高中数学例题有效设计的探索

【摘 要】高中数学教学过程中必须通过多种方式提高学生对知识的理解与认识，而例题是学生学习概念、掌握技能的主要载体，在学生的数学学习中具有重要的引导作用。借助丰富的教学案例，重点从类化例题、变式例题、一题多解、多题一解、学生自主出题的设计5个方面阐述例题的有效设计，以期起到提高数学课堂教学实效的作用。

【关键词】高中数学；例题教学；有效设计

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）11-0046-02

【作者简介】林秀芬，福建省晋江市英林中学（福建晋江，362256）教师，二级教师。

例题教学是数学教学的重要组成部分，是教师讲课时用以阐明数学概念、数学命题及初步应用的主要途径，是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带。在学生的数学学习中例题具有重要的引导作用，通过例题的学习，学生应达到理解数学概念、掌握数学定理和数学公式、完善数学学习方法和丰富数学素养的目的，因而课堂教学中的例题设计就显得尤为关键，教师应根据教材内容和学生实际，精心设计例题，激发学生学习的主动性和创造性，拓展学生的数学思维，提高课堂教学的实效性。

一、类化例题的设计——在归类对比中前行

在高中数学的教学中，存在着很多混淆不清的问题。可以将这些问题分类归档，进行有效组合，把所学的相关知识点集中体现在例题中，并集中力量解决同类题中的核心问题，总结解这类题的方法和规律，从而达到触类旁通的目的。

例1：

（1）求f（x）=-ax3+x2+1（a≤0）的单调区间；

（2）已知函数y=ax3+bx2+6x+1的递增区间为（-2，3），求a，b的值；

（3）函数y=x3-2bx+6在（2，8）内是增函数，求b的取值范围；

（4）若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，求实数m的取值范围；

（5）若函数f（x）=lnx-ax2-2x（a≠0）存在单调递减区间，求a的取值范围。

通过类化例题的设计，整理了“利用导数研究含参函数单调性”的方法，包括讨论“参数求单调区间”“已知单调区间求参数”“已知在某区间上单调性的恒成立问题及存在性问题求参数”的方法和规律。因此，在例题设计时，要有整体意识，在知识交会点处设计问题，在解决问题的过程中提炼数学思想方法。

二、变式例题的设计——在变换转化中拓展

一题多变，是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化，更换问题中的条件或结论，从而使学生掌握知识的本质属性。一题多變能展示知识的发生过程，促进知识的迁移；能沟通知识的内在联系，促进知识网络的形成；能强化定理公式的条件和适用范围，培养学生的严谨思维。在学生融会贯通所学知识的同时，提高学生的解题能力，培养学生的数学思维，应成为例题教学的重要目标。比如，在新课标人教A版必修2“点到直线的距离公式”讲解中设计以下例题。

例2：已知点P（2，-1），求点P到直线3x-4y=0的距离。

变式一：已知点P（2，-1），求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程。

变式二：已知点P（2，-1），求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

变式三：已知点P（2，-1），是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。

表面上看，以上题目都是点到直线距离公式的应用，实际上难度是逐级增加的。例2用点到直线的距离公式即可求出；变式一考虑斜率不存在时是否满足条件，再利用待定系数法根据点到直线的距离公式建立等量关系，求出斜率；变式二通过数形结合的方式可知过点P与原点O距离最大的直线是过点P，且与PO垂直的直线，求出斜率，利用点斜式可得直线方程，再利用点到直线的距离公式求出距离；变式三只需比较“过P点与原点的距离最大的直线l中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在。

三、一题多解的设计——在主动探究中提效

一题多解就是从不同角度、按不同思路、用不同方法给出同一道例题的解答。一题多解有利于调动学生的学习积极性，在寻求变异中，勇于创新，提高学生的思维能力，积累解题经验，丰富解题方法，使课堂成为学生合作、争辩、探究、交流的场所。

例3：中国的春节习俗中，正月初五迎财神，小张所在的某微信群将在当天共24个整点举行抢红包活动，已知小张打开手机的时刻是随机的，求他打开手机等待抢红包的时间不多于10分钟的概率。

在教师的引导下，学生通过分析、思考、画图，可以得到以下四种解题思路：利用[50，60]时间段所占的面积；利用[50，60]时间段所占的弧长；利用[50，60]时间段所占的圆心角；将时间转化为长60的线段，研究点位于[50，60]之间的线段的概率。在一题多解中进一步掌握了几何概型的知识与应用。

四、多题一解的设计——在总结提炼中飞跃

多题一解是用一种数学知识解决不同的数学问题，即学生做了同一知识点的许多习题后，对题目加以归纳、提炼、挖掘其本质特征，以达到事半功倍的效果。

例4：

（1）3男4女排成一列，要求男生互不相邻，共有多少种排法？

（2）某会议室共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法多少种？

（3）有15盏灯，要求关掉6盏，且相邻的灯不能全关掉，两端的灯不能关掉，则不同的关灯方法有多少？

（4）10名同学合影，站成了前排3人，后排7人。现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法有多少种？

以上4道例题，虽内容各不相同，但在解答时都采用了同一种方法：插空法。多题一解的设计可以让学生通过分析已知条件，抓住问题的本质和规律，真正掌握某一种数学思想方法。

五、学生自主出题的设计——在交流创造中升华

在复习课中，要把单纯的知识复习转变为学生自主梳理所学知识的过程。因为要设计题目、设计好题目，就需要学生用心把教材通读一遍，这样的过程就是复习。在这样设计习题过程中，学生一般都不会分心，能认真复习、积极思考。

例如，在复习导数的公式及运算法则时，以小组合作的形式，每个小组设计2道求函数导数的例题给全班同学解答。

例5（学生设计）：求下列函数的导数。

通过引导学生自己设计例题，让数学复习课既有一定的新鲜感，又能使学生在复习课上得到相应的训练，发挥个性，品尝到学习成功的喜悦。

总之，在数学课堂教学中教师要利用数学学科的特点，根据教学内容，紧扣教学目标设计好例题，加强设计精品例题的意识，以少胜多，以质为上。如果让学生身处“做题初，趣已生；做题时，趣愈浓；做题终，趣不尽”的学习情趣中，那么我们的例题设计便是有效的。