b-度量空间中弱相容映象族的公共不动点定理

李何东， 陆 竞， 谷 峰

(杭州师范大学理学院， 浙江 杭州 310016)

b-度量空间中弱相容映象族的公共不动点定理

李何东， 陆 竞， 谷 峰

(杭州师范大学理学院， 浙江 杭州 310016)

在完备b-度量空间的框架下，使用弱相容映象的概念，证明了一些新的公共不动点定理， 所得结果推广和改进了度量空间中的一些已有结论.

b-度量空间;弱相容映象;压缩映象;公共不动点

1 引言和预备知识

自从Czerwik[1]提出b-度量空间的概念以来，众多学者深入研究了b-度量空间中的不动点和公共不动点问题，获得了许多有意义的研究结果[1-5].关于度量空间中公共不动点问题的研究，Jungck[6]引入的相容映象的概念发挥了极其重要的作用.2011年，Akkouchi[5]把相容映象和弱相容映象的概念引入到b-度量

证明了一族(C)型压缩映象的公共不动点定理[8],从而引发了众多学者对(C)型压缩映象公共不动点问题的深入研究.2005年，Singh[9]利用(C)型压缩条件，将单个映象推广至6个映象，证明了一个公共不动点

本文受上述文献启发，把上述问题放在更一般的b-度量空间的框架中加以考虑，得到了一些新的公共不动点定理，推广了度量空间中的已有结论.

定义1[2]设X是一个非空集合，k≥1是一个给定实数.称函数d:X×X→R+是集合X上的一个b-度量，若∀x,y,z∈X,满足以下条件:

(i)d(x,y)=0⟺x=y; (ii)d(x,y)=d(y,x); (iii)d(x,y)≤k[d(x,z)+d(z,y)].

这时我们称(X,d)是一个b-度量空间，实数k称为该b-度量空间的系数.

注1 显然，当k=1时，b-度量空间即为通常的度量空间，但是b-度量空间不一定是度量空间，反例可见[3].

定义2[4]设{xn}是b-度量空间(X,d)中的点列，若存在x∈X,使得d(xn,x)→0(n→∞),那么我们称点列{xn}收敛于x,记做xn→x(n→∞).

定义3[4]设{xn}是b-度量空间(X,d)中的点列，如果d(xn,xm)→0(n,m→∞),那么我们称点列{xn}为X中的柯西列.

定义4[4]若b-度量空间(X,d)中所有柯西列都收敛,则称X为完备b-度量空间.

定义5[5]b-度量空间(X,d)上的自映象对(f,g)称为相容的，如果∀{xn}⊂X,只要fxn→x,gxn→x(n→∞),x∈X,就有d(fgxn,gfxn)→0(n→∞).

定义6[5]b-度量空间(X,d)上的自映象对(f,g)称为弱相容的，如果

{t∈X:f(t)=g(t)}⊂{t∈X:fg(t)=gf(t)}.

注2 与度量空间不同，b-度量不一定连续,例子可见[3].但我们有以下引理.

引理1[3]设(X,d)是一个b-度量空间，{xn},{yn}⊂X,若xn→t(n→∞)且d(xn,yn)→0(n→∞),则yn→t(n→∞).

引理2[3]设(X,d)是一个具有系数k(k≥1)的b-度量空间，{xn},{yn}是两个收敛列，分别收敛于X中的两点x,y，则有

定义7 定义Φ={φ:R+→R+},其中∀φ∈Φ满足下面条件：

(i)φ在R+上连续且单调不减; (ii)φ(t)0.

2 主要结果

定理1 设P1,P2,…,P2i,Q0,Q1是b-度量空间(X,d)上的自映象族，且满足：

(Ⅰ)Q0(X)⊆P1P3…P2i-1(X),Q1(X)⊆P2P4…P2i(X).

(Ⅱ)P2(P4…P2i)=(P4…P2i)P2,P2P4(P6…P2i)=(P6…P2i)P2P4,

…，

(P2…P2i-2)P2i=P2i(P2…P2i-2);

Q0(P4…P2i)=(P4…P2i)Q0,Q0(P6…P2i)=(P6…P2i)Q0,…，Q0P2i=P2iQ0;

P1(P3…P2i-1)=(P3…P2i-1)P1,P1P3(P5…P2i-1)=(P5…P2i-1)P1P3,

…，

(P1…P2i-3)P2i-1=P2i-1(P1…P2i-3);

Q1(P3…P2i-1)=(P3…P2i-1)Q1,Q1(P5…P2i-1)=(P5…P2i-1)Q1,…，Q1P2i-1=P2i-1Q1.

(Ⅲ)P2,…,P2i或Q0连续.

(Ⅳ) 映象对(Q0,P2…P2i)相容,映象对(Q1,P1…P2i-1)弱相容.

(Ⅴ) 存在φ∈Φ,使得

对所有x,y∈X都成立，那么P1,P2,…,P2i,Q0,Q1在X上有唯一公共不动点.

证明 由条件(Ⅰ)，∀x0∈X,∃x1,x2∈X,使得Q0x0=P1P3…P2i-1x1=y0,Q1x1=P2P4…P2ix2=y1，以此类推，可得序列{xn},{yn},使得∀n∈N,有

Q0x2n=P1P3…P2i-1x2n+1=y2n,Q1x2n+1=P2P4…P2ix2n+2=y2n+1.

(1)

下证{yn}是柯西列.由式(1)、压缩条件(V)、三角不等式、φ的性质可得

d(y2n,y2n+1)=d(Q0x2n,Q1x2n+1)≤

(2)

(3)

d(yn,yn+1)<λd(yn-1,yn)<λ2d(yn-2,yn-1)<…<λnd(y0,y1),

(4)

对于∀n,m∈N,n>m,由三角不等式有

d(yn,ym)≤kd(ym,ym+1)+k2d(ym+1,ym+2)+…+kn-m-1d(yn-2,yn-1)+kn-m-1d(yn-1,yn)≤

kd(ym,ym+1)+k2d(ym+1,ym+2)+…+kn-m-1d(yn-2,yn-1)+kn-md(yn-1,yn),

(5)

所以d(yn,ym)→0(n,m→∞),故{yn}是柯西列.由X完备知，存在z∈X,使得yn→z(n→∞).由于序列{Q0x2n}={P1P3…P2i-1x2n+1}={y2n},{Q1x2n+1}={P2P4…P2ix2n+2}={y2n+1}是{yn}的子列，所以Q0x2n→z,P1P3…P2i-1x2n+1→z,Q1x2n+1→z,P2P4…P2ix2n→z(n→∞).

下证z是P1,P2,…,P2i,Q0,Q1的公共不动点.

由引理2，对上式两边同取上极限，并注意到φ的性质，可得

(b)下证Q0z=z.否则，若Q0z≠z，由压缩条件(V)得

此为矛盾，故Q0z=z.

(c)下证P4…P2iz=z,否则，若P4…P2iz≠z,再次利用压缩条件(V)可得

由引理2，对上式两边同取上极限，并注意到条件(Ⅱ)可得

此为矛盾，故P4…P2iz=z，因此P2(P4…P2i)z=P2z,故P2z=P2P4…P2iz=z,继续以上过程，可得Q0z=P2z=P4z=…=P2iz=z.

(e)下证Q1z=z,若Q1z≠z,利用压缩条件(V)可得

利用引理2对上式两边同取上极限,可得

此为矛盾，故Q1z=z.因此z=Q1z=P1P3…P2i-1z.

(f)下证P3…P2i-1z=z,否则,若P3…P2i-1z≠z,再次利用压缩条件(V)可得

d(Q0x2n,Q1P3…P2i-1z)≤

由引理2,对上式两边同取上极限，并注意到条件(Ⅱ)可得

矛盾，故P3…P2i-1z=z，因此P1(P3…P2i-1)z=P1z,故P1z=P1P3…P2i-1z=z.继续以上过程,可得Q1z=P1z=P3z=…=P2i-1z=z,因此我们证明了

Q0z=Q1z=P1z=P2z=…=P2i-1z=P2iz=z.

(g)下证Q0z=z.事实上，若Q0z≠z，由压缩条件(V)得

由引理2，对上式两边同取上极限，并注意到φ的性质，可得

此为矛盾，故Q0z=z.同理执行步骤(d),(e),(f)并循环步骤(f),可得

Q1z=P1z=P3z=…=P2i-1z=z.

Q0z=Q1z=P1z=P2z=…=P2i-1z=P2iz=z.

最后来证明不动点的唯一性.若z′也是P1,P2,…,P2i,Q0,Q1上的公共不动点.下证z=z′,否则若z≠z′，利用压缩条件(V)可得

此为矛盾，故z=z′.即z是P1,P2,…,P2i,Q0,Q1上的唯一公共不动点.

注3 定理1含文[10]中定理5为特例，因此，定理1推广了文[10]中的相关结果.

推论1 设A,B,S,T,L,M是b-度量空间(X,d)上的6个自映象，且满足：

(Ⅰ)L(X)⊆ST(X),M(X)⊆AB(X);

(Ⅱ)AB=BA,ST=TS,LB=BL,MT=TM;

(Ⅲ)AB或L连续;

(Ⅳ) 映象对(L,AB)相容,映象对(M,ST)弱相容;

(Ⅴ) 存在φ∈Φ,使得

对于所有的x,y∈X都成立，那么A,B,S,T,L,M在X上有唯一的公共不动点.

证明 在定理1中取i=2,P1=S,P2=A,P3=T,P4=B,Q0=L,Q1=M，即得推论1的结论.

注4 推论1的结果改进和发展了文[9]中的定理3.3.

(Ⅰ)Tα(X)⊆P2P4…P2i(X)，Tβ(X)⊆P1P3…P2i-1(X).

(Ⅱ)P2(P4…P2i)=(P4…P2i)P2,P2P4(P6…P2i)=(P6…P2i)P2P4,

…，

(P2…P2i-2)P2i=P2i(P2…P2i-2);

Tβ(P4…P2i)=(P4…P2i)Tβ,Tβ(P6…P2i)=(P6…P2i)Tβ,…，TβP2i=P2iTβ;

P1(P3…P2i-1)=(P3…P2i-1)P1,P1P3(P5…P2i-1)=(P5…P2i-1)P1P3,

…，

(P1…P2i-3)P2i-1=P2i-1(P1…P2i-3);

Tα(P3…P2i-1)=(P3…P2i-1)Tα，Tα(P5…P2i-1)=(P5…P2i-1)Tα,…，TαP2i-1=P2i-1Tα.

(Ⅲ)P2,…,P2i,Tβ之一连续.

(Ⅳ) 映象对(Tβ,P2…P2i)相容，映象对(Tα,P1…P2i-1)弱相容.

(Ⅴ) 存在φ=φ(α)∈Φ,使得

对于所有的x,y∈X都成立，那么Pt,Tr在X上唯一的公共不动点.

证明 任取α0≠β∈J,由定理1可知∃z∈X,使得Tβz=Tα0z=P1z=P2z=…=P2iz=z,则对于一般的α∈J,利用压缩条件(V)可得

整理得

若d(z,Tαz)>0,那么由φ的性质可得d(z,Tαz)≤φ(d(z,Tαz))

例1 设X=[0,1]是一个b-度量空间，定义b-度量d(x,y)=(x-y)2,

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The Common Fixed Point Theorem for Families of Weakly Compatible Maps inb-metric Space

LI Hedong, LU Jing, GU Feng

(School of Science， Hangzhou Normal University， Hangzhou 310036， China)

By using the concept of weakly compatible maps, some new common fixed point theorem inb-metric spaces are proved. Meanwhile, the existing conclusions in metric spaces are generalized and improved.

b-metric space; family of weakly compatible maps; contractive mapping; common fixed point

2015-11-26

国家自然科学基金项目(11071169);浙江省自然科学基金项目(Y6110287).

陆 竞(1958—), 男,副教授,主要从事数学分析及其应用研究.E-mail：wllujing@sina.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.01.020

O177.91 MSC2010:47H10；54H25

A

1674-232X(2017)01-0086-08