一类二阶具多时滞次二次增长条件泛函微分方程同宿轨的存在性

田继青，张超龙，郭承军

（1.电子科技大学中山学院，广东中山528400；2.仲恺农业工程学院计算科学学院，广东广州510225；3.广东工业大学应用数学学院，广东广州510006）

一类二阶具多时滞次二次增长条件泛函微分方程同宿轨的存在性

田继青1，张超龙2，郭承军3

（1.电子科技大学中山学院，广东中山528400；2.仲恺农业工程学院计算科学学院，广东广州510225；3.广东工业大学应用数学学院，广东广州510006）

本篇论文的目的是研究一类二阶具多时滞次二次增长条件泛函微分方程同宿轨的存在性.利用Mawhin的连续定理，对一列周期解取极限，得到了所研究的系统具有一个非平凡的同宿轨.

同宿轨；多时滞；Mawhin的连续定理

1 引言

最近这些年，利用临界点理论，许多学者研究了Hamilton系统同宿轨的存在性，但具多时滞的泛函微分方程一般不具有变分结构，因此无法运用临界点理论去研究解的存在性问题.在本文中，利用Mawhin的连续定理，对一类二阶具多时滞次二次增长条件的泛函微分方程，我们建立了同宿轨的存在性定理.在文献[1-7]中，研究的是二阶Hamilton系统同宿轨的存在性，而在文献[8-12]中，他们考虑了一阶Hamilton系统同宿轨的存在性.

本文中，我们讨论了如下泛函微分方程

关于次二次增长条件见（H4），对应于超二次增长条件，其重要工作见Rabinowitz[1].

如果当t→±∞时，有x（t）→0，则我们说x（t）是系统（HS）的同宿轨.另外，如果x不恒等于0，则称x为非平凡的同宿轨.

为了证明我们的主要结果，我们首先介绍Mawhin的连续定理[13].为此，我们给出如下一些有用的定义.令X和Y为两个Banach空间，L∶DomL⊂X→Y是一个线性映射，N∶X→Y为一个连续映射.如果L满足：

（i）dim KerL=co dim Im L＜+∞；

（ii）Im L在Y中是闭的；

则称映射L是指标为零的Fredholm算子.如果L是一个指标为零的Fredholm算子，则存在连续投影算子P∶X→Y和Q∶Y→Y，使得Im P=KerL和Im L=KerQ=Im（I－Q）成立.并且∶（I－P）X→Im L有逆存在，我们用Kp表示.如果Ω是X中的一个有界的开子集，QN（Ω）是有界的且是紧的，则称映射N为Ω上L－紧的.因为Im Q和KerL同构，故存在一个同构J∶Im Q→KerL.

定理A（Mawhin的连续定理[13]）：令L是一个具零指标的Fredholm算子，N是一个在上L－紧的非线性算子.如果

（2）对每个x∈∂Ω∩Ker（L），有QNx≠0和deg（QN，Ω∩Ker（L），0）≠0；

2 主要结果

现在我们对a1（t）、a2（t）和f（t）做如下假设：

（H1）；

（H2）M2=maxt∈[0，T]a2（t）≥a2（t）≥m2=mint∈[0，T]a2（t）＞0；

（H3）f∶R→R是一个连续有界函数，且f不恒等于0和，其中η＞ 0是正常数；

（H4）存在常数0≤γi≤1和βi（t）∈L2（R，R+）（i=1，2，…，n），有下列条件成立

其中α=min{m2，1}，β（k）i（t）是βi（t）在区间[－kT，kT]上的2kT周期截取，ρ是由式（7）定义的一个正常数.

定理2.1：假设（H1）-（H4）被满足，则系统（HS）存在一个非平凡同宿轨x∈C2（R，R），使得x'（t）→0，t→±∞.

注2.2：当γi=1（i=1，2，…，n）时，文献[4]是系统（HS）的特殊情形.

为方便我们的证明，需要一些预备工作.对每个k∈N，令

定义Xk上的范数如下

令

及Yk上的范数，从而都是Banach空间.

注2.3：如果x∈Xk，则有x(i)（0）=x(i)（2kT）（i=0，1）.

在Izydorek和Janczewska[5]的工作中，系统（HS）的同宿轨是通过对一系列周期函数解xk∈Xk取极限得到的.因此，我们考虑如下系统

其中对∀k∈N，fk∶R→R是f在区间[－kT，kT]上的具有2kT周期的截取函数，Xk是系统（HSk）的2kT周期解.

定义算子Lk∶Xk→Yk和Nk∶Xk→Yk如下：

在Yk中是闭的.因此Lk是一个指标为零的Fredholm算子.

对x=x（t）∈X和y=y（t）∈Yk，如下定义Pk∶Xk→Xk和Qk∶Yk→Yk/Im（Lk）：

显然有Im Pk=KerLk和Im Lk=KerQk=Im（Ik－Qk），故

令Ωk为Xk中的有界开子集，易知有界，是紧的.从而映射Nk为k中L－紧的.

引理2.4：令Lk、Nk、Pk和Qk分别是（1）、（2）、（5）和（6）所定义的算子，则Lk是一个指标为零的Fredholm算子，Nk在k上是L－紧的，其中k是Xk中任意有界开子集.

3 主要结果的证明

在我们的证明中，需要用到Rabinowitz在文献[11]中的一个重要结果.

命题3.1：对x∈Xk，存在一个正常数ρ，使得下面的不等式成立：

现在，我们考虑如下的辅助方程

引理3.2：假设定理2.1中的条件成立.对∀k∈N，如果xk（t）是方程（8）的2kT周期解，则存在独立于的正常数，使得

证明：假设xk（t）是方程（8）的2kT周期解.由（8）我们有

由（7）和（10），可得

这意味着

因为0≤γi≤1和，从而存在正常数使得

另一方面，由（8）有

从而有

由（7）和（18），有

从而引理3.2成立.

引理3.3：假设（H1）－（H4）成立，则对∀k∈N，系统（HSk）存在一个2kT周期解.

证明：假设x（t）是方程（8）的2kT周期解.由引理3.2知，存在独立于的正常数使得（9）成立.对任意的正常数，其中.令

可知Lk是一个指标为零的Fredholm算子，Nk在上是L－紧的（文献[13]）.

由于Ker（Lk）={x∈Xk∶x（t）=c∈R}及Xk上的范数如下

从而由（20）知，当x∈∂Ωk∩Ker（Lk）时，有.

由（H4）可得（如果选择的充分大）

最后，对于∀x∈∂Ωk∩Ker（Lk），由（2）、（6）和（20）－（22），有

因此，对∀x∈Ker（Lk）∩∂Ωk和η∈[0，1]，可得

从而有

由引理3.2，对∀x∈∂Ωk∩Dom（L）k和∈[0，1]，有Lkx≠Nkx.由定理A，方程Lkx= Nkx在Dom（L）∩上至少存在一个解.因此系统（HSk）存在一个2kT周期解.

引理3.4：令{xk}k∈N是由引理3.3得到的序列，则在中存在一个x0，使得xk→x0，k→+∞.

证明：由（14）及Arzela-Ascoli定理，从而有{xk}k∈N在中收敛到系统（HS）的一个解x0，且满足

由（HSk）可得

因此x0是系统（HS）的一个解.

另外，我们有

这表明（23）成立.

引理3.5：引理3.4中得到的函数x0是系统（HS）的同宿轨.

我们分两步证明.

第一步：我们证明x0（t）→0，t→±∞.

由（23），有

因此，（15）和（24）表明我们的断言是正确的.

由（14）、（19）和（24），只需要证明

另一方面，由系统（HS）有

因此对所有的t∈R，有g（t，0，0，…，0）=0，x0（t）→0，t→±∞，同时可得，所以式（25）成立.

定理2.1的证明：显然，由引理3.5，可得定理2.1.

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Existence of Homoclinic Solutions for a Class of Subquadrtic Second-order Differential Equations with Multiple Lags

TIAN Jiqing1,ZHANG Chaolong2,GUO Chengjun3
（1.Zhongshan Institute,Universityof Electronic Science and Technology,Zhongshan,528402,Guangdong,China 2.Zhongkai Universityof Agriculture and Engineering,Guangzhou,510225,Guangdong,China 3.School of Applied Mathematics,GuangdongUniversityof Technology,Guangzhou,510006,Guangdong,China）

The existence of homoclinic orbits is examined for a class of sub-quadrtic second order differential equations with multiple lags.By using Mawhin's continuation theorem,a nontrivial homoclinic orbit is obtained as a limit of a certain sequence of periodic solutions of the equation.

homoclinic orbit;multiple lags;Mawhin’s continuation theorem

O175

A

1001-4217（2017）01-0022-08

2016-03-03

郭承军，副教授、博士，研究方向：主要从事泛函微分方程、Hamilton系统以及常微分方程理论及其应用等课题的研究．E-mail：guochj817@163.com

广东工业大学培英育才基金项目（112410004204）和国家留学基金委资助项目（201308440327）