凝视不动量，探究导数问题中的“变”与“不变”

江苏省高邮中学 朱 俊

凝视不动量，探究导数问题中的“变”与“不变”

江苏省高邮中学 朱 俊

利用导数求函数的极值进而求最值，再通过最值解决数学中的其他问题，是高考中的一种常见题型。导数问题中的“变”一般变的是函数表达式中的常数字母，它是相对于自变量而言的常数，但又是变化着的常数，它的变化会影响函数式，使函数式具有不同的性质和特征；“不变”指的是字母、参量变化过程中的不变性质，或者是不变的函数值，尽管参量字母变化时，函数性质发生了质的改变，但还是有某些“性质点”是不变的，而这些“不变”的条件很有可能是我们解决问题的突破口。在实际解题中，很多时候我们不一定非要通过复杂的讨论和运算，才能弄清楚参量和函数的关系，适时地观察、猜想和验证能够帮助我们得到一些必需的隐含条件，从而进一步完善和优化解题过程，体现导数的工具性，给我们柳暗花明又一村的感觉。

点评：本题为试卷最后一道大题的第二问，难度中等，审题过程中是一个非常重要的切入口，表明对应的就是函数的最小值点，并在讨论的过程中抓住这一关键就能够帮助我们舍弃很多不必要的讨论和计算过程。因此，在拿到较复杂的函数式时，静心凝视，抓住关键，或许能发现很多“变幻莫测”中的不变量，并因地制宜，克敌制胜。

点评：本题为试卷倒数第三道大题，重点考查了对导数这个工具的应用和理解，但同时也注重了对个人能力和数学素养的考查。先通过作差将几何关系转化为数学表达式，构造函数求导，遇到较复杂的导函数时应平复心情，“静心凝视”关键条件和数学表达式，不要忽视一些固有的、不变的性质和信息，比如单调性、特殊值等，往往有意外收获。

点评：本题为一道填空题，因为不需要严格的论证过程，因此选择数形结合，借助图像来寻找答案。通过导函数来刻画未知复杂函数图象是一种非常常见和典型的填空题型，单调性和支撑点是画图的关键，如果导函数形式较为复杂，阻碍我们前进，我们必须“静心凝视”，发现并把握住图形和导函数的固有特征，找到这样一个突破口，再结合左增右减，得到大致图像，下面就迎刃而解了。

[1]刘玉娟．从观察中发现——解导数综合题的锐利工具[J]．文理导航，2011（1）：40-40．

[2]徐进勇．观察法在导数中的应用创作说明[J]．数学微课1009，2015-2-18．