数学史在中学数学教学中的作用

杨静梅

摘要：

数学课程要介绍数学发展的历史、应用趋势，以帮助学生了解数学在人类文明发展过程中的作用，逐步形成正确的数学观.要达到这个目标，在中学数学中仅仅作“介绍”是不够的，而应连同其背后隐藏的思想方法、对学生人格的启发作用等等，都要“渗透”在数学课程和教学过程中，数学史上有许多“火热”的思考，正是经过这些思考，将数学打造成一门逻辑性极强，高度抽象的学科，正是这些思考将数学本质完完整整的呈现出来.教师将这些内容介绍给学生，将在概念的引入、学生思维的建构方面起到意想不到的作用。

关键词：数学史；思想方法；人格培养

要上好一堂数学课就需要有一个好的导入，好的导入能激发学生的学习兴趣，使数学课生动有活力，数学史就是一个很好的导入。其实，一些数学的发展往往都是伴随着实际需要应运而生的，数学史正好是这一历程的见证者，它反映了数学家们致力于研究数学应用的思维过程和方式，学生了解数学史无疑对数学的应用意识会有更大的体会.在中学数学教学中渗透数学史对激发学生的学习兴趣，提高数学教学效果，培养学生的爱国情操和弘扬民族精神起着很大的作用。

1 问题提出

传统的数学教学中教师在课堂上讲授的知识偏重于演绎论证的训练，忽视了知识的发现过程.教科书上讲的往往是成熟的、完美的知识，而不讲授获得真理的艰苦历程，学生认识不到数学发展的曲折性，更不能了解知识的发生与发展过程，学生易产生误解：以为数学家获得知识很轻松，因此联系新课程改革将数学史与数学教学融合已成为一种趋势。

2数学史的作用

2.1数学史有利于学生学习新知识

数学中不少概念是抽象的，难以理解的.因此，在数学概念的教学中，直接引用那些能体现知识系统的产生、发展重要阶段的数学史资料，通过这些生动的历史资料，使学生能更好的掌握概念，从而培养正确的思维方式。

学生常常只记住了数学知识的形式和符号，对数学知识的本质却知之甚少。对此多数教师都会有一种心有余而力不足的感觉，要改变这种状况就应该考虑把数学史融入中学课堂教学，帮助学生深刻理解学到的数学知识。美国数学家克莱茵指出： 历史上的大数学家遇到的困难，恰好是学生在学习数学的过程中经历的障碍。另外，学生克服这些困难的方式与数学家用过的方式是大致相同的，按照克莱茵的观点，学生学习数学的过程与数学知识产生和发展的过程有许多相似之处，数学的历史能够为数学教学提供有益的帮助，使学生透彻地理解相关知识。

例1.在学习球体面积的时候，教师可以引入阿基米德发明的球面积和体积的平衡法，求出面积或体积后，再用穷竭法加以证明。平衡法与穷竭法的结合是严格证明与创造技巧相结合的典范.阿基米德用平衡法推导了球的体积公式，平衡法实际上体现了近代积分法的基本思想，是阿基米德数学研究的最大功绩，但是，平衡法本身必须以极限论为基础，阿基米德意识到了他的方法在严密性上的不足，所以他用平衡法求出一个面积或体积后，必再用穷竭法加以严格证明[1]。

阿基米德阿基米德发明的求面积和体积的平衡法，求出面积或体积后，再用穷竭法加以证明，体现了数学的严谨性，教师借助不同的方法解决问题从而加深学生对数学概念、本质的理解与掌握。

例2.对于解一元一次方程，我国和西方的数学家曾给出相似的解法，在公元4世纪巴克沙里的手稿中，曾有这样的记录： 甲乙丙丁四人各持金，乙为甲的2倍，丙为乙的3倍，丁为乙的4倍，并知4人持金的总数为132卢比，问甲持金多少？ 那时的数学家先假设甲为一个相对简单的数，如1卢比，则4人共持金33卢比，与132 比较后得知是4 倍的关系，所以甲持金为卢比。这种方法后来在欧洲被称为试位法.同时不难看出，方程的发展源于人们生活的实际需要，但是这种解决方法，因为其过程中只采用了一次假设，即单假设法，所以能够适用的范围较狭窄。与单假设法不同的是，我国的“盈不足术”应用更广泛，盈不足术也叫契丹算法万能算法及双假设法[2]。

《九章算术》第七章即为盈不足，李籍音义说： 盈者满也不足者，虚也，满虚相推，以求其适，故曰盈不足。通过两次假设，来求繁难问题的解的方法。

可见盈不足术这种双假没法比起前述的单假设法具有一般性和普遍性。教师借助各种不同的解决方法来解问题，其主要作用在于帮助学生冲破思维上的局限。对学生而言，可以帮助他们在柳暗花明中寻找又一村，从而提高他们的数学思维能力。

2.2数学史有利于提高教学质量

在中学数学教学中，适当向学生介绍数学家的感人事迹，以及数学家对真理不懈追求的精神和实事求是的科学态度，可以引起学生的学习兴趣，从而提高教学质量。

（1）函数概念建构的教学

现在公认的函数概念的定义是由德国数学家莱布尼兹给出的。这可能是他第一个引入“函数”一词有关。1673年，他在一篇手稿里首先引入“函数（拉丁文functio）”，并用它来表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线的长度等等，即所有与曲线上点有关的量，也就是说，莱布尼兹把把函数看作是一个几何量；是随着曲线上点的变动而变动的量。由此可见，函数概念引入初期，人们对它的认识还是相当肤浅的。为了适应和推动数学的发展，人们对它进行了一次又一次的扩展，使函数概念逐渐完整起来。

（1）可以画出函数图象，（2）根本就画不出图象，是不是函数呢？就从当时学生的认识水平来看，就可能得出不是函数的结论。但这两个函数在数学史上是“有名”的函数。（1）参与了“真函数”与“假函数”的讨论：当时人们将只有一个解析式的函数称为“真函数”，反之则称为“假函数”，其实已经看到“假函数”也是函数的一种，只是从当时的函数定義来看，还不是“函数”。很快地随着函数定义的扩充，这一类“假函数”也成为函数中的一员，没有人再对他们的“身份”产生怀疑了。（2）将“对应”引入了函数的定义中，它根本就画不出函数图象，只能从对应的角度考虑，形成了现在高中的函数的概念。

（2）对数运算法则的教学

问题情境是概念，规律赖以产生的现实背景。数学概念、规律是前人知识经验的概括总结，往往具有一定的抽象性。因此讲授概念、规律之前，若能呈现相关的背景材料。促使学生主动地自由地去想象、思考、探索，了解知识的形成过程，使数学概念、规律自然产生出来，那么我们守到得效果不仅仅是知识的本身了。下面就也对数运算法则教学谈谈自己的感想。

例4.问题提出：观察下例两例数，你能从中得出什么规律？

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10……

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024……

学生1：上一行数是自然数列，下一行数中每一个数是前一个数的两倍，或者说每一个是，其中n取自对应上的一行数。

教师提示：当我们计算512×1024时或计算后面更大的数时，数字显得比较大，如何使我们的表示显得更简洁一点，减轻我们的思想负担？

教师分析：由以上运算法则，如我们知道logam，logan的值，那么我们就可以计算mn的值了。事实上在上面的两列数

中，log2512=9，log21024=10所以我们可以通过9与10想加来计算512与1024的乘积。而这恰是对数的一大作用，引入对数的意图是将乘除运算归结为简单的加减运算，所以著名数学家拉普拉斯赞誉说：“對数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”。

2.3数学史有利于提高学生学习兴趣

课堂教学中，适当加入数学史常识，有助于拓宽学生的知识面，改变学生认为“数学很枯燥”的偏见，使学生认识到解题方法并不唯一。

（1）数学史在等差、等比数列学习中的应用

数学的历史也是数学思想方法的发展史，引导学生重复古人在解决问题时的数学思想方法，从而了解数学家的创新精神，形成正确的数学观。法国著名数学家庞家莱认为：“教育工作者上课任务就是要让孩子的思维经历祖先之经历，迅速通过一些阶段而不跳过任何阶段。”荷兰数学家和数学教育家福来登塔尔称；“年轻的学习者重沓人类学习的过程，尽管方式改变。”他把过于注重逻辑严密性，没有丝毫历史感的教材比喻成“把火热的发明变成冰冷的美丽” [5]。

例5.等差、等比数列的求和方法

等差数列和等比数列是数学中最古老的问题之一，他们的历史至少可以追溯到三四千年的古埃及（早在约公元前1700年成书的“纸草算书”中就已经有记载了）。在学习等比数列的前n项和公式时，我们可以对课本中提出的用“错位相减”法求和进一步思索：为什么要在和式：Sn=a＼-1+a＼-1q+a＼-1q＼+2+…a＼-1q＼+n-1的两边同时乘以公比q？是否还可以由等比数列及其和的定义、通项公式得出其它求和方法（或更简单的方法）呢？其实欧几里得在《几何原本》中早就给出了等比数列的求和公式，其证明过程如下：

在传统教学中，教师考虑的效率问题、应考的问题往往就采用“总结规律”的方法，这提高了学生的应试能力，但数学教学中最精彩的部分——波利亚所谓的“怎样解题”，并没有教授给学生，学生仅成为一个真正意义上的“解题机器”在数学史引入课堂教学后，学生不但对等比数列的前n项和公式及其推导过程，求和的思想方法等有深刻的了解，掌握得牢固灵活而且在这一学习过程中，提高和发展了学生的数学思维能力，体会到了解题的乐趣[4].

（2）数学史在二项式定理学习中的应用

作为二项式展开式的系数表，教材中出现了“杨辉三角”。教师讲二项式定理时，不妨让学生多了解一些关于它的知识，世界上最早发现并应用这一“三角”的人，并不是杨辉，而是我国北宋时期的著名数学家贾宪，此图原名为“开方作法本源”。运用此图即可求得任意高次展开式系数，又可进行任意高次幂的开方，它还是研究任意高次方程数值解法的基础。在欧洲人们称他为“帕斯卡三角”。虽然帕斯卡在距贾宪几百年以后才发现了它，但他对它进行了更进一步的研究，建立了正整数次幂的二项式定理：

（a+b）n=C0n+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn

帕斯卡还把这一“三角”用于高阶等差数列求和，并成功地应用它解决了赌博过程中的赌金分配的难题—点数问题，以此成为概率的创始人之一[5]。

3 结论

数学史教育在促进学生智力、能力和学习兴趣、培养良好道德品质的过程中所起的作用不应忽视，在数学教学中挖掘教材中的数学史教育资源是教材培养功能和教育功能的具体体现，在数学教育中运用好、发挥好数学史教育在教学中的作用，可以使教学内容生动、具有感染力，充分调动学生的学习积极性，让学生真正成为学习的主人，对提高教学质量有着事半功倍的作用。 中学数学教学中，很多问题的解决需要借助数学史知识。数学史可以告诉我们概念、定理、公式的由来、产生的背景。中学生大都向往发明、创造，喜欢追根溯源，教学中要善于运用数学史知识去激发学生的学习兴趣，吸引学生的注意力，给枯燥的符号数学融入生动感人的故事，使之引人入胜，催人奋进。

[参考文献]

[1]王谧.数学史与中学数学结合的几个教学设计[J].数学教学，2003，（6）： 9-16.

[2]梁世日.浅谈数学史在中学教学中的应用[J].中国体卫艺教育，2000，19（2）：36-43.

[3]雷世清.中学数学教学中融入数学史教育的点滴体会与思考[J].华东师范大学（华东师范大学学报），2013，12（5）：21-28.

[4]王文元.数学史在中学数学教育中的作用初探[J].江苏省奔牛中学（数学教学通宵），2004，62（200）：117-120.

[5]汪晓勤.中学数学中的数学史[M].北京：科学出版社，2002：54-62.

（作者单位： 曲靖师范学院数学与信息科学学院，云南 曲靖 655011）