从“算术”到“代数”的飞跃

浦叙德（特级教师）

从“算术”到“代数”的飞跃

浦叙德（特级教师）

在小学数学里，我们主要学习了数、图形与数据统计三方面的知识，在数的研究上，重点是数的认识和计算，所以小学数学的这块内容可以简称为“算术”.进入初中后的数学学习，知识板块由原来的三个变成代数、几何、统计与概率四个，在数的研究上，从小学的算术数上升到了初中的代数.初中代数需要经历三次飞跃，其中，第一次是从小学的算术数引进负数变成有理数，完成数扩充的飞跃，第二次是从小学具体的数引进抽象的字母，用字母代替数，从特殊到一般，完成数到式的飞跃，所以初中数学的这块内容可以简称为“代数”.由此可以看出，第3章《代数式》是小学算术与初中代数的分水岭，也是同学们在初中代数学习中必须跨越的第二道坎.那么如何才能学好本章内容呢？

一、掌握概念本质是基础

本章中涉及如下几个重要概念：一是“代数式”；二是“单项式”“多项式”与“整式”；三是“代数式的值”；四是“同类项”.

用加、减、乘、除、乘方等运算符号把数与表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.从这个定义中可以看出，在式子中只能出现“数”“字母”“运算符号”三者，一旦出现等于号或不等号，就不是代数式.

单项式与多项式统称为整式.整式是属于代数式中的比较简单的一类，整式一定是代数式，但代数式不一定是整式，代数式与整式是一般与特殊的关系.

只有数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式.单项式与多项式都属于整式，它们与整式也是特殊与一般的关系，单项式是最简单的代数式.对于单项式有系数与次数的概念；对于多项式有项、次数的概念，因为多项式的项是一个单项式，所以还有项的系数与项的次数的概念.

用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值.用字母表示数就产生了代数式，让“数”的问题走向“式”的问题，包括“式的认识”与“式的计算”；而代数式的值是让字母回归到具体的数.代数式与代数式的值正好完成了“从特殊到一般”，再“从一般回到特殊”的完整过程.

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.项是针对多项式而言的，实际上就是几个单项式，所以，同类项只会出现在多项式中.需要注意的是两个“相同”的条件必须同时满足，才能确定为同类项.

二、掌握思想方法是关键

本章中隐含了许多非常重要的思想方法.用字母表示数本身就是“字母代数”思想，又体现了“从特殊到一般”的思想；由于引进了字母，字母具有一般性，所以在研究代数式的问题中，往往需要“分类讨论”；在求解代数式的值时，有时需要用到“整体思想”，包含整体代入、整体求解等方法；在研究单项式、多项式、同类项时，往往需要用到“方程思想”.

例1 我们知道：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52…根据前面各式规律，可以猜测：1+3+5+7+9+…+（2n-1）=.（其中n为自然数）.

【分析】本题是一个规律探索题，在前面的学习中多次遇到，在本章再来研究，可以加深对“字母表示数”的理解.我们发现等号的左边全是连续奇数相加的式子，右边正好是奇数个数的平方，这样用字母表示数，从特殊到一般，所求左边式子是n个连续奇数的和，就可以得出右边式子是n2的结论.

例2 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数， ||x=1，求代数式a+b+x2-cdx的值.

【分析】因为a、b互为相反数，所以a+b=0，因为c、d互为倒数，所以cd=1，因为 ||x=1，这里的x可正可负，需要进行分类讨论，x=±1，所以代数式a+b+x2-cdx的值为0或者2.

例3 已知代数式3x2-4x+6的值为9，求x2-x+6的值.

【分析】因为3x2-4x+6=9，从等式中无法直接求出x的值，所以可以从整体的角度思考，得到3x2-4x=3，从而x2-x=1，把这个式子整体代入x2-x+6，求出代数式x2-x+6的值为7.

例4 关于x的多项式（m-2）x4-xn+x-1是二次三项式，求m，n的值.

【分析】这里是关于x的代数式，所以，应该把m、n作为待定字母.由多项式的项与次数的定义可知，m-2=0，并且n=2，此处根据定义得出m-2=0就体现了方程思想，所以m=2，n=2.

三、掌握解题策略是保障

本章中的题目类型主要有如下几类.

第一类是列代数式.此类问题本质上是把通用的文字语言转化成数学独有的符号语言，在列代数式的过程中，要遵循先读先写的原则，并且严格按照代数式的书写规定进行，此处不再举例.

第二类是关于单项式、多项式、整式、代数式等相关概念的认识.

例5 如果关于x，y的单项式2mxay与-5nx2a-3y的差是一个单项式.

（1）求（7a-22）2017的值；（2）若 2mxay-5nx2a-3y=0，求（2m-5n）2018的值.

【分析】关于x，y的单项式2mxay与-5nx2a-3y的差是一个单项式，说明这两个单项式是同类项，可以合并进行整式减法运算.根据同类项的定义，得2a-3=a，所以a=3.（1）由a=3，知（7a-22）2017=（-1）2017=-1；（2）因为2mxay-5nx2a-3y=0，说明这两项是同类项，可以合并进行减法运算，所以2m-5n=0，故（2m-5n）2018=0.

第三类是利用直接代入法或间接代入法（整体）求代数式的值.此类问题只要严格按照解题步骤，特别需要注意把哪个式子作为一个整体，如上面的例3.

第四类是根据同类项的概念，利用去括号等步骤合并同类项，进行整式的加减运算.这类问题是程序性操作问题，课本上都有规范的解决问题的例子，只要严格按照先去括号、再根据合并同类项的法则合并同类项，直到整式中没有同类项可以合并就可以了.

江苏省无锡市新吴区教师发展中心）