巧用几何直观解决实际问题

【摘要】“列方程解决稍复杂的百分数实际问题1”是解决实际问题的重要内容之一。本文结合苏教版小学数学教材六年级上册“列方程解决稍复杂的百分数实际问题1”一课的教学，巧用线段图，以“理解题意、分析数量关系、列方程解答、检验反思”为线索，引导学生经历解决问题的全过程，对一线教师的数学课堂具有一定的借鉴意义和参考价值。

【关键词】方程线段图解决实际问题百分数

教学内容

蘇教版小学数学六年级上册P102～103例10及练习十七第1～3题。

教学目标

1. 引导学生在已学会的一些基本的百分数实际问题的基础上，引出列方程来解一些稍复杂的百分数实际问题的方法。

2. 能根据题中的信息，熟练地找出基本的数量关系，培养学生观察、比较、分析、综合、概括等能力，积累解决问题的经验，提高应用所学知识解决实际问题的能力，增强应用意识。

3. 使学生经历解决有关百分数实际问题的过程，进一步体会数学与生活的密切联系。

教学重点

列方程解决稍复杂的百分数的实际问题。

教学难点

根据等量关系列出方程。

教学准备

多媒体课件。

教学过程

一、 图形导入，复习铺垫

师：同学们，猜猜老师给你们带来了什么？（出示一条线段）

生：一条线段。

师：如果在线段的中间点一点（见图1），现在你想到哪个百分数？（50%）怎么理解这个百分数？

图2师：其中一段的长是全长的50%。这里是将其中一段的长度与线段全长相比较，线段全长是参照量，线段全长可看作单位“1”。

师：注意这点在变，现在你想到哪个百分数？怎么理解它？（见图2）

让学生猜测并用百分数表示，说一说自己想到的百分数的意义。

2. 简单的百分数乘法问题。

图3出示数据，看图分析（见图3）。

师：图中你了解到哪些数学信息？

生：一共长15米，剪去了40%。剪去了多少米？

师：怎样列式求剪去的米数？（15×40%）

3. 用含有字母的式子表示百分数。

师：（出示图4右）现在求什么问题？一共a米，剪去了40%的a米，你会表示剩下的米数吗？你是怎么想的？

让学生说一说，引导学生小结。

剩下的米数：a-40%a=60%a，出示数量关系式：总米数-剪去的米数=剩下的米数。

师：我们可以用含有字母的式子表示数。从线段图中，我们还能看出数量之间的关系呢。同学们，今天我们继续研究：百分数的实际问题。（板书课题：百分数的实际问题）

【评析：线段图以其形象、直观的特点，在数学教学中广泛应用。袁老师在课的一开始，就直接运用学生比较熟悉的线段引入，通过线段上一点的变化，寻找百分数，说明百分数的意义，分析单位“1”，激发了学生学习的兴趣。通过线段图的不断变化，一一让学生复习了简单的百分数乘法实际问题、用字母表示数、数量关系式等旧知，为这节课解决百分数实际问题做了很好的铺垫。图与文字的结合、动与静的结合，创新性的复习形式大大提高了这节课的课堂教学效率。】

二、 操作实践，新知建构

师：同学们会不会画线段图？下面我们自己来画线段图。

（一） 理解题意

读题并理解题意。（见图5）

师：同学们，你们读完了吗？读懂了吗？谁来说一说题目中告诉我们什么？要求什么？

师：你是怎么理解“已运走60%”的？它是把哪个数量看作单位“1”？

生：“已运走60%”表示已经运走的粮食吨数是粮食总吨数的60%。把粮食的总吨数看成单位“1”。

师：图中的这条线段你想表示什么呢？（粮食的总吨数）

师：你能画图表示题中的条件和问题吗？

学生动手操作，搜集2位学生的画图进行展示分析。

师：请你介绍一下你画的线段图。

生：这一段表示已运走的60%，另一段表示剩下的48吨，总长就表示这批粮食的吨数，就是单位“1”。

师：刚才我们通过画线段图，表示出题中的已知条件和问题。在解决百分数实际问题时，我们一定要理解题意，找准单位“1”。（板书：理解题意）

【评析：解决百分数的实际问题，首先是让学生理解题意，符合学生的认知特点。通过学生自己动手画线段图，形象、直观地表示题中的已知条件和问题，有助于学生分析数量关系，为后面的研究学习做好铺垫。】

（二） 分析数量关系

师：从线段图中我们看出，这里有哪些量？用手势比划。（板书：粮食的总吨数、运走的吨数、剩下的吨数）

师：这3个量之间有什么样的数量关系呢？请学生说一说。

运走的吨数+剩下的吨数=粮食的总吨数；

粮食的总吨数-剩下的吨数=运走的吨数。

师：同学们想一想，哪些量是已知的，哪些是未知的？

生：剩下的吨数是48吨，这个是已知的。运走的只是60%，不是一个具体的量，它的单位“1”是粮食的总吨数，现在也是未知。

师：我们理解了题意，找出了3个量，分析了这3个量存在的3种不同的数量关系。（板书：分析数量关系）

【评析：分析数量关系是解决稍复杂的百分数实际问题的重要环节。引导学生看线段图，找出3个量并研究这3个量之间的数量关系，有利于学生找出解决问题的方法。】

（三） 列方程解答

1. 列方程。

师：当单位“1”未知时，我们可以怎样解决这个问题？

生：用方程来解。

师：如果列方程解，这里的粮食总吨数和已运走粮食的吨数都是未知，2个未知量，你打算设哪个未知量为X？另一个量怎样表示？

生：题中粮食的总吨数为单位“1”，设总吨数是X，那么已经运走的吨数就是60%X。

师：请同学们选择合适的数量关系式，在学习单上列出方程，不解答。

2. 选方程。

交流同学们不同的方程，可能有：（见图7）

X-60%X=4860%X+48=XX-48=60%X

师：哪些同学列的是第一种X-60%X=48？哪些同学列的第二种？第三种呢？为什么这么多同学都选择X-60%X=48这样的方程呢？

生：因为X-60%X=48方便。

生：因为X-60%X=48这样的方程好解。

师：仔细观察这道方程的特点，你还有什么发现？

生：等号左边表示的粮食总吨数和已运走的吨数都是未知量，等号的右边表示剩下的吨数是已知量。

师：同学们观察得很仔细，其实X-60%X=48这样的方程非常便于我们解，都是把未知量放在等号的一边，已知量放在等号的另一边。

3. 解方程。

师：同学们，X-60%X=48这个方程依据的数量关系式是什么的？

生：粮食总吨数-运走的吨数=剩下的吨数。（板书：在“粮食的总吨数、运走的吨数、剩下的吨数”之间补上减号和等号）

师：你们会解这个方程吗？下面我们一起来解这个方程：X-60%X=48。

学生独立解方程X-60%X=48，全班交流。教师板书解题过程。

注意将百分数转化成小数或者分数来完成。

师：刚才我们自己选择合适的数量关系式，列出方程并解方程，找到了正确的答案。（板书：列方程解答）

【评析：根据数量关系式的特点，确定列方程来解决实际问题。学生依据不同的数量关系式，列出不同的方程，并在观察、比较中优化方程，这是列方程解决稍复杂百分数实际问题非常重要的一个环节。通过优化方程，加深学生对数量关系的理解，突出教学重点，分解教学难点。化难为易，层次分明，思路清晰。通过列方程解答，让学生感受到解决问题的一般过程。】

（四） 检验反思

师：这题的答案对不对呢？怎么办？

生：我们可以检验这个结果对不对。

师：怎么检验呢？和同学交流一下。

生：可以用120-120×60%来检验，看结果是不是等于48噸。

生：可以用（120-48）÷120来检验，看结果是不是等于60%。

……

收集方法：可以通过验证还剩48吨或者验证已经运走了60%。

最后写上答句。

师：回顾解决百分数实际问题的过程，我们是怎么理解题意的？

生：我们通过画线段图表示题目中的已知条件和问题。

师：我们是怎么分析数量关系的？

生：我们借助线段图找出合适的数量关系。如果单位“1”未知，我们可以列方程来解答。

师：当有两个未知量时，我们可以设单位“1”的量为X，这样就可以表示出另一个未知量。最后我们要对自己算出的答案进行检验。

【评析：解完题之后回过头来对解题结果与过程进行回顾、分析、总结等，是一种对自我解题活动过程的再认识。通过这样的检验反思，可使学生在解题过程中获得具有较大迁移价值的新知识与经验。这有助于学生形成解决实际问题的策略，提高学生的解题能力。】

三、 分层练习，灵活运用

1. 基础练习。

出示“练一练”第1题：先把数量关系填写完整，再列方程解答。

某工程队铺一条地下电缆，已经铺了350米，还剩75%没有铺。这条电缆长多少米？

（）米数-（）米数=（）米数

读题后分析：

师：这里的“还剩75%”，你是怎么理解的？

生：这里的75%表示电缆没铺的米数是电缆总米数的75%。

师：这题中你找到哪些量？你想到的数量关系式是什么？

生1：电缆总米数-已铺的米数=没铺的米数。

生2：我觉得不太合适，应该是电缆总米数-没铺的米数=已铺的米数。

师：说说你的理由。

生2：现在已铺的米数是确定的量，而电缆总米数和没铺的米数都是未知量。我们设电缆总米数是X，那么没铺的就是75%X，把未知的量放在等号的一边，将已知的量放在等号的另一边，这样的方程方便我们解。

师：你说的真不错。我们不妨借助线段图来看一看。请同学们在学习单上列出方程并解答。

交流几位学生的作业。让学生说一说自己是怎么想的。针对出错的学生作业，让大家一起评价。

师：比较这两题，你有什么发现？（见图9）

生：单位“1”的量都是未知，都用方程来解……

小结：这两题都是百分数的实际问题，都是知道一部分是总量的百分之几，还知道另一部分的量，求总量。这就是今天我们研究的“列方程解决稍复杂的百分数实际问题”。我们要理清里面的数量关系，正确地列方程来解答。（板书补全课题：列方程解决稍复杂的）

【评析：基础练习，重在数量关系式的寻找。对数量关系式的调整，对这节课建模很有帮助。教师的“扶”，有利于学生养成解题策略，减少盲目的解题，提高成功解决问题的概率。】

2. 提高练习。

出示：西林小学六年级有男生94人，女生人数占全年级总人数53%。六年级一共有多少人？

师：没有任何的提示，请同学们独立完成。你们能否正确地分析数量关系列方程解答呢？

集体交流，让学生说一说数量关系式和方程。

想一想：女生人数怎么算？集体交流，明确方法。

【评析：提高练习，重在由“扶”到“放”。通过练习，让学生亲自参与数学活动，独立寻找数量关系式并正确列方程解答，领悟数学思维方法，掌握解题技巧。】

（1） 方程对比练习。

看图只列式不计算。（见图10）

先出示左图，动画复制左图再变成右图。

让学生写一写，并进行比较。

师：比较这两题，有什么相同的地方和不同的地方？

小结：当单位“1”未知时，我们可以列方程来解答。当一部分是总量的百分之几已知了，即已知量与百分数对应时，求总量时列出的是比较简单的方程。已知一部分是总量的百分之几，还知道另一部分的量，即已知量与百分数不对应时，求总量时这样的问题就相对比较复杂了。

学生先尝试列式。

师：第3个线段图与第2个线段图比一比，你有什么发现？（见图11）

生：第3个线段图中单位“1”已知，可以直接用算术法解，第2个线段图中单位“1”未知，可以用方程解。

【评析：有对比，才有发现。教师巧妙运用几何直观图，将沉默的文字再一次用线段图形式呈现，形式活泼多样。在一次次的对比练习中，让学生发现新知与旧知的联系和区别。线段图的动画演变过程，激发学生学习的兴趣。整个练习设计，层次清晰，让学生感受到数学美。】

四、 回顾交流，总结延伸

师：同学们，今天我们所解决的百分数实际问题，都是用什么方法来解决的呢？

生：方程。

师：列方程解决实际问题，关键是什么？

生：找准数量关系列方程。

师：列方程解决百分数实际问题过程中，你觉得有哪些地方需要提醒大家的呢？

生：要理解题目中的百分数的意义。

生：……

师：通过今天的学习，同学们解决实际问题的能力又提高了！希望同学们不断地积累经验，合理地选择方法去解决生活中的实际问题。

【评析：总结，串起学生对新知的回忆。概括，是对这节课解决稍复杂的百分数实际问题的准确定位。教师通过三个层次的提问，唤醒学生对这节课的反思。在教师提示指引下，学生不知不觉学会了探索解题途径的方法，形成解题策略。】

【总评】

《列方程解决稍复杂的百分数实际问题1》是苏教版六年级上册《百分数》这单元内容。这节课内容是“列方程解决稍复杂的百分数实际问题”的第1课时，这是在学生已经学会解决简单的分数和百分数乘、除法实际问题，以及稍复杂的分数乘法实际问题的基础上进行教学的。

一、 因需而发，准确把握教材

《列方程解决稍复杂的百分数实际问题》是这单元的教学难点。很多教师备课时，有过这样的困惑：“要不要让学生画线段图？”“学生对数量关系式的理解挺容易的，列出的方程却和数量关系式不符”“学生对检验反思就是走过场”等。在这节数学课上，袁老师让我们直观地看到了答案。本节课袁老师紧扣苏教版教材，不但很好地运用了教材，尊重教材，还在深入钻研与把握教材的基础上，灵活地处理了教材中的习题，准确地制定了教学目标、教学重难點。创造性地开发课程资源，合理运用教学方法，体现了解决实际问题的一般过程。

“用线段图来理解、分析实际问题”，学生在这之前早有认识。但用线段图准确表示百分数的实际问题，学生常常画不正确，且画图特别慢。这节课，教师准确把握目标，先让学生从线段图中说出百分数，理解单位“1”。在复习阶段，紧紧围绕线段图展开复习，为下面的新知学习打下了良好的基础。学生缺什么，我们就给学生什么。了解到学生画图有困难，教师没有取而代之，反而放手，给出学生一条线段，逐步引导学生画出线段图来理解题意。在学生绘画线段图的过程中，学生也感受到图中表示的数量关系。当再次借助线段图分析数量关系时，学生就能轻而易举地找到不同的数量关系式。学生不会正确地列方程，教师就根据学生找到的数量关系式，让学生列出方程，在观察比较这些方程后，学生自然发现有一种方程最方便解，通过优化方程，学生很快就能分辨数量关系式，正确地列方程来解答。

二、 动静结合，巧用几何直观

小学生思维的基本特点是以具体的形象思维为主，逐步过渡到抽象的逻辑思维。六年级的学生，抽象思维虽然有所发展，但依然离不开形象思维。教师设计这节课时，没有过多的虚拟情境，而是从最直观的线段图入手，通过线段图的变化，让学生回忆已学的百分数的意义、简单百分数乘法应用题、数量关系式等。

解决问题的教学不同于其他课。教师一改枯燥的文字形式呈现，让课堂从“文”到“图”。通过学生画一画线段图，进入“动”的状态；画出线段图后，让学生寻找图中的3个量，学生进入“静”的状态；通过观察3个量之间的数量关系，列出自己心目中的方程，学生再次进入“动”的状态；当列出的方程出现不同时，学生立即进入“静”的状态：思考这3个方程的特点；当学生掌握其中的“秘密”后，学生再次通过练习加以巩固强化，又一次次地“动”起来。练习中最后再次出现线段图，在对比中让学生感悟方程法与算术法的区别。教师充分抓住孩子的学习特点，既巩固了所学知识，亦让学生感受到成功的喜悦，获得了学习数学的幸福感、成就感。

巧用线段图，动静结合，使学生掌握了解决稍复杂的百分数实际问题的方法，很好地培养了学生分析和解决问题的能力。

三、 重视优化，强化检验反思

整节课中，袁老师重视了方程的优化，让这节课走向立体化。有的学生为什么方程总列不正确，和教师教学时如何对方程的优化有关。这节课上，学生非常明显地感受到：将未知的两个量放在等号的一边，将已知的放在方程的另一边。这样的方程更便捷，这不是教师直接传授给学生的，而是通过学生的发现说出来的，教师准确地引导与总结，使得这节课难点顿时化解开。在练习时，学生已能自觉地对找到的数量关系式进行调整，将未知的量都放在等号的一边进行思考。

对于方程的检验，也是学生学习的难点之一。学生更多的是一种流于形式的检验，这节课中，我们看到了教师的“别有用心”：先让学生小组内讨论交流，在这基础上，让学生写出自己检验的过程。在写的过程中，学生肯定会对自己写的方法进行思考，因为有了和同学的预先交流，有意识地减少了错误。教师特别重视和学生一起回顾反思，通过问题的形式，提示学生回忆，形成解决问题的一般过程。

数学课，追求的是“实”。从袁老师的《列方程解决稍复杂的百分数实际问题1》这节课，很好地展示了当下数学教师的风貌，在复习时的巧妙设计、教学过程的安排、教学活动的实施方面，都能坚持以学生的发展为本，努力体现新课程基本理念，让我们感受到了数学的魅力。

作者简介：

袁方，扬州市江都区实验小学教师，获江苏省第九届“蓝天杯”数学教师会课一等奖。

张秀花，江苏省特级教师，江苏省小数专业委员会常务理事，扬州市小学数学教研员。扬州大学硕士研究生导师，扬州市小数专委会秘书长，扬州市小学数学名师工作室领衔人。荣获全国教科研先进个人，省先进教育工作者，省厅“333”高层次人才培养对象，省教育厅“送优质教学资源下乡工程”主讲教师，扬州市学科带头人；省政府教育督导团专家组成员，省教育厅小学数学学科领军人才，扬州市“领雁工程”第一层次培养对象；连续8年评为“优秀省特级教师”。