从华罗庚金杯少年数学竞赛看数学之美

陶云英

华罗庚金杯少年数学邀请赛（以下简称“华杯赛”）是为了纪念和我国杰出的数学家华罗庚教授，于1986年始创的全国性大型少年数学竞赛活动。近30年来，“华杯赛”已经成功举办了二十一届赛事和五届“华杯赛”精英赛活动，累计超过4000多万少年儿童参加了比赛。2016年3月21日上午，在广西民族大学西校区举办了第21届“华杯赛”决赛，其中，初一组获奖人数224人，初二组获奖人数为93人，“华杯赛”一贯坚持“普及性、趣味性、新颖性”相结合的命题原则。通过这项赛事，激发了广大中小学生学习数学的兴趣，在普及数学科学、引领学生发现数学之美方面起到了重要作用。

美国数学家M·克莱因曾说：“音乐能抚慰人的情怀，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，而数学能提供以上的一切。数学学科的知识内容和定理法则，在生活运用等方面，都向人们展示着它的内涵美。”数学之美，并不像美术、音乐那样触眼可及，它需要学生用心揣摩。作为中学数学教师，我们要善于引导学生从大自然、从日常生活中发现数学的奥妙；从一个个美妙的数学等式中发现数学的美妙；从一个个不可思议的数学算法中发现数学的奇妙，最终领会数学之美。

一、数学之美——自然之美

华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，数学无所不在。”这是对数学与生活之间关系的最精彩描述。学生作为学习活动的主体，如何充分激发学生学习的能动性呢？我们可以引导学生发现大自然中的数学。以黄金分割这一数学定理为例，它与生命、生长发育都有着千丝万缕的联系。向日葵的外形就包含了这样一种黄金分割的原理。向日葵的花盘上的螺旋线，每一条都符合黄金分割的比例。若有21条左螺旋，则必有13条右螺旋，总数34条，13与21的比值恰好是0.618。我们日常生活中也常常存在各种黄金分割的例子，例如，美术构图中我们讲究黄金分割，购物中，吴振奎先生提出一个消费模型：小康型消费价格=0.618*（高档消费价格—低档消费价格）+低档消费价格。这是黄金分割的一个美妙应用，用小康型消费价格购买的商品既能让人心理舒适，又经济实惠，这是数学在生活中实用的美妙的例子。

再比如，我们生命的密码DNA可以用来解决一个现代数学问题。这就是由意大利数学家孟格尔于1930年首次提出的著名的推销员問题：n个城市，一个推销员要从其中某一个城市出发，唯一走遍所有城市，再回到他出发的城市，求最短的路线。例如，你要从西安出发，经过长沙、重庆、成都、武汉、桂林、广州、福州等七个城市推销自己公司发明的一种新产品，在不考虑什么样的顺序，也不考虑是乘坐什么样的交通工具，只考虑如何设计一条最经济的路线，做到既不重复，又要经过每个城市。这个问题的实质是在于随着N的增大，运算步数呈指数级增加，需要的计算能力越大。普通的半导体计算机，算计这样的问题要两年，而用DNA计算，问题迎刃而解。

二、数学之美——对称之美

数学的对称之美蕴含在各种建筑物中，如法国的凡尔赛宫、中国的故宫，建筑物沿着中轴线呈现对称之美。故宫中的各种建筑，除了以中轴线为对称外，还用了各种手法，如殿基的处理、殿顶的形式、屋脊兽的数目与分布、彩绘图案的规制等都突出了对称结构，展现了对称带给人美的享受。

数学对称之美，蕴含在各种对称图形及利用对称求解数学题目的过程之中。例如杨辉三角的两条斜边都是由数字1组成，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和，杨辉三角与二项式乘方展开式的系数规律紧密联系。

三、数学之美——奇异之美

罗素曾说：“数学，如果正确地看它，则具有至高无上的美——正像雕刻的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。”数学的奇异之处不是表面的感观，而且是要用思维来体会的。中学数学课程标准强调：“让学生具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。”奇异美是数学美的另一种体现，它充分地展示了数学思想方法的独创性和新颖性。如：古希腊的数学家毕达哥拉斯发现，6是一个非常“完善”的数，与它的因数之间有一种奇妙的联系。6的因数共有4个：1，2，3，6，除了6自身这个因数以外，其他的3个都是它的真因数，而把6的所有真因数都加起来，正好等于6这个自然数本身！28也是一个完全数，它的真因数有1，2，4，7，14，而1+2+4+7+14正好等于28。若一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数就叫做完全数。完全数有许多奇特的性质：1、它们都能写成连续自然数之和。如：6=1+2+3；28=1+2+3+4+5+6+7；496=1+2+3+……+30+31。2、它们的全部因数的倒数之和都是2。就这样，本来一系列不相干的数学，却因为数学的特殊性质而联系在一起，变幻出奇妙的规律，这样变幻莫测却有千丝万缕的联系，正是数学奇异之美的又一体现。

（作者单位：江苏苏州市苏州工业园区第十中学）endprint