Cantor四分集上的变换及其遍历测度

王 芬， 张晓艳

(1.湖北第二师范学院 数学与经济学院， 武汉 430205； 2.华中师范大学 数学与统计学学院， 武汉 430079)

Cantor四分集上的变换及其遍历测度

王 芬1*， 张晓艳2

(1.湖北第二师范学院 数学与经济学院， 武汉 430205； 2.华中师范大学 数学与统计学学院， 武汉 430079)

该文给出了Tα(x)=αx(mod 1)(α∈R+)是Cantor四分集T(4，{0，2})上的变换的充要条件：Tα为T(4，{0，2})上的变换当且仅当α=4n(n∈Z).并且研究了Tα的遍历测度的存在性.

Cantor四分集； 不变测度； 遍历测度

1研究背景

Cantor集是数学众多领域的重要研究对象，尤其是在实分析、调和分析、分形几何、动力系统等领域有着广泛而深入的研究及应用，可参见文献[1-6]. 本文主要研究Cantor四分集合上的变换及其遍历测度.

1.1Cantor四分集

1.2不变测度与遍历测度

定义1[7，8]设(X，T)是一个动力系统， (X，B，μ)是一个概率空间.如果∀B∈B，有μ(B)=μ(T-1B)，则称T:X→X是一个保测映射或μ是T不变的.

定义2[7，8]设(X，B，μ)是一个概率空间，T:X→X是一个保测映射.如果∀B∈B且满足T-1B=B，有μ(B)=0或1，则称T是一个关于μ遍历的映射或μ是关于T的一个遍历测度.

本文将考虑对于哪些α∈R+，映射Tα(x)=αx(mod 1)(α∈R+)是Cantor四分集上的变换，并对相应Tα的遍历测度的存在性进行了讨论.

2主要结果

首先考虑对于哪些α∈R+，映射Tα(x)=αx(mod 1)(α∈R+)是Cantor四分集上的变换.

定理1Tα为T(4，{0，2})上的变换当且仅当α=4n(n∈Z)．

首先证明下面的引理：

证明由xk，yk∈{0，2}，知xk+yk的取值只有0，2，4三种情况.若存在k使得xk+yk=4，则记m=min{i:xi+yi=4，i≥1}，即xk+yk=0或2(k=1，2，…，m-1)，xm+ym=4. 所以

故∀k≥1，xk+yk=0或2．

定理1的证明：

“⟸”当α=4n(n∈Z)时，下面证明∀x∈T(4，{0，2})，Tα(x)∈T(4，{0，2})．

所以当α=4n(n∈Z)时，Tα为T(4，{0，2})上的变换.

2)若z≠0，则z≥1. 则z=4N·a-N+…+4·a-1+a0，a-N，…，a-1，a0∈{0，1，2，3}且N≥0，a-N≠0.下面进一步说明a-N，…，a-1，a0∈{0，2}．

这与条件矛盾，所以a-N，…，a-1，a0只能取0或2．

再由a-N≠0，知a-N=2，故

其中ai∈{0，2}，i=-(N-1)，…，-1，0，1，2，….

可以断言：ai=0，∀i∈{-(N-1)，…，-1，0，1，2，…}．

综上所述，当Tα为T(4，{0，2})上的变换时，有α=4n(n∈Ζ).

最后讨论变换Tα(α=4n，n∈Z)的遍历测度.

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The transformations of Fourth-middle Cantor set and their ergodic measures

WANG Fen1， ZHANG Xiaoyan2

(1.School of Mathematics and Economics， Hubei University of Education， Wuhan 430205; 2.School of Mathematics and Statistics， Central China Normal University， Wuhan 430079)

In this paper， the sufficient and necessary condition is provided forTα(x)=αx(mod 1)(α∈R+) to be transformations of Fourth-Middle Cantor setT(4，{0，2})：TαisatransformationofT(4，{0，2})ifandonlyifα=4n(n∈Z). Then the existence of ergodic measures is considered．

Fourth-Middle Cantor set; invariant measure; ergodic measure

2016-11-01.

国家自然科学基金项目(11271148).

1000-1190(2017)02-0140-03

O171

A

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