导数与不等式联姻的解决策略

韩华

【摘要】利用导数来解决不等式问题，越来越多的被作为考查的重点出现在近几年的高考题中，本文就这点结合教学过程中的实际来简单探讨一下。

【关键词】高中数学 导数 不等式

不等式是高中数学中的基本问题，它也是高考必考查的一类问题，通常是不等式的解法、含有参数的不等式、不等式的證明等。它可以和函数、数列等知识进行综合考查，考查函数思想、分类讨论思想、可以很好的考查考生的综合分析和解决问题的能力。本文就高考中和平时练习中出现的一些题型，兹举几例进行说明。

一、利用导数来证明不等式问题

（一）利用导数得出函数单调性来证明不等式

我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：

1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。

例1：x>0时，求证；x -ln（1+x）<0

证明：设f（x）= x -ln（1+x） （x>0）， 则f （x）=

∵x>0，∴f （x）<0，故f（x）在（0，+∞）上递减，

所以x>0时，f（x）

2、把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。

例2：已知：a，b∈R，b>a>e， 求证：ab>b a， （e为自然对数的底）

证明：要证ab>b a只需证lnab>lnba 即证：blna-alnb>0

设f（x）=xlna-alnx （x>a>e）；则f （x）=lna- ，

∵a>e，x>a ∴lna>1， <1，∴f （x）>0，因而f（x）在（e， +∞）上递增

∵b>a，∴f（b）>f（a）；故blna-alnb>alna-alna=0；即blna>alnb

所以ab>b a成立。

注意：此题若以a为自变量构造函数f（x）=blnx-xlnb （e

则 ，f′（x）>0时 时 ，故f（x）在区间（e， b）上的增减性要由 的大小而定，当然由题可以推测 ，

故f（x）在区间（e， b）上递减，但要证明 则需另费周折，因此，本题还是选择以a为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的。

（二）利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。

导数的另一个作用是求函数的最值。 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。利用导数求出函数的最大（小）值，再证明不等式：

例3：求证：n∈N*，n≥3时，2n >2n+1

证明：要证原式，即需证：2n-2n-1>0，n≥3时成立

设f（x）=2x-2x-1（x≥3），则f （x）=2xln2-2（x≥3），

∵x≥3，∴f （x）≥23ln3-2>0

∴f（x）在[3，+∞ 上是增函数，

∴f（x）的最小值为f（3）=23-2×3-1=1>0

所以，n∈N*，n≥3时，f（n）≥f（3）>0， 即n≥3时，2n-2n-1>0成立，

二、利用导数解决不等式恒成立问题

不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f（x） （或m

例4：已知函数 ，对f（x）定义域内任意的x的值，f（x）≥27恒成立，求a的取值范围。

解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），由f（x）≥27对一切x∈（0，+∞）恒成立

知 对一切x∈（0，+∞）恒成立，

即 对x∈（0，+∞）恒成立

设 则 ，由h′（x）=0解

h′（x）>0时，解得00时x>

所以h（x）在（0， ）上递增，在（ ，+∞）上递减，

故h（x）的最大值为 ，所以

总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决，这是导数的一个新的应用，也是转化与化归思想在高中数学中的重要体现。

【参考文献】

[1]郭建理；运用导数解决不等式问题的几点思考[J]；中学数学， 2012（1）

[2]陈万斌；用导数法解决含参数不等式恒成立问题[J]；中学生理科应试，2013（3）

[3]罗春才；浅谈利用导数处理不等式有关的问题[J]；魅力中国，2009（5）

[4]陈建国；浅谈导数的应用[J]；经营管理者，2015（22）