从一道题看高中生解析几何运算的常见错误

江苏省苏州市吴中区甪直高级中学 陈生虎 冯中芹

从一道题看高中生解析几何运算的常见错误

江苏省苏州市吴中区甪直高级中学 陈生虎 冯中芹

心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”在数学教学过程中，教师抓住学生的错误根源，利用好错误的根源，必然会提高教师的日常教学效率，使得学生的成绩得到真正的提高。

在很多数学考试中我们发现，有些学生虽然写得满满的，但是分数很低。一般情况下，学生能将卷子写得满满的，说明他们对于知识的掌握程度还是可以的，那问题出在哪里呢？教学实践表明，学生往往是在计算上出了问题。

解析几何一直是高考解答题必考题，在江苏高考试卷中位于18或19题的位置，满分分值为16分，一般都有2～3小问。第一问一般比较简单，最后一问都较难，属于难题。学生怕做解析几何题，主要原因是解析几何是用代数的方法解决几何问题，而用代数方法就意味着要计算，从最近几年流行的直线与椭圆问题来看，计算量在逐年提高，需要学生有很强的计算能力，使得学生对解析几何的解答题产生了畏惧心理，怕算，很难得到满分。那么为什么学生计算能力差呢？

最近，笔者所任教的学校组织了高二年级12月份摸底考试，数学试卷的19题为：

已知椭圆C：

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m。证明2m-k为定值。

考试结束后，笔者发现这道题并不是很难，但是学生的得分率很低。这道题共16分，绝大部分学生得到了第（1）小问的4分，第二小问答对的非常少，笔者询问了本班的学生，大部分说“第（2）小问我会做，但是时间不够，来不及运算，计算量太大、太复杂”，真的是“太复杂”吗？为此，笔者进行了调查研究。

一、研究方法

1.问卷编制：问卷分四部分：是否完全算出结果、做题时间、计算的步数、写出计算出错的步骤，最终形成调查问卷。

2.调查方法：观察法、文献分析、调查问卷与个别访谈相结合。

3.数据统计：调查共发放问卷300份，收回275份，有效问卷250份。

二、调查过程

1.制定周密、合理的调查问卷。

2.发放调查问卷，在甪直高级中学各班级发放调查问卷，以达到调查的普遍性。

3.回收调查问卷。

4.收集数据并进行统计。

三、学生常见计算错误分析

解答本题的常规思路是，由给出BP的斜率为k和点B(2，0)写出直线BP的方程；再联立直线BP与椭圆方程，化简得到点P坐标，从而求出直线DP的方程；紧接着根据直线DP的方程求出点N坐标；联立直线BP与直线AD的方程得到点M坐标；最终由M、N两点坐标得出结论。

（2）因为B（2,0），P不为椭圆的顶点，则直线BP的方程为

则2m-k=为定值。

1.过分追求计算速度，“跳步”现象严重

2.惧怕带字母的运算，信心不足

学生2 算出P点坐标为出现了k3，他们认为接下来的运算肯定进行不了，其实P点坐标为没有出现k3，是他没有通分化简。这种现象在学生中很普遍，很多学生对带字母的代数式运算能力差，遇到三次或者三次以上的代数式无法正确运算。另外，因为高中数学计算量比初中大，对高二解析几何学习缺乏自信心，遇到解析几何解答题就没有信心算下去。

3.对代数式子结构分析能力差

四、对解析几何有关运算教学的几点看法

解析几何一直是高考的重点，师生都非常重视，但是学生常常感觉似懂非懂，解题出错率高。结合以上的分析，笔者对解析几何的运算教学提出几点看法：

1.注重基础运算教学

本文中试题的参考答案是基本方法，学生容易理解，但是运算量偏大，很多学生不敢下笔，从这一方面说明我们教学中应该重视基础运算，特别是带字母的代数式计算。其中主要包括点与点、点与直线的距离，直线中交点、斜率的计算，解方程组等等。笔者认为，教师在平时教学时，一定不能过分强调特殊技巧的运算，要注重基础运算。

2.注重计算过程，加强训练

对于很多学生来说，一讲就会，一做就错。很多教师都有这样的经历：将学生听懂、订正过的一道解析几何题目再让学生做一遍，结果只有一部分同学能完成，很大一部分原因在计算上。在平时练习中，要有针对性地进行计算训练。在平时上课时，运算过程要由学生自己完成，而不是老师板书。有句话说得好：“看老师讲10道题也不及自己亲手做一道题。”遇到最后一问时，不能让学生等着老师运算，只有不断地训练，才能提高运算能力。

3.培养学生分析代数式子结构的能力

在日常教学中，不能盲目地让学生算，要培养学生对代数式子的观察能力，特别是在含字母的代数式计算过程中，要边计算边观察能否进行因式分解、约分。教师应指导学生合理地运算。在教学过程中要以几何方法为辅助，比如圆的性质等重要的几何性质，能给计算带来很大的简便。

4.在教学过程中要体现“教”学生运算

有专家指出，学生计算上的错误是教师在教学中的财富。教师不能漠视学生在解析几何计算中错误的出现，珍视学生的计算错误，正确善待这些错误，会让每一位教师的教学开拓出一片新的天地。