二次函数与一元二次方程关系应用探究

四川省资阳市雁江区城东新区航向九年义务教育学校 张 涛

二次函数与一元二次方程关系应用探究

四川省资阳市雁江区城东新区航向九年义务教育学校 张 涛

本文分析了二次函数与一元二次方程的关系，并从解题的角度对两者之间关系的实际应用进行了探讨，强调了需要注意的一系列问题，仅供参考。

二次函数；一元二次方程；关系；应用

二次函数与一元二次方程是初中数学学习的主要内容，二次函数通常采用y=ax2+bx+c（a≠0）表示，一元二次方程通常采用ax2+bx+c=0（a≠0）表示。理清两者间的关系，能够使解题过程更加清晰，是提高学生解题效率的关键途径。

一、二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程间的关系，需根据数形结合的思想来判断。从图像的角度看，二次函数的图像与x轴的交点，即是一元二次方程的解，因此在解题过程中，可以采用数形结合的思想，求出二次函数图像与x轴的交点，以此求出一元二次方程的解。从另一个角度看，如能够求出一元二次方程的解，也就意味着可获得二次函数图像与x轴交点的坐标。了解上述两点，能够为解题带来极大的便利。

二、二次函数与一元二次方程关系的应用

文章本部分主要从实际例题的角度入手，阐述了在解题过程中应如何应用二次函数与一元二次方程间的关系。

1．求交点问题

求交点问题属常见题型之一，如下：

例1 已知抛物线y=x2-（2m-1）x+m2-m-2，求其与x轴交点的横坐标。

解：设y=0，此时二次函数可变为0=x2-（2m-1）x+m2-m-2，相当于一元二次方程，

可采用求解一元二次方程根的方法，得到二次函数与x轴的交点横坐标。

2．已知交点，求二次函数解析式问题

这种题型是题目给出二次函数图像与x轴的交点，要求求出二次函数解析式，该种题型同样可以在考虑二次函数与一元二次方程的关系的基础上解题。

例2 已知二次函数y=x2+mx+6，其与x轴存在两个交点，分别为A与B。该二次函数图像的顶点为P，S△PAB=1/8，求二次函数解析式。

分析：二次函数y=x2+mx+6中，a与c的值已知，a=1，c=6，求其解析式，只需求出m的值便可，可从△PAB的面积入手。将P、A、B三点的坐标带入到面积之中求解，以此为基础，求出m的值，进而得出二次函数的解析式。

解：设A的坐标为（x1，0），B的坐标为（x2，0），P的坐标为（x0， y0）。

将m 的值代入二次函数中，可以得出二次函数解析式。共有两个：

3．求二次函数某一系数的取值范围问题

在二次函数与一元二次方程有关题型中，存在已知二次函数解析式，但其中部分系数值未知，要求该系数取值范围的问题，如例3：

例3 已知二次函数解析式为y=mx2+（3-2m）x+m-2（m≠0），该二次函数与x轴的交点有两个，求该解析式中m的取值范围。

分析：在例3中，已知二次函数的图像与x轴交点有两个，此为解题关键。由于二次函数与x轴的交点与∆有关，如∆＞0，则交点为2个，而∆=b2-4ac。可将上述已知问题综合在一起，将二次函数与一元二次方程间的关系充分应用，达到解题的目的。

解：已知m≠0，且∆＞0，

所以b2-4ac＞0，

代入系数可得：（3-2m）2-4m（m-2）＞0，

整理可得：-4m+9＞0，解得m＜9/4，

因此可以得出m的取值范围为：m＜9/4且m≠0。

二、解题注意事项

二次函数与一元二次方程两者可联合使用，作为解决相应问题的主要方法。在解题过程中，需要注意利用两者解决问题的灵活性，同时将数形结合的思想渗透到解题过程中，充分关注二次函数图像与x轴的两个交点，牢记两个交点与一元二次方程间的关系。要能够将二次函数与一元二次方程灵活转换，以提高解题效率。针对二次函数图像与x轴交点问题，可将y设为0，以求交点。针对二次函数某系数的取值问题，可利用∆求其取值范围，这样才能使解题速度提高，使解题准确性得到保证。

综上所述，二次函数与一元二次方程两者之间存在着可相互转换的关系，需将其应用到解题过程中，提高解题的灵活性与效率，将“数”与“形”结合，时时刻刻想到以图像为依据解决问题，使解题准确度得到提高。

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