证明哥德巴赫猜想“1+1”以及“1-1”

哈尔滨师范大学研究生 马正方

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证明哥德巴赫猜想“1+1”以及“1-1”

哈尔滨师范大学研究生 马正方

本文从客观求是的视角出发，以递增（或者公差X为零）的三项（或者四项）等差数列为切入点，函数和概率的数学理论双管齐下，对该数列进行科学的分析和明确的解读，推出了尾项首项之和定理、中间两项之和定理及其函数的解析式，顺理成章地证明了哥德巴赫猜想“1+1”以及该猜想的对立面“1-1”。

定理；推论；函数；零概率；公差

本文所载的内容，是作者至今尚未发表过的研究心得，渴望得到尊师宝贵的指教！

哥德巴赫猜想简称“1+1”，其定义是：凡大于4的偶数都是两个奇素数之和。该猜想具有片面性，因为所有正整数（当然包括大于4的偶数）也都是两个奇素数之差（如2=5-3，4=7-3，6=11-5，8=11-3，10=13-3）。“1-1”比“1+1”更有普遍性！只有把“1+1”和“1-1”合并在一起进行证明，才是全面的、彻底的。“1+1”和“1-1”是“对立的统一”，符合一分为二的两重性！

一、第一种证明

【尾项首项之和定理】任何递增（或者公差X为零）的三项等差数列a1、a2、a3，设中项为Z，则首项为（Z-X），尾项为（Z+X），从而得出等式Z（Z+X）-Z（Z-X）=X［（Z+X）+（Z-X）］；［（Z+X）+（Z-X）］=Y（X的函数），由于中项Z=a1+x，则Y=2a1+2x成为函数解析式。

证明该定理：

Z（Z+X）-Z（Z-X）=X［（Z+X）+（Z-X）］，去括号，得Z2+ZX-Z2+ZX=2ZX，得2ZX=2ZX，由于该等式的等号两边相等，所以该定理成立。

［推论］（1）尾项首项之和除以2所得的商数作为中项，这样构成递增的三项等差数列；或者以零作为公差，从而三项等差数列的三个数字相同。（2）既然是“任何递增（或者公差X为零）的三项等差数列”，就是说该等差数列的首项和尾项这两个数字可以是任意两个数字（即可以由人任意选择而不受限制）。如此这般宽松，当然可以包括“两个奇素数”在内；而“凡大于4的偶数都是两个奇素数之和”（哥德巴赫猜想的命题，简称“1+1”），“任何递增（或者公差X为零）的三项等差数列”犹如无限庞大、没有极限、没有终端的巨网，“凡大于4的偶数”（“两个奇素数之和”所得的和数）怎么可能漏掉呢？一网打尽，漏掉的“概率”是零，“皆包括”凡大于4的偶数，如此这般，该定理证明了哥德巴赫猜想。（3）尾项首项之和定理具有函数的特征。函数是数学之中非常具有普遍意义的理论。“任何递增（或者公差X为零）的三项等差数列”体现函数的定义域（公差X的取值范围）；定理之中的Y=2a1+2x就是函数的解析式；如定理的等号右边所示，尾项首项之和Y就是中括号之外X（即X［（+X）+（Z-X）］）的函数，体现函数的对应法则；每个尾项首项之和就是一个函数值；包括所有“两个奇素数之和”在内的一切尾项首项之和（其中所得的和数必然包括“凡大于4的偶数”）就是函数的值域。该值域非同小可，无穷无尽无极限，犹如无穷的巨网，所有构成“两个奇素数之和”的偶数（即“凡大于4的偶数”）被该巨网一网打尽而万无一失，“失”为“零概率”，巨网保常态。

如上所述，哥德巴赫猜想的命题“凡大于4的偶数都是两个奇素数之和”就是尾项首项之和定理的推论。该定理成立，推论也必然成立，因为大道理制约小道理。

例1 证明6是两个奇素数之和：以零作为公差，从而三项等差数列各数相同，即3、3、3，则（中项3×尾项3）-（中项3×首项3）=公差0×（尾项3+首项3），于是证明6是两个奇素数之和3+3。

例2 证明8是两个奇素数之和：以（5+3）÷2=4作为中项，从而构成递增的三项等差数列，即3、4、5，则（4×5）-（4×3）=（公差）1×（5+3），于是证明8是两个奇素数之和：5+3。

例3 证明88是两个奇素数之和：以（71+17）÷2=44作为中项从而构成递增的三项等差数列，即17、44、71，则（44×71）-（44×17=(公差)27×（71+17），于是证明88是两个奇素数之和：71+17。

例4 证明888是两个奇素数之和：以（487+401）÷2=444作为中项，从而构成递增的三项等差数列，即401、444、487，则（444×487）-（444×401）=（公差）43×（487+401），于是证明888是两个奇素数之和：487+401。

【尾项首项之差定理】任何递增的三项等差数列，设中项为Z，则首项为（Z-X），尾项为（Z+X），从而得出等式：Z（Z+X）-Z（Z-X）-2X（Z-X）=X［（Z+X）-（Z-X）］；［（Z+X）-（Z-X）］=Y（X的函数），此为函数解析式。

证明该定理：

Z（Z+X）-Z（Z-X）-2X（Z-X）=X［（Z+X）-（ZX）］，

去包括，得Z2+ZX-Z2+ZX-2ZX+2X2=2X2，

得2X2=2X2。

由于该等式的等号两边相等，所以该定理成立。

【推论】（1）尾项首项之和除以2所得的商数作为中项，这样构成递增的三项等差数列。（2）既然是“任意递增的三项等差数列”，就是说该等差数列的首项和尾项这两个数字可以是任意两个数字（即可以由人任意选择而不受限制）。如此这般宽松，当然可以包括“两个奇素数”在内；而凡大于4的偶数也都是两个奇素数之差（简称“1-1”），“任何递增的三项等差数列”犹如无限庞大、没有极限、没有终端的巨网，“凡大于4的偶数”（即“两个奇素数之差”所得的差数）怎么可能漏掉呢？一网打尽，漏掉的“概率”是零，“皆包括”凡大于4的偶数，如此这般，该定理证明了“1-1”。（3）尾项首项之差定理具有函数的特征。函数是数学之中非常具有普遍意义的理论。“任何递增的三项等差数列”体现函数的定义域（公差X的取值范围）；定理之中的［（Z+X）-（Z-X）］=Y即Y=2X就是函数的解析式；如等号右边所示，尾项首项之差Y就是中括号之外X（即X［（Z+X）-（Z-X）］）的函数，体现函数的对应法则；每个尾项首项之差就是一个函数值；包括所有“两个奇素数之差”在内的一切尾项首项之差（其中所得的差数必然包括“凡大于4的偶数”）就是函数的值域。该值域非同小可，无穷无尽无极限，犹如无穷的巨网，所有构成“两个奇素数之差”的偶数（即“凡大于4的偶数”）被该巨网一网打尽而万无一失，“失”为“零概率”，巨网保常态。如上所述，“凡大于4的偶数也都是两个奇素数之差”就是尾项首项之差定理的推论。该定理成立，定理的推论必然成立，大道理制约小道理。

例1 证明6是两个奇素数之差：以（11+5）÷2=8作为中项，从而构成递增的三项等差数列5、8、11，则（8×11）-（8×5）-2×（公差）3×5=（公差）3×（11-5），于是证明6是两个奇素数之差：11-5。

例2 证明8是两个奇素数之差：以（11+3）÷2=7作为中项，从而构成递增的三项等差数列3、7、11，则（7×11）-（7×3）-2×（公差）4×3=（公差）4×（11-3），于是证明8是两个奇素数之差：11-3。

例3 证明88是两个奇素数之差：以（101+13）÷2=57作为中项，从而构成递增的三项等差数列13、57、101，则（57×101）-（57×13）-2×（公差）44×13=（公差）44×（101-13），于是证明88是两个奇素数之差：101-13。

例4 证明888是两个奇素数之差：以（907+19）÷2=463作为中项，从而构成递增的三项等差数列19、463、907，则（463×907）-（463×19） -2×（ 公 差）444×19=（ 公 差）444×（907-19），于是证明888是两个奇素数之差：907-19。

二、第二种证明

【中间两项之和定理】任何递增（或者公差x为零）的四项等差数 列a1、a2、a3、a4， 则［（a3×a4） -（a1×a2）］÷2=x×（a2+a3）；（a2+a3）=y(x的函数)，此为函数解析式。

证明该定理：

［（a3×a4）-（a1×a2）］÷2=x×（a2+a3），根据等差数列通项公式，得｛［a1+（3-1）x］［a1+（4-1）x］-a1［a1+（2-1）x］｝÷2=x｛［a1+（2-1）x］+［a1+（3-1）x］｝；去小括号，得［（a1+2x）（a1+3x）-a1（a1+x）］÷2=x［（a1+x）+（a1+2x）］；再去括号，合并同类项，得÷2=2xa1+3x2；等号两边都乘2，两项抵消，得4xa1+ 6x2=4xa1+6x2，从而证明该等式成立，并且该定理成立。

关于“a2+a3=y（x的函数）”：

根据等差数列通项公式，该等式可写成［a1+（2-1）x］+［a1+（3-1）x］=y，去括号之后写成2a1+3x=y，也就是y=2a1+3x成为明确的函数解析式。

【推论】（1）可任意选择两个数字作为四项等差数列的中间两项a2和a3，a3-a2=公差，a2-公差=a1，a3+公差=a4，如此这般构成递增的四项等差数列；或者以零作为公差，从而四项等差数列的四个数字相同。（2）既然是“任何递增（或者公差x为零）的四项等差数列”，就是说该等差数列的中间两项这两个数字可以是任意两个数字（即可以由人任意选择），当然可以包括“两个奇素数”在内；而“凡大于4的偶数都是两个奇素数之和”（哥德巴赫猜想的命题，简称“1+1”）,“任何递增（或者公差x为零）的四项等差数列”犹如无限庞大、没有极限、没有终端的巨网，“凡大于4的偶数”（即“两个奇素数之和”所得的和数）怎么可能漏掉呢？一网打尽，漏掉的“概率”是零，“皆包容”凡大于4的偶数。如此这般，中间两项之和定理证明了哥德巴赫猜想。（3）中间两项之和定理具有函数的特征。函数是数学之中非常具有普遍意义的理论。“任何递增（或者公差x为零）的四项等差数列”体现函数的定义域（公差x的取值范围）；定理之中的a2+a3=y就是函数的解析式；如定理之中的等式所示，中间两项之和y就是括号之外x（即“x×（a2+a3）”）的函数，体现函数的对应法则；每个中间两项之和就是一个函数值；包括所有“两个奇素数之和”在内的一切中间两项之和（其中所得的和数必然包括“凡大于4的偶数”）就是函数的值域。该值域非同小可，无穷无尽无极限，犹如无穷的巨网，所有构成“两个奇素数之和”的偶数（即“凡大于4的偶数”）被该巨网一网打尽而万无一失，“失”为“零概率”，巨网保常态。如上所述，哥德巴赫猜想的命题“凡大于4的偶数都是两个奇素数之和”就是中间两项之和定理的推论。该定理成立，推论也必然成立，因为大道理制约小道理。

例1 证明6是两个奇素数之和：以零作为公差，从而四项等差数列各数相同，即3、3、3、3，则［（a3之3×a4之3）-（a1之3×a2之3）］÷2=公差0×（a2之3+a3之3），于是证明6是两个奇素数之和：3+3。

例2 证明8是两个奇素数之和：以3和5作为中间两项，以5-3=2作为公差，以3-2=1作为首项，以5+2=7作为尾项，从而构成递增的四项等差数列，即1、3、5、7，则［（5×7）-（1×3）］÷2=（公差）2×（3+5），于是证明8是两个奇素数之和：5+3。

例3 证明88是两个奇素数之和：以17和71作为中间两项，以71-17=54作为公差，以17-54=-37作为首项，以71+54=125作为尾项，从而构成递增的四项等差数列，即-37、17、71、125，则｛（71×125）-［（-37）×17］｝÷2=（公差）54×（17+71），于是证明88是两个奇素数之和：17+71。

例4 证明888是两个奇素数之和：以401和487作为中间两项，以487-401=86作为公差，以401-86=315作为首项，以487+86=573作为尾项，从而构成递增的四项等差数列，即315、401、487、573，则［（487×573）-（315×401）］÷2=（公差）86×（401+487），于是证明888是两个奇素数之和：401+487。

【中间两项之差定理】任何递增的四项等差数列a1、a2、a3、a4， 则［（a3×a4） -（a1×a2）］÷2-（2xa1+2x2）=x（a3-a2），x为公差；a3-a2=y（x的函数），此为函数解析式。

证明该定理：

［（a3×a4）-（a1×a2）］÷2 -（2xa1 + 2x2）=x（a3 - a2），根据等差数列通项公式，得｛［a1+（3-1）x］［a1+（4-1）x］-a1［a1+（2-1）x］｝÷2-（2xa1+2x2）=x×｛［a1+（3-1）x］-［a1+（2-1）x］｝；去小括号，得［（a1+2x）（a1+3x）-a1（a1+x）］÷2-2xa1-2x2=x×［（a1+2x）-（a1+x）］；再去括号，合并同类项，得（4xa1+6x2）÷2-2xa1-2x2=x2；移项得（4xa1+6x2）÷2=2xa1+3x2；等号两边都乘以2，得4xa1+6x2=4xa1+6x2；两项抵消，得6x2=6x2，从而证明该等式成立，并且该定理成立。

关于“a3-a2=y(x的函数)”：

根据等差数列通项公式，该等式可写成［a1+（3-1）x］-［a1+（2-1）x］=y，去括号之后写成x=y，也就是y=x成为明确的函数解析式。也可根据等差数列后项减前项等于公差写出x=y。

【推论】（1）可任意选择两个数字作为四项等差数列的中间两项a2和a3，a3-a2=公差，a2-公差=a1，a3+公差=a4，如此这般构成递增的等差数列。（2）既然是“任何递增的四项等差数列”，就是说该等差数列的中间两项这两个数字可以是任意两个数字（即可以由人任意选择而不受限制）。如此这般宽松，当然可以包括“两个奇素数”在内；而“凡大于4的偶数都是两个奇素数之差”，“任何递增的四项等差数列”犹如无限庞大、没有极限、没有终端的巨网，“凡大于4的偶数”（即“两个奇素数之差”所得的差数）怎么可能漏掉呢？一网打尽，漏掉的“概率”是零，“皆包容”凡大于4的偶数。如此这般，中间两项之差定理证明了哥德巴赫猜想的反面“1-1”。（3）中间两项之差定理具有函数的特征。函数是数学之中非常具有普遍意义的理论。“任何递增的四项等差数列”体现函数的定义域（公差x的取值范围）；定理之中的a3-a2=y就是函数的解析式；如定理之中的等式所示，中间两项之差y就是括号之外x（即“x×（a3-a2）”）的函数，体现函数的对应法则；每个中间的两项之差就是一个函数值；包括所有“两个奇素数之差”在内的一切中间两项之差（其中所得的差数必然包括“凡大于4的偶数”）就是函数的值域。该值域非同小可，无穷无尽无极限，犹如无穷的巨网，所有构成“两个奇素数之差”的偶数（即“凡大于4的偶数”）被该巨网一网打尽而万无一失，“失”为“零概率”，巨网保常态。如上所述，“凡大于4的偶数也都是两个奇素数之差”这样的命题就是中间两项之差定理的推论。该定理成立，推论也必然成立，因为大道理制约小道理。

例1 证明6是两个奇素数之差：以5和11作为中间两项，以11-5=6作为公差，以5-6=-1作为首项，以11+6=17作为尾项，从而构成递增的四项等差数列，即-1、5、11、17，则｛（11×17）-［（-1）×5］｝÷2-［2×6×（-1）+2×62］=6×（11-5），于是证明6是两个奇素数之差11-5。

例2 证明8是两个奇素数之差：以3和11作为中间两项，以11-3=8作为公差，以3-8=-5作为首项，以11+8=19作为尾项，从而构成递增的四项等差数列，即-5、3、11、19，则｛（11×19）-［（-5）×3］｝÷2-［2×8×（-5）+2×82］=8×（11-3），于是证明8是两个奇素数之差：11-3。

例3 证明88是两个奇素数之差：以13和101作为中间两项，以101-13=88作为公差，以13-88=-75作为首项，以101+88=189作为尾项，从而构成递增的四项等差数列，即-75、13、101、189，则｛（101×189）-［（-75）×13］｝÷2-［2×88×（-75）+2×882］=88×（101-13），于是证明88是两个奇素数之差：101-13。

例4 证明888是两个奇素数之差：以19和907作为中间两项，以907-19=888作为公差，以19-888=-869作为首项，以907+888=1795作为尾项，从而构成递增的四项等差数列，即 -869、19、907、1795， 则｛（907×1795） -［（-869）×19］｝÷2-［2×888×（-869）+2×8882］=888×（907-19），于是证明888是两个奇素数之差：907-19。

如所有例题作证，定理具有无限的能量，从而给力哥德巴赫猜想“1+1”以及“1-1”，成为所有“1+1”或者“1-1”的高效载体，并且证明了“1+1”或者“1-1”，使人对“1+1”和“1-1知其然而又知其所以然：“1+1”和“1-1”的成立完全“应该”（符合定理），是定理关于函数的“对应”法则使“1+1”和“1-1得以“回应”。先前所列举的例题都是根据“定理”作出的“证明”定理是“科学的抽象”，是客观情况的概括总结。“说明”和“证明的区别在于：“说明”是回答“怎么样”，使人知其然；“证明”是回答“为什么这样”，使人知其所以然。

笔者关于证明“1+1”和“1-1”的“十段路线图”就是：因证明而定理，因定理而数列，因数列而等式，因等式而函数，因函数而值域，因值域而巨网，因巨网而概率，因概率而常态，因常态而证明因证明而报国！十段路线图，一环扣一环，环环紧相连。如此连环阵班门弄斧演。尊师肯赐教，跪拜谢圣贤。错误抛天外，喜泪如涌泉。初生牛犊傻，不知河深浅。愣头闯前沿，迷津当指点。功过与是非，自有公正判。愚公志移山，智叟冷眼观。中国故事多，公正传真言。

“蘑菇总是成堆地生长着”。数学往往一题多解。限于篇幅，本文所介绍的证明方法还有多种。现在以法治国，宪法规定公民有进行科学研究的自由，不应当对研究哥德巴赫猜想的人抱有不正确的偏见因为偏见往往比无知更可怕。哥德巴赫猜想号称数学王冠上的明珠，有志为国争光而敢于摘取明珠有什么不对呢？请你支持我吧！学术交流能促进学科发展，广开言路集思广益，百花齐放百家争鸣，多好啊！实现数学强国的中国梦寄希望于青年！

每年参加高考的考生中，有的人数学成绩接近满分，有的人分数很少。这是为什么？回答是“难了不会，会了不难”。同样的试题，会者认为不难，不会者认为很难。辩证法认为：难和易是对立的统一是相对的，可以转化的。世界上没有绝对的数学难题。哲人说过，方向不对，知识再多等于无用。专利局所授权的发明创造，不都是高级知识分子搞出来的，知识不多的工人农民也能搞发明创造，大发明家爱迪生没有什么文凭，创造型人才无需过多知识。辩证法认为，在一定的条件下，好事可以变成坏事。知识较多是好事，但如果不解放思想，较多的知识反而束缚了知识的发挥。小孩子学走路，并不是先把世界上所有的路都熟悉一遍再学走路。哲人说过，干就是学习，从战争学习战争，这是我们的主要方法。怎样是对，怎样是错，是相互比较而存在的，没有对也就无所谓错。这正如高考评卷有正确答案为依据一样。不应当对哥德巴赫猜想的证明轻易说“不对”两个字。只说“不对”而不帮助改正，这是助人为乐的雷锋精神吗？如果谁认为证明是错误的，应当详细具体地指出究竟错在哪里，怎样修改才算正确哲人说过，错误是正确的先导。把不对的错误的证明改成对的正确的证明，不亦乐乎？这难道不是求之不得的好事吗？有道是“千里马常有，而伯乐不常有”，既有慧眼又甘当人梯的伯乐太难得了！“解放思想，实事求是，破除迷信，大胆探索”，这对科学战士太重要了！实现数学强国的中国梦寄希望于初生牛犊不怕虎的青年人啊！

由于存在“偏见”，不得已又添加了后记之言，索性做一下思想认识工作吧。