回顾导数的几何意义，说明了什么？生：在对称轴左侧导数值为负，函数递减。右侧为正，函数递增。师：这样就是说函数的单调性与导数有密切联系，你能说出一般性结论吗？生：一般地，对于函数f(x)，x∈D，若f'(x)＞0，则f(x)在区间D上是单调增函数。若f'(x)＜0，则f(x)在区间D上是单调减函数。师：我们从形的角度得到一般性的结论能不能从数的角度进行论证呢?老师一边指引学生一边在黑板上板书论证过程。导数本质瞬时变化率是由平均变化率逼近而来，导数大于0则平均变化率大于0。由表明分子分母同号，进而满足定义。师：找出了导数与单调性的联系，我们回头解决刚才的问题。老师带领学生一起解决，老师板演。

例1 求函数y=2x3-6x2+7的单调增区间。

解：f '(x)=6x2-12x

令 f '(x)＞0得 x＞2或 x＜0

函数的单调增区间为(-∞，0)，（2，＋∞）

例2 求函数y=sinx，x∈[0，2π]单调减区间。

解：f '(x)=cosx

师：求单调区间注意什么？

生：单调区间不能并，要用逗号隔开或者连接，还要注意定义域。

问题3 如何利用导数大致地作出函数的图象呢？

生：求出f(0)=7，f(2)=-1，利用递增递减区间画出函数y=2x3-6x2+7的图象

师：导数与函数单调性联系如此紧密，不仅可以利用导数求单调区间还可以画出原函数的大致图象，这都离不开结论。回头看结论大家想一想，反过来成立吗？

问题4 如果函数y＝f (x)在某个区间上是单调增的，一定有在这个区间f '(x)＞0上成立吗？

学生举出反例，y＝x3在实数R上单调增，但f '(x)≥0。所以反之不成立。师：本节课你有哪些收获？生：学会了用导数求单调区间，学会了用导数画图象。

3.小结

导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性；利用导数求函数y＝f (x)的单调区间的一般步骤；体会了数形结合、由特殊到一般、函数与方程、算法的数学思想。

二、教学反思

问题的引入环节，以一个具体的函数为例回顾了函数单调性的判断方法、定义法和图象法，体会了图象法的便捷和定义法的严谨。同时给出了一个三次函数，发现图象法和定义法都很难解决，进而想到还有没有其他方法。学生充满好奇的求知欲，激发学生积极主动地参与思考。

探索函数单调性与导数关系，采用问题串的形式逐步递进，层层深入。首先有学生想到导数，于是通过回忆导数的几何意义是图象上某点处切线的斜率，本质是瞬时变化率，都体现了函数的变化，进而从形的角度进行观察。通过观察已有的二次函数的切线归纳出递增区间切线斜率为正，递减区间切线斜率为负。学生通过观察、发现、归纳、总结，充分体验了知识发现、发生的过程，变被动为主动。接着从数的角度进行验证。导数大于0，推出平均变化率大于0，推出进而证得。考虑到课堂容量，没有提导数在个别点处为0，不影响函数单调性的情况。

应用导数求单调区间环节，主要通过回头解决一开始提出的三个问题，一方面做到解决问题有始有终，一方面总结出解决问题的一般步骤，一举两得。同时，通过题目的变化将函数变为三角函数、还有指数函数，让学生规范解题步骤，同时体验导数方法应用的广泛性。最后应用导数知识画出三次函数的大致图象，实现了由形到数、再由数到形的双向通道，让学生充分感悟数形结合的思想。

小结部分，首先让学生回忆一节课所学重要内容，学生之间相互补充，不断地丰盈所学内容，最后老师加以总结和强调。

结 语

本节课成功之处在于：注重教学设计，体现了学生主体、教师主导的精神，精心设计了问题串，逐步递进环环相扣；注重探究方法和数学思想的渗透，教师启发学生以已知熟悉的二次函数为研究的起点，从图象上发现关系，再从理论上探究验证，既让学生获得了新知，又让学生体会到研究一个新问题的探究方法，同时也渗透了归纳推理的数学思想方法；突出学生主体地位，通过抛出问题，促使学生主动探索、积极思维。美中不足的是最后一个问题的处理由于时间关系显得有些仓促，多媒体应用方面可以再提高制作水平，还有一些不足之处我将不断发现和改进。

[1] 刘雪娟.导数在高考数学中的地位[J].学园,2014,(33):154.