圆锥曲线的离心率题型剖析

刘族刚　朱新婉

圆锥曲线的离心率[e]是反映圆锥曲线几何特征（扁平或开阔程度）的一个数量，是圆锥曲线的重要几何性质，也是圆锥曲线“统一定义”的纽带. 因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法，不仅是巩固基础知识、领悟数形结合思想的需要，也完全符合“备考从高一、高二开始抓”的教学理念. 本文以离心率的内容为主体，以题型解析为载体，小结出求解离心率问题的策略和方法，希望对大家的解题有所帮助.

離心率的定义

例1 已知[F1，F2]是椭圆和双曲线的公共焦点，[P]是它们的一个公共点，且[∠F1PF2=60°]，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）

A. [433] B.[233] C. [3] D. [2]

分析 [△PF1F2]既是椭圆的焦点三角形，也是双曲线的焦点三角形，因为焦点三角形中的边长蕴含求离心率所需的“[2a，2c]”，所以利用圆锥曲线的定义、离心率的定义是解答本题的切入点.

解 不妨设[PF1=m，PF2=n，（m>n）]，椭圆的长半轴长为[a1]，双曲线的实半轴长为[a2]，椭圆、双曲线的离心率分别为[e1， e2].

由椭圆、双曲线的定义得，

[m+n=2a1]，[m-n=2a2].

平方得，[m2+2mn+n2=4a12]， ①

[m2-2mn+n2=4a22]. ②

又由余弦定理得，[m2-mn+n2=4c2]. ③

由①②③消去[mn]得，

[a12+3a22=4c2]，即[1e12+3e22=4].

由柯西不等式得，[（1e1+1e2）2=（1×1e1+13×3e2）2]

[≤（1+13）（1e12+3e22）=163].

（当且仅当[e1=33， ][e2=3]时取等号.）

所以[1e1+1e2≤433].

答案 A

点评 圆锥曲线的离心率的定义[e=ca]是解决离心率问题的基础. 值得注意的是：椭圆的离心率[e∈（0，1）]，抛物线的离心率[e=1]，双曲线的离心率[e∈（1，+∞）].

离心率的几何意义

例2 已知双曲线[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的离心率为[2]，若直线[l：y=kx+3]与曲线[C]的左、右支各有一个交点，求[k]的取值范围.

分析 双曲线的离心率[e]决定了双曲线的分布与形状，另外直线[l：y=kx+3]中[k]的几何意义明显（直线陡峭程度），故本题可用数形结合求解.

解 因为双曲线[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的离心率为[e=2]，所以[ba=e2-1=3].

由离心率的几何意义知，双曲线的两支应夹在两渐近线[y=±3x]之间且无限接近（如图）.

要使过点[（0，3）]且斜率为[k]的直线[l：y=kx+3]与曲线[C]的左、右支各有一个交点，则直线[l]必须绕[（0，3）]在两直线[y=±3x+3]之间转动，所以[k∈（-3，3）].

点评 离心率[e]是圆锥曲线的特征数，它确定了圆锥曲线的形状、分布等（作双曲线先画渐近线），借助这一几何意义，往往为“数形结合”解题带来便利. 思考：[k]在什么范围时，直线[l]与双曲线[C]的右支（或左支）有两个交点呢？

求离心率的值

例3 设双曲线[x2a2-y2b2=1（a>b>0）]的半焦距为[c]，直线[l]过[（a，0），（0，b）]两点，若原点到直线[l]的距离为[34c]，求双曲线的离心率[e].

分析 求圆锥曲线的离心率，一般要根据已知条件（如等量关系、几何图形的特征等）建立关于[a，b，c]的等量关系式，进而转化为关于[e]的方程求解.

解 ∵直线[l]过[（a，0），（0，b）]两点，

∴直线[l]的方程为[xa+yb=1]，即[bx+ay-ab=0].

因为原点到直线[l]的距离为[34c]，

所以[aba2+b2=abc=34c].

则[4ab=3c2].

又[b2=c2-a2]，且离心率[e=ca]，

所以[3e4-16e2+16=0]，则[e2=4]，或[e2=43].

因为[a>b>0]，

所以[e=1+b2a2<2]，即[e=233]，或[e=2]（舍）.

点评 有没有注意到条件[a>b>0]，涉及最终答案的取舍，也是能不能准确求解本题的关键.

求离心率的范围

例4 如图，设椭圆[x2a2+y2=1（a>1）].

（1）求直线[y=kx+1]被椭圆截得到的弦长（用[a，k]表示）；

（2）若任意以点[A（0，1）]为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.

分析 求圆锥曲线的离心率的取值范围，就是列出关于[a，b，c，e]的不等关系，再解不等式.

解 （1）设直线[y=kx+1]被椭圆截得的线段为[AP].

由[y=kx+1，x2a2+y2=1]得，[（1+a2k2）x2+2a2kx=0].

故[x1=0]，[x2=-2a2k1+a2k2].

因此[AP=1+k2x1-x2=2a2k1+a2k21+k2].

（2）假设圆与椭圆的公共点有[4]个，由对称性设[y]轴左侧的椭圆上有两个不同的点[P，Q]，它们满足[AP=AQ].

记直线[AP，AQ]的斜率分别为[k1，k2]，且[k1，k2>0， k1≠k2].

由（1）知，[AP=2a2k11+a2k121+k12]，

[AQ=2a2k21+a2k221+k22].

故[2a2k11+a2k12?1+k12=][2a2k21+a2k22?1+k22].

所以[（k12-k22）[1+k12+k22+a2（2-a2）k12k22]=0].

由于[k1，k2>0，且k1≠k2]，

所以[1+k12+k22+a2（2-a2）k12k22=0].

因此，[（1k12+1）（1k22+1）=1+a2（a2-2）].

因为[（1k12+1）（1k22+1）>1]，所以关于[k1，k2]的方程有解的充要条件是[1+a2（a2-2）>1].

则[a>2].

因此，任意以点[A（0，1）]为圆心的圆与椭圆至多有[3]个公共点的充要条件为[1

则[e=ca=a2-1a=1-1a2∈（0，22]].

点评 一般地，建立关于[a，b，c]的不等式的依据主要有：题设指定条件、圆锥曲线的定义、圆锥曲线的方程（如参数方程）、圆锥曲线的性质（如范围）、二次方程的判别式、不等式等.

与离心率有关的定值

例5 如图，已知双曲线[C：x2a2-y2=1（a>0）]的右焦点[F]，点[A，B]分别在曲线[C]的两条渐近线上，[AF⊥x]轴，[AB⊥OB，BF//OA]（[O]为坐标原点）.

（1）求双曲线[C]的方程；

（2）过曲线[C]上一点[P（x0，y0）（y0≠0）]的直线[l：x0xa2-y0y=1]与直线[AF]相交于点[M]，与直线[x=32]相交于点[N]，证明：点[P]在曲线[C]上移动时，[MFNF]恒为定值，并求此定值.

分析 本题第（2）问中，[P（x0，y0）（y0≠0）]的位置不影響[MFNF]的值，宜采用直接证明法，即先求出[M，N]的坐标，用距离公式代入检验即可. 值得提醒的是：直线[l：x0xa2-y0y=1]为双曲线过点[P]的切线，而直线[x=32]为双曲线的一条“准线”.

解 （1）设[F（c，0）]，因为[b=1]，所以[c=a2+1].

直线[OB]方程为[y=-1ax]，直线[BF]的方程为[y=1a（x-c）]，解得，[B（c2，-c2a）].

又直线[OA]的方程为[y=1ax]，则[A（c，ca）]，[kAB=3a].

又因为[AB⊥OB]，所以[3a（-1a）=-1]，解得，[a2=3].

故双曲线[C]的方程为[x23-y2=1].

（2）由（1）知，[a=3].

则直线[l]的方程为[x0x3-y0y=1]，即[y=x0x-33y0].

因为直线[AF]的方程为[x=2]，

所以直线[l]与[AF]的交点[M（2，2x0-33y0）]，

直线[l]与直线[x=32]的交点为[N（32，32x0-33y0）].

则[MF2NF2=4（2x0-3）29[y02+（x0-2）2]].

因为[P（x0，y0）（y0≠0）]是[C]上一点，则[x023-y02=1].

代入上式得，[MF2NF2=4（2x0-3）29[y02+（x0-2）2]=43].

故所求定值为[MFNF=233=e].

点评 与圆锥曲线的离心率有关的定值问题有很多，教材中有经典例题，那就是圆锥曲线的“统一定义”.依据统一定义可得：椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上任意一点到右焦点[F1（c，0）]（或左焦点[F2（-c，0）]）的距离与到右准线[x=a2c]（或左准线[x=-a2c]）的距离之比为离心率[e]；双曲线[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上任意一点到右焦点[F1（c，0）]（或左焦点[F2（-c，0）]）的距离与到右准线[x=a2c]（或左准线[x=-a2c]）的距离之比为离心率[e].

圆锥曲线的离心率问题是数学中的一类典型问题，一般涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点，其综合性强且方法灵活. 从上述例题可以看出，解决圆锥曲线的离心率问题，定义是基础、运算是关键、建立关于[a，b，c]间的关系（等或不等）是解题突破口.