在亲历探究中建构数学知识

张秀花

【摘要】教师从实际出发，提出具有思考性的问题，引导学生探究新知；抓住有关内容，给学生充分的时间和空间，经历知识的探究过程；引导、追问，引发深层次思考，提升学生思维能力。

【关键词】探究发现建构提升

这部分内容是在学生知道倍数和因数的含义、能在1—100的自然数中找出10以内某个数的所有倍数的知识基础上得出2和5的倍数的特征，认识偶数和奇数的含义，进一步渗透2和5的公倍数的特征。让学生经历探究2、5的倍数的特征的活动，明确探究方法，为进一步探究其他数的倍数特征做好学法准备。

一、 复习旧知，设疑导入

1. 复习回顾。

（1） 在上節课的学习中，我们认识了倍数与因数，谁来举例说一说什么是倍数？什么是因数？

（2） 关于倍数，你还知道什么知识？你能举例说明吗？

[设计意图：通过复习让学生用语言表述并举出具体的例子，帮助学生重点回顾找一个数的倍数的方法，多数学生能表达出上节课学习的因数与倍数的知识，能够举例表述倍数与因数的含义；能够说出一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数，一个数的倍数的个数是无限的；能举例说明找一个数的倍数的方法，为本节课的学习做出知识准备。]

2. 创设情境，设疑导入。

（1） 同学们说出了这么多关于倍数的知识，老师也想和大家玩个猜倍数的游戏。请你们任意说出一个自然数，不管是几位数，我都能快速地判断出它是否是2或5的倍数。不信可以试试看。

（2） 学生报数，老师答，同时用除法知识进行验证。

（3） 你们想知道老师为什么不计算就能马上判断出来吗？学了今天的知识，你们就知道老师猜数的奥秘了。（板书课题：2、5的倍数的特征）

[设计意图：创设一个小小的游戏情境，学生报数老师猜是不是2或5的倍数，教师快速又准确的判断，让学生感到很神奇，设置了悬念。既调动了学生学习的积极性，又激发学生探索新知的欲望。]

二、 探究新知，自主建构

（一） 探索5的倍数的特征

1. 出示例题，呈现百数表。

2. 请同学们拿出百数表，在这些数中找出5的倍数，涂上红色。

3. 交流汇报，集体核对。（展示一名学生的涂色结果）

4. 观察表中5的倍数，看看你有什么发现？同桌之间可以互相说一说。

5. 交流：谁愿意和大家来分享你的发现？

6. 指出：通过大家的仔细观察，我们发现个位上是0或5的数都是5的倍数。

7. 验证：除这些数以外，其他5的倍数也有这样的特征吗？请同学们任意举出一个三位数或者四位数甚至更大的数来验证我们的发现。（学生说相应的数，引导学生用除法来检验是不是5的倍数）

追问：怎样的数一定是5的倍数？（板书：个位是0或5的数都是5的倍数）

[设计意图：学生独立找出100以内的5的倍数并不困难，在学生独立探索发现5的倍数的特征时，有些学生并没有意识到去观察个位上的数，从而发现5的倍数的共同特征。在教师的引导下，让学生把关注点放在观察个位上的数，借助百数表通过找一找、涂一涂、比一比、想一想、议一议等活动，应用不完全归纳法来总结5的倍数的共同特征。为了完善学生的认知，教师让学生任意举出一个符合要求的更大的数，来验证特征的可行性。]

8. 针对性练习。

（1） 出示：下面哪些数是5的倍数？请你说出判断的理由。（21、45、70、86、97、110、1005、5722）

（2） 学生独立思考，在练习本上写出是5的倍数的数。

（3） 反馈：学生判断，并说出判断的理由。

（4） 小结：看来应用5的倍数的特征，可以判断哪些数是5的倍数。

追问：如果一个数不是5的倍数，它的个位上会是0或5吗？可能是哪些数？

[设计意图：在学生掌握5的倍数的特征后让学生及时进行巩固性练习，一方面便于反馈学生对5的倍数的特征的理解与掌握情况，另一方面也可以促使学生应用5的倍数的特征解决问题，尽快将知识内化形成技能。]

（二） 探索2的倍数的特征

1. 提出探究问题。

师：在这些数中，哪些是2的倍数呢？你能很快地找到吗？看来我们需要探究2的倍数特征。回忆一下，刚才我们是怎样探究出5的倍数特征的？

[设计意图：通过谈话激活学生探究5的倍数特征的活动经验，可以更好地促进探究方法的迁移，学生回顾5的倍数特征的探究过程，很自然地想到先找出百数表内所有5的倍数，再比较观察这些数个位上的数，从而发现5的倍数特征。让学生运用5的倍数特征的探究方法，进一步探索2的倍数特征。]

师：根据研究5的倍数特征的经验，猜一猜2的倍数可能会有什么特征呢？

学生自由表达自己的意见。

追问：大家的猜测是否正确呢？你准备怎样验证？

明确：借助百数表，找出2的倍数，再通过观察比较验证猜想。

[设计意图：知识的正迁移，受5的倍数特征的影响，学生猜测2的倍数特征，很容易想到一个数个位上是某些数时，这个数就是2的倍数。牛顿说过：“没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。”通过引导学生大胆猜测2的倍数的特征，引发学生自主探究2的倍数特征的内在需要，并主动设计探究2的倍数特征的基本思路。从建立猜想到自主设计探究思路验证猜想，无不体现学生学习的主体性。]

2. 小组探究2的倍数的特征。

结合学生的回答出示学习菜单：

（1） 将百数表中2的倍数涂上黄色。

（2） 观察2的倍数，看看有什么发现？

（3） 在小组内和同学交流你的发现。

（4） 总结2的倍数的特征，小组内成员每人举例进行验证。

学生4人一组，每组一名组长。组员独立完成第1个学习要求后，组长组织在组内核对，再独立思考第2个学习要求。在组长的组织下，小组成员进行交流，探究2的倍数的特征。

3. 小组学习成果交流汇报。

（1） 交流汇报统一认识。（板书：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数）

（2） 观察2的倍数的特征，看看你刚才的猜测是不是正确。

（3） 交流验证情况：其他2的倍数也有这样的特征吗？

4. 追问：2的倍数有什么特征？

[设计意图：学生已经有探究5的倍数特征的活动经验，探究2的倍数的特征时，完全可以给学生提供一个较大的发现问题、探究问题的空间，放手让学生自主探究。学生根据学习菜单，通过独立思考与小组交流，完全能够探究发现并验证2的倍数的特征。小组合作交流既可以借助同伴互助的力量，帮助学困生学习，也能够在交流中准确发现2的倍数的特征，小组成员间的举例验证更能体现合作学习的价值。]

5. 试一试。

师：现在你会判断之前的这些数是不是2的倍数了吗？

出示： 21、45、70、86、97、110、1005、5722

学生集体依次判断，并指名说出判断的理由。

追问：如果一个数是2的倍数，个位上可能是哪些数？个位上是哪些数时，这个数肯定不是2的倍数？

[设计意图：学生理解掌握2的倍数的特征后，再回到之前的练习中，让学生应用所学知识解决问题，感受学习的价值，体验成功的喜悦。及时的巩固练习也能帮助学生内化所学知识，形成技能。]

（三） 认识偶数与奇数

1. 如果一个数是2的倍数，它还有一个名字呢？想知道吗？

学生自学课本偶数和奇数的知识。

2. 反馈自学情况。

师：2的倍数，我们可以叫作什么呢？（板书：2的倍数——偶数）

师：通过自学，你还知道了什么？（板书：0也是偶数，不是2的倍数——奇数）

[设计意图：认识了2的倍数的特征后，教学偶数和奇数的概念，符合学生的认知规律。对于2的倍数还称作什么，学生有一定的好奇心，可以通过自学认识偶数、奇数的概念。通过学生自学的方式认识偶数、奇数的概念，比教师直接传授讲解的效果要好。如此培养了学生的自学能力，又体现了学生的主体性。]

3. 巩固练习。

（1） 说出几个偶数和几个奇数，同桌互评。

（2） 快速判断：你的学号是奇数还是偶数？同桌交流。

师：请学号是偶数的同学起立，你们学号的个位上是哪些数？坐着的同学，你们的学号都是奇数吗？为什么？

追问：有没有一个学号，既不是奇数又不是偶数？为什么？

指出：一个整数，不是奇数就是偶数。

[設计意图：及时的巩固练习，帮助学生深入理解偶数、奇数的含义。让学生应用奇数、偶数的知识辨认自己的学号，一方面学生体会到学号不是奇数就是偶数，初步感知自然数的分类，另一方面学生也感受到数学知识的广泛应用。]

三、 多层练习，拓展提升

1. 完成“做一做”。

（1） 学生先完成前两个问题，用不同的符号分别标出2、5的倍数。

（2） 反馈交流，集体核对。

比较：判断一个数是不是2或5的倍数，都是看什么？

小结：判断一个数是不是2或5的倍数，都需要看这个数个位上的数。

（3） 哪些数既是2的倍数又是5的倍数？（引导学生观察标了两种符号的数）

师：你有什么发现？同桌之间相互说一说。

指出：个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数。

追问：一个数既是2的倍数又是5的倍数，它有什么特征？你还能找出这样的数吗？

[设计意图：“做一做”运用2、5的倍数的特征解决问题，既巩固了2、5倍数的特征，又通过直观的观察对比渗透了2和5的公倍数的特征。在练习时，注重知识间对比与联系，让学生意识到2、5的倍数判断方法的共性。]

2. 有0、1、5、6四张数字卡片，请选择两张卡片组成符合以下条件的数。

① 组成的数是5的倍数。

② 组成的数是偶数。

③ 组成的数是既是2又是5的倍数。

（1） 学生拿出课前准备的数字卡片按①要求组成两位数，试试能组成几个这样的数。

交流组成哪些5的倍数。明确可以用0或5做个位上的数，可以组成5个这样的两位数。

（2） 学生完成第②题。

交流得出个位上可以是0或6，说出符合要求的数。

（3） 学生完成第③题。

明确个位上只能0，说出组成的3个数。

[设计意图：用数字卡片组成符合要求的数，是本节课知识的综合应用。让学生结合所学习的数的特征，灵活应用。学生可以借助卡片的操作得出答案，也可以直接在头脑中思考得出结果，应该因材施教，不作统一的要求。无论哪种思考方式，学生都要意识到要组成符合条件的数，必须根据数的特征确定个位上的数，还要进行有序的思考。]

四、 回顾小结，延伸课外

现在，你们知道老师猜数的奥秘了吗？通过今天的学习，你有什么收获？同学们还想研究哪个数倍数的特征？让学生畅所欲言，自主梳理本课知识。

设计思路

一、 精心设计，激发兴趣，诱发乐学

“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”兴趣是学生学习的动力，它在学生学习过程中起着巨大的推动作用。在教学例题之前，教师设计了这样一个游戏情境：让学生任意说一个数，教师快速判断是否是2或5的倍数。学生感到神奇的同时，教师说：“你们想知道老师为什么不计算就能马上判断出来吗？学了今天的知识，你们就知道老师猜数的奥秘了。”简单的几句话，激发了学生的学习兴趣和探索新知的强烈欲望，学生以积极乐学的心态投入到新知的学习中。在教师的引导下，学生掌握了2、5的倍数的特征并能活学活用。

二、 经历探究，自主发现，验证结论

建构主义学习理论认为，知识不仅仅是通过教师传授获得的，而是学习者在一定的情境下，借助他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资源，通过意义建构的方式获得的。在教学中，我们也要抓住有关内容，给学生充分的时间和空间，让学生经历知识的探究过程。

教学5的倍数的特征，学生对这样的探究方法接触得还比较少，所以在教师引导帮扶下，学生完成提供素材—自主探究—归纳结论—举例验证的探究过程，为后面2的倍数特征的学习明确了探究方法。因此教学2的倍数的特征时，运用知识的正迁移，教师可完全放手让学生自主探究。教师为学生的探究活动提供充分的时间和空间，学生通过独立思考和小组合作相结合的学习方式，经历猜测—探究—归纳—验证的完整的探究过程。自主探究的学习过程充分体现了学生的主体性，培养了学生多方面的学习能力，增强了学生的学习自信心。

三、 讲练结合，及时反馈，掌握知识

讲练结合，精讲精炼。在本节课的设计中，每学习一个新的知识点，教师都设计了相应的知识练习，通过练习帮助学生掌握所学知识点。讲练穿插进行，一方面促使学生对学习的知识理解更透彻，及时巩固所学知识。另一方面及时检测学生对知识的理解掌握情况，教师根据学生的练习情况，及时发现、纠正学生存在的问题，让学生脚踏实地地掌握每一个知识点。

四、 适时追问，引发思考，提升思维

学生的思维由问题开始，又在解决问题中得到发展。我们要根据教学重点和学生实际提出具有思考性的问题，引导学生积极思考，在思维的碰撞中提升思维能力。学生完成5的倍数的特征基本练习时，教师追问：“如果一个数不是5的倍数，它的个位上会是0或5吗？可能是哪些数？”学生掌握了2的倍数的特征后，教师追问：“如果一个数是2的倍数，个位上可能是哪些数？个位上是哪些数时，这个数肯定不是2的倍数？”学生能正确辨认奇数和偶数时，进一步启发学生思考：“有没有一个学号，既不是偶数又不是奇数？为什么？”在掌握基本知识的基础上，教师这一系列的引导、追问，引发学生展开深层次的思考，通过正确的思维方法，学生主动得出结论，提升了思维能力。

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些具体的数的找寻，逐步演化为对某种量的探究，不知不觉中孩子们已经意识到，当某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各種情况进行分类讨论。

四、 枚举教学拓展，衍生集合思想

集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。苏教版第九册《解决问题的策略——一一列举》一课中最后一道题是这样的：一张靶纸共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投中两次，可能得到多少环？（列举出所有可能的答案）我根据教材内容创设了一个真实的打靶游戏情境，学生既看得见，又摸得着，小学生好动、好说、好玩、好胜的性格特征在这个环节中一览无余。第一轮的男女生代表比赛投镖，使学生消除了新知探究时的疲劳，重新燃起了参与激情；第二轮的背对大家投中两镖再让大家猜环数，则增添了神秘感，拓展了想象的空间，使学生的思维迅速聚焦于分类、一一列举；第三轮实际也就是拓展环节：告知孩子老师课前投了2环，投“中”改为投“了”，孩子们在激烈的讨论中明白：“投了2环”既含有了上题中“投中2环”，又含有“投中1环”，还含有“没投中”三类情况。“中”改“了”一字点睛，经济高效，集合思想在这里生根，教育价值在这里延伸。

五、 植树教学拓展，升华对应思想

图2对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。苏教版第七册《找规律》一课中，主要研究的是植树问题，一般说来有这样几种情况：

（1） 非封闭线的两端都有“点”，如图2。

点数=段数+1

点数=段数

融合上述种种情况，在拓展环节中我出示了一道开放题：“一个长方形池塘（图略），长80米，宽40米，要在池塘边上栽一些树。运用新学知识想一想，可以怎么栽？要多少棵树？”经过小组合作后，孩子们拿出了各自的方案，有长边或短边上栽的，其中又分两端都栽、两端不栽、只栽一端；有四周栽的，其中又有间隔栽的等等，各种情况纷繁复杂。如果光凭对四种规律的死记，必然会生搬硬套、张冠李戴，这时需要一种统领全局的思想，那就是对应思想，将两个集合因素进行一一对应，看看是否正好一一对应，如果不是正好对应余下的又是什么，回答了这个问题一切便会迎刃而解。有了这样一个对应的思想统领，学生才能领悟到植树问题的实质，在解决一个个实际问题的过程中，学生的对应思想逐步清晰完善。

数学思想是数学的精髓。数学课程改革的核心是促进学生全面、持续、和谐地发展。数学课上教师应加强知识间的联系与渗透，设计、实施具有知识张力和思维广度的拓展方案，让思想从这里起飞，智慧在这里积淀。