“二次函数”，想说爱你不容易

江苏省苏州工业园区星浦学校 周育敏

“二次函数”，想说爱你不容易

江苏省苏州工业园区星浦学校 周育敏

九年级数学下册“二次函数”一章，在整个初中数学中占有非常重要的地位，在中考中也是一大热点和难点。二次函数体现了数形结合的重要思想方法，同时也为高中阶段一元二次不等式的学习提供基础。从多年的经验来看，对于学生而言，要想学好这一章并不容易，特别是一遇到难度较大的综合题，更是手足无措，甚至有的学生还对这一章产生了恐惧症，认为二次函数的题都是难题，只要遇到，不经思考便放弃。下面我就以“二次函数图象的平移”这个较为常见的知识点为例，谈谈我对这章内容的思考，不到之处，请各位同仁指正。

苏科版九下“二次函数”其中有一个知识点是“二次函数的图象与性质”，在有关于图象的平移这一方面，学生在学习时经常发生错误，方向不明确。用“平移法则”与“方程和图象相结合”的方法进行对比研究实验：

教材中通过画几个二次项系数相同的二次函数图象，如：y=2x2，y=2（x+1）2和y=2（x+1）2+3的图象，归纳总结y=a（x+m）2+k的图象可以由函数y=ax平移得到，进而得出平移法则：“一般地，函数y=a（x+m）2+k的图象可以由函数y=ax2的图象经两次平移得到：当m＞0时，向左平移m个单位，当m＜0时，向右平移|m|个单位；当k＞0时，再向上平移k个单位，当k＜0时，向下平移|k|个单位。”这三个方程式的内容，很多同学在老师讲解一次过后没过多久便会遗忘或混淆，其根本原因就是对这部分的内容没有深刻的理解，很多学生只是似懂非懂。其实这一部分的本质在于平移，都是在y=2x2这个方程式的基础上衍变而来的，只要我们将y=2x2搞清楚，剩下的两个就不难掌握了。

在这一部分的学习中还可运用法则“左加右减，上加下减，变自变量”来解题，但很多同学仍然不知所云，主要症结还是在于脑海中的常规思维定式无法打破，对y轴和x轴的移动法则分不清楚，容易混淆。数形结合是数学中最重要的方法之一，所以在教学的实践中，利用方程与二次函数的关系来理解函数是教师所推崇的，令x+m=0，得x=-m；当x=-m时，y=k。即顶点（0，0）到（-m，k）的移动，从而在平面直角坐标系内获得图象的移动，这种方法简称为“方程——图象结合法”，只要画出坐标轴来，在坐标轴上移动图象既简单，又直观，帮助不少同学解决了二次函数的难题。

二次函数的顶点坐标解析式y=a（x-h）2+k是学生熟记的公式，平移二次函数时，图象的开口方向和开口大小是不变的，所以a是不变的，我们只需求出h、k即可，而（h，k）又是顶点坐标，所以，平移时把顶点坐标作为参照物，只平移顶点坐标，学生很容易求出平移后的顶点坐标（h，k），把（h，k）代入解析式y=a（x-h）2+k就是平移后的解析式，这也是教学中的一个难点，但究其根本是只要把顶点坐标作为参照物，便很容易就能判断出两个函数是如何进行平移的。下面我们将通过举例来梳理这一类题目的解题思路。

1．求平移后的解析式

例1 抛物线y=2x2向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的解析式是什么？

分析：原来抛物线的顶点坐标是（0，0），平移后的顶点坐标很容易就能口算出来是（-8，-9），即：h=-8，k=-9，a是不变的，所以平移后的抛物线解析式就是：y=2（x+8）2-9。

2．确定函数图象的平移

例2 函数y=2（x-5）2+3的图象是由y=2（x+2）2-3的图象经过怎样的平移变化得到的？

分析：首先确定两个抛物线的顶点坐标：变化前的顶点坐标为（-2，-3），变化后的顶点坐标为（5，3），然后在直角坐标系中画出变化前后两个顶点的位置，对照两个顶点坐标，学生很容易就能看出来函数y=2（x+2）2-3的图象先向右平移7个单位，再向上平移6个单位即可得到函数y=2（x-5）2+3的图象。

纵观近几年的中考数学与二次函数相关的题目，其实都是一些基础题或是中等难度的题目，所谓“万变不离其宗”，他们都是在简单的二次函数的基础上演化的，只要我们拨开伪装的外衣，就能发现它本来的面目。例如下面这两道中考题：

例3 （2013年四川）在同一平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2+4x+1的图象先向左平移9个单位，再向上平移2个单位，得到的函数的顶点坐标为多少？

在解这个题时，只要题目的问题没有那么直接，很多同学就可能不知道从何下手了。其实这道题运用我们上面的知识，稍加变通便可解决。首先，我们根据平移的法则“左加右减”，先在x的基础上进行加减，因为是左移，所以得到y=2（x+9）2+4（x+9）+1，然后再根据“上加下减”的法则，得到一个新函数y=2（x+9）2+4（x+9）+3，化简之后得到最终平移后的函数为y=2（x+10）2+1。这是一个顶点式，根据所学的知识可知其顶点为（-10，1），问题得解。

拿到这个题目时，首先我们脑海里的第一反应是这个题的考点在于考查二次函数的最值问题，需要把二次函数的解析式整理成顶点式，才能确定最大值。我们首先将整理后得出，所以，该抛物线的对称轴是x=2，且在x上y随x的增大而增大，因为，所以当时，y取最大值，为，问题得解。

在学习二次函数的过程中，我们还要注意以下策略：

1．利用配方法解决一般形式为y=A（x+B）2+C的图象问题

将一般式化为顶点式是二次函数的一个重难点，也是有效解决二次函数问题的有效方法，起着举足轻重的作用，通过顶点式，学生可以直观画出每一个二次函数的图象，并知道相应的数学性质，可以使用它来掌握二次函数的对称轴、最值等问题。顶点公式是求最值的一个最有效的突破口，因此，老师在教学中要注意启发，与学生共同配方，指出顶点坐标公式中相应字母的值。

2．学以致用，解决实际问题

数学在学生的整个学习生涯中一直都是难点，也是教学工作开展的难点，这不仅来自于教学实际，更是来自于学生的心理，所以数学的“学与教”不是一蹴而就的，教师在教学时必须循循善诱，掌握方法。在教学过程中，教师首先必须认真分析教材，并在吃透教材的基础上恰当分析究竟采用什么样的教学手段，是使用一种教学手段，还是使用多种教学手段。为了加深学生对二次函数的理解，掌握利用二次函数解决实际问题，我带领学生参加一些实际的二次函数生活问题，加深学生对二次函数的理解，例如拱桥问题、篮球抛掷、隧道问题等等，让学生充分认识到“数学来源于生活，应用于生活”，这样就能够不断提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，而且可以促进学生认真领略二次函数中的数学理念，达到深层次理解的目的。

总之，作为初中数学教学中最重要的内容，二次函数的教学是不容忽视的问题，数学教师必须认真阅读教材，吃透原理，通过各种策略和方法有效唤起学生学习的积极性，通过各种生活中学生所熟悉的例子来启发学生，让所有的数学知识“深入浅出”，从而不断培养学生发现问题、分析问题、解决问题的综合能力。