集合及其运算

杨宇　高保中

核心知识概述

1. 集合的特征：确定性、互异性、无序性.

2. 集合与集合之间的关系：A?B，AB，A=B. 注意：空集是任何非空集合的真子集.

3. 集合的三种运算：交、并、补.

4. 集合的基本性质：（1）A∩A=A；（2）A∪A=A；（3）A∩B=B∩A；（4）A∪B=B∪A；（5）（A∩B）∩C=A∩（B∩C）；（6）（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（7）A∩?=?；（8）A∪?=A；（9）?U（?UA）=A；（10）?U（A∪B）=（?UA）∩（?UB）；（11）?U（A∩B）=（?UA）∪（?UB）.

解题中的三大注意点

1. 理解集合的内涵与外延——理清元素的属性

在用描述法表示的集合中，要根据代表元的特征，理清元素的属性，准确把握集合的外延（是哪些元素组成的集合）. 如[{x|y=lgx}]，[{y|y=lgx}]，[{（x，y）|y=lgx}]表示的集合互不相同；而[{x|x2-2x-3=0}]与[{t|t2-2t-3=0}]表示相同的集合（代表元的含义相同）.

例1 已知集合M={x|x=[k2+14，k∈Z]}，N={x|x=[k4+12，k∈Z]}，若x0∈M，则x0与N的关系是（ ）

A. [x0∈N] B. [x0?N]

C. [x0∈N]或[x0?N] D. 不能确定

解析 M={x|x[=2k+14，]k∈Z}，N={x|x[=k+24，]k∈Z}，

∵2k+1（k∈Z）是一个奇数，k+2（k∈Z）是一个整数，∴x0∈M时，一定有[x0∈N].

答案 A

解读 本题还可以列举两个集合的部分元素，找出规律，发现它们之间的关系.

2. 时刻关注互异性

互异性是集合元素的重要特征，在解题中要时刻提高警惕，以防掉入“陷阱”.

例2 已知集合A是由0，m，m2-3m+2三个元素组成的集合，且[2∈A]，则实数m的值为（ ）

A. 2 B. 3

C. 0或3 D. 0，2，3均可

解析 由2∈A可知：若m=2，则m2-3m+2=0，这与m2-3m+2≠0相矛盾；若m2-3m+2=2，则m=0，或m=3. 当m=0时，与m≠0相矛盾；当m=3时，此时集合A={0，3，2}，符合题意.

答案 B

解读 此类问题在求出集合中的参数后，要代入检验，看集合中的元素是否满足互异性.

3. 不能忘记空集——空集是任何集合的子集

式子[B?A]的含义有：[B=?]，[B][A]和[B=A]. 当题目中出现[B?A]时，则应考虑[B=?]的情形.

例3 已知[A={x|x2-3x+2=0}]，[B={x|ax-2=0}]，且[A∪B=A]，则实数[a]组成的集合[C]是 .

误解 由[x2-3x+2=0]得，[x=]1，或2. 当[x=1]时，[a]=2；当[x=2]时，[a]=1. 故[C={1，2}].

正解 上述解答只注意了[B]为非空集合的情形. 实际上，[A∪B=A?B?A，]因此[B=][?]时，仍满足[A∪B=A]. 当[B=][?]时，[a]=0，符合题意. 故正确答案为[C]={0，1，2}.

例4 已知集合[A={x|x2-3x-10≤0}]，集合[B=][{x|p+1≤x≤2p-1}]，若[B?A]，求实数[p]的取值范围.

错解 由[x2-3x-10≤0]得，[-2≤x≤5]. 欲使[B?A]，只需[-2≤p+1，2p-1≤5.∴-3≤p≤3].

∴[p]的取值范围是[[-3，3]].

正解 上述解答忽略了[B=?]的情形. 正确解答为：

（1）当[B]≠[?]时，有[p+1≤2p-1，即p≥2]时，结合上述解法得，[2≤p≤3].

（2）当[B]=[?]时，即[p+1>2p-1， ∴p<2].

综合（1）（2）得，[p]的取值范围是[p≤3].

例5 已知集合[A={x|x2+（m+2）x+1=0，x∈R}]，若[A∩R+]=[?]，求实数[m]的取值范围.

错解 由[A∩R+]=[?]知，方程[x2+（m+2）x+1=0]无正根. 又由韦达定理知方程的根不为零且同号，

故方程只有两个负根，[∴Δ=m+22-4≥0，-m+2<0.]

解得，[m≥0].

正解 上述解法忽视了方程[x2+（m+2）x+1=0]无实数根（即[A]为空集）的情形. 正确解法为：

[Δ=m+22-4≥0，-m+2<0，]或[△=（m+2）2-4<0].

解得，[m≥0]，或[-4

综合得，[m>-4]即为所求.

解题中的三大辅助工具

在解决有关集合运算的问题中，若能充分利用数轴、坐标系、Venn图，则能使问题的解决简捷明快.

1. 借助数轴处理数集运算问题

例6 设[A={x|-21}]，[B={x|x2+ax][+b≤0}]，已知[A∪B={x|x>-2}]，[A∩B={x|1

解析 如图，当且仅当[B]覆盖住集合[{x|-1-2}]，且[A∩B={x|1

解读 不等式型集合的交集、并集通常可以借助数轴来解，解题时注意验证区间端点是否符合题意.

2. 借助平面图形、图象

例7 已知集合[A={（x，y）|y≥|x-1|}，][B=][{（x，y）|y≤-|x|+a}，][A∩B≠?]，求实数[a]的取值范围.

解析 设[f（x）=x-1，g（x）=-x+a]，作出两函数图象（如图），则集合[A]表示在函数[y=f（x）]图象上方的点的集合，集合[B]表示在函数[y=g（x）]图象下方的点的集合.要使[A?B≠?]，由图象易知[a≥1]，所以实数[a]的取值范围是[[1，+∞）].

解读 一般地，在平面直角坐标系中，不等式[y>f（x）]表示的区域为函数[y=f（x）]的图象上方对应的区域；不等式[y

3. 借助Venn图

例8 已知全集U={a|a∈N*，且a≤9}，且（?UA）∩B=[{1，9}]，A∩B={2}，（?UA）∩（?UB）={4，6，8}，试确定集合A，B.

解析 由题意得，U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，

又（?UA）∩B={1，9}，A∩B={2}，（?UA）∩（?UB）={4，6，8}，

将它们在Venn图上表示出来（如图）. 由Venn图可得，A={2，3，5，7}，B={1，2，9}.

解读 本题从Venn图上一目了然. 若采用逻辑的方法推导，运算量要大得多.

例9 向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

解析 赞成A的人数为50×[35]=30，赞成B的人数为30+3=33（如图），记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B. 设对事件A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为[x3]+1，赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33-x，依题意，得（30-x）+（33-x）+x+（[x3]+1）=50，解得x=21，所以对A，B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.

解读 此类应用问题，借助Venn图，可直观、快捷地解决.