拓展思维让数学思想明晰起来

蒋琴

【摘要】在小学数学课堂教学中，思维拓展环节的地位、作用非常重要。作为一名一线教师，笔者深刻地认识到，一个好的“拓展”应该是有趣的、有价值的、高效的、无痕的。文章撷取了教师在拓展教学实践中的几个成功典例，探讨了拓展过程对孩子在数形结合、变与不变、分类讨论、集合、对应等数学思想方面的深远影响。

【关键词】数形结合变与不变分类讨论集合对应

从人的自我发展的角度来看，思維拓展这一环节的地位、作用非常重要，是人的知识转化为人的能力、内化为人的素质的关键。拓展前有学习，后有创造，起一个承前启后的作用，是由量变到质变，直至飞跃的中间地带。一个人学习了“一”，通过拓展，“一生二”“二生三”“三生万物”，而后就会形成对事物本质的规律性认识，而后在此基础上进行新的创造，新的生成。在小学数学课堂教学中，思维拓展环节也是不可或缺的，该环节通常集中安排在课尾，即新知学习、巩固练习之后，这样学生就先经历一个知识储备阶段，从而为后续的拓展训练奠定基础。此外心理学研究表明，小学生在一节课上大约有20分左右的时间思维处于活跃期，而到一节课的后半段特别是临近结束时，思维则趋于平缓，甚至进入了休眠期，这时一个高效的课堂就需要一个精彩的“拓展”。从学习的情感态度这个层面上看，一个好的“拓展”应该是有趣的、无痕的。从知识技能、数学思考这个层面上看，一个好的“拓展”应该有价值的、高效的，具体操作时应该是分层设标的，它既要具备拔高性，又要具备基础性。基础性是让学生人人参与，人人掌握，有共同的底线；拔高性是让部分学生触类旁通，深度思考，突破底线，对不同学生在学习结果上寻求不同，让学生获得尽可能多的发展和提高。这就契合了数学新课程标准的一条重要理念——“不同的人学不同的数学”，即让学生接受不同层次的数学教育，适应学生学习上的差异，让学生拓宽视野，发展思维，启迪思想，从而实现数学新课程标准提出的一个重要目标，就是“让不同的学生在数学上获得不同的发展”。

一、 分数教学拓展，体验数形结合思想

图1“数无形，少直观，形无数，难入微”，数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数。一方面，抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面，复杂的形体可以用简单的数量关系表示。利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。苏教版教材第五册有一课内容是《简单的分数加减法》，说它简单是因为分数都是几分之几，分母在10以内，而且是同分母分数相加减，掌握这些知识孩子们易如反掌。怎样才能再深入一些，且不超出孩子的认知范围呢？我设计并有效实施了这样一个拓展环节。先出示图1，让学生思考：（1）图中的涂色部分各占这个图形的几分之几？（2）涂色部分一共占这个图形的几分之几？实际这题是算1/8+1/4，但事实上图1如果让刚上三年级的孩子抽象地进行异分母分数相加减，当属严重超纲、超认知范围，但因为有了这个形象直观的图形，80%的孩子顺利地解决了问题，而且孩子们隐约体会到异分母分数不能直接相加减，这让孩子们以后接触通分时不再陌生。因此这个环节所承载的意义与价值已经不仅仅是算一个数，它给孩子的是一种数形结合的思想，一种对事物本质规律的深刻认识。

二、 余数教学拓展，感悟变与不变思想

自然规律是变化中有其不变，循环不已而永葆生机，变与不变是一种辩证唯物主义思想，数学中的变与不变是在纷繁复杂的变化中把握数量关系，以不变为突破口，往往问题就迎刃而解。在教学苏教版教材第三册《有余数的除法》时，我设计了这样一个拓展环节：智获铅笔。老师准备20支铅笔，出题：“把20支铅笔平均分给6个人，每人分得几支”，对于能判断出有余数并能说出余几的学生，就奖其几支。绝大多数学生能很快报出得数，一时报不出得数的学生会自发地帮其验证，一时间学生热情高涨、思维活跃。但接下来的一个问题：“把老师手中的铅笔平均分给7个人，每人分得几支？”这个问题有一定的隐蔽性，这让粗心的学生好好吃了回“苍蝇”，因为他们没注意到总数已悄然发生了变化。当然，吃一堑长一智，之后的几题他们都能应对自如。而最后的一个问题：“这儿的10支铅笔，怎样分会剩下2支？”学生们各显其能，其中一个学生居然在驳斥别人的答案时隐约提出“余数要比除数小”的规律（这是后面学习中要重点研究的规律）。三个问题各具代表性，使得学生不得不综合运用所学知识，调整思路，整个拓展环节中既有来自思维活跃的学生的精彩发现，又有来自一般学生对这些发现的细致检验，全员参与，相辅相成。总数的变与数量关系的不变，使学生尝试到了一种挑战的乐趣，感悟到了一种辩证的思想。

三、 加法教学拓展，萌生分类讨论思想

当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，我们需要对这个量的各种情况进行分类讨论。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。在苏教版教材第二册《两位数加一位数口算（进位）》教学时，我在学生已经理解了算理，掌握了算法，解决了实际问题之后，出示了以下的画面：用小动物的头像遮住方框里的数，34+□=3□，孩子们你一言我一语很快说全了答案，这时的答案是零散的、无序的，当我把这些答案有序排列之后，孩子们很快得出，只要个位上的数相加不满十得数还会是三十多，这时当我把画面切换成34+□=4□时，孩子们已脱口而出：只要个位上的数相加满十得数就是四十多。因为题目留空了，孩子们的思维从对一