根号的历史演变以及对教学的启示

四川师范大学数学与软件科学学院(610068) 王译 张红

根号的历史演变以及对教学的启示

四川师范大学数学与软件科学学院(610068) 王译 张红

数学符号是数学的抽象语言,是用以表示数学概念、数学关系等的符号与记号,更是用来记录数学公式、命题、演算的重要工具.数学符号是无声的音符,表达着严谨的数学概念和缜密的思维,正如我国数学史家梁宗巨先生所说：“一套合适的符号,绝不仅仅是起速记、节省时间的作用.他能精确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系,一个较复杂的公式,如果不用符号而用日常语言来叙述,往往十分冗长而且含混不清.”[1]

如今,通用数学符号已有300多个,常见的也有200多个.在我国,当今大中小学常用的数学符号则多达100余种[2].这些数学符号的创造绝非一蹴而就,而都是经历了漫长而又曲折的历史.根号是中学时期,乃至往后的整个数学学习阶段都十分重要的数学符号.但在教学实践中,大部分人则将目光主要聚焦在根式教学、性质、概念、计算等方面,而对此符号历史演变的专门研究却少之又少.笔者认为,既然根号之于中学生来说异常重要,而每一个数学符号也是数学家们经过几百年甚至上千年的“锻造”,才拥有如今通用的模样,那么关于根号的源起、发展是怎样的呢？历代数学家各自又是用怎样的符号表示的呢？这似乎并没有非常清晰的答案.因此,笔者在查阅史料的基础上,试图对这些问题作出回答,并得到数学史研究对根号教学的相关启示.

一、根号的演变历史

在数学的发展史上,根号出现得非常早.古埃及卡洪的两部纸草书上,都曾有方根的身影,他们用符号“”来表示.而在7世纪的印度,数学家婆罗摩笈多用“C”来表示平方根,“C”则为carani(平方根)的第一个字母.但到了中世纪,印度人又用“kapaha”一词中的“ka”来表示,但不表示负根.阿拉伯也曾用来表示虽然,根号的样貌层出不穷,数学家们所用的符号也是千变万化,但是最具代表性且影响较为深远的当属、l、√这三种符号.

(一)、用表示方根的历史

1142年,从阿拉伯语翻译成拉丁语的《几何原本》中,在其第十卷的注释里,采用了拉丁语“radix”表示平方根.1202年,意大利著名数学家斐波拉契(Fibonacci),又称“比萨的莱昂纳多 (Leonardo of Pisa)”,编著《算盘书》、《实用几何》等书,对印度-阿拉伯符号进行了详尽叙述,推动这些数字引入欧洲[3].在书中,他选取radix的首字母加一点的形式,组成符号“”,用来表示未知量x的一次方,同时表示平方根.这个符号后来就成为了方根的符号,以其原型,或是稍作变化的形式,被流传了好几个世纪.

15世纪的时候,意大利数学家帕乔利(Luca Pacioli),遵循斐波拉契的表示符号,采用了的两种意义；1489年,维德曼(Johann Widman)则在使用作为方根符号的同时,也使用省略词“ra”；1484年,法国数学家邱凯(Nicolas Chuquet)在其《算术三篇》的手稿中采用作为开方符号,他写道：“R2翰尼斯·朔伊贝尔(Johannes Scheubel)则使用了维德曼的缩略词符号ra,他用“ra.cu.”表示立方根,“ra.ra.”表示四次方根.同时,他还自创使用“radix quantitatis”的缩略词“radix se.”作为立方根的符号,但是却没能再进一步使用.1562年,佩雷斯·莫亚(J.Perez de Moya)在其著作《Arimetica practica yspeculativa》中还使用字母“r”来表示平方根,“rrr”表示立方根,“rr”表示四次方根.

(二)、用l表示方根的历史

公元2世纪,罗马学者尼普萨斯(Junius Nipsus)曾引进拉丁语“latus(正方形的边)”来作为平方根的符号.乌尔提亚努斯·卡佩拉(Martianus Capella)、格伯特(Gerbert)以及蒂沃利的柏拉图(Plato of Tivoli)都在自己的著作中采用了这个符号.而皮特·拉姆斯(Peter Ramus)似乎与斐波拉契有着同样的思考方法,他使用了latus的首字母“l”作为开根号的符号,因而他这样写道：“l 27 ad 12”gives“l 75”“ll 32 de ll 162”gives“ll 2”(今在由拉扎勒斯·朔纳(Lazarus Schoner)编辑的拉姆斯关于代数与算术的书籍中,他将拉姆斯方根的符号稍作改进,把写作“lc 4”,并且还用“l bq 5”取代了拉姆斯“ll 5”的表示方法.其实,用l表示平方根依然有着如同R那样的双重含义,但是朔纳则规定以l与数字位置的不同,来区分l所代表的意义,比如：5l则表示5x,而 l5就为

法国代数学家弗兰西斯·韦达(Francis Vieta)也曾是拉姆斯根式符号“l”的坚决拥护者,虽然之后由于种种原因,他很不情愿的使用了R或者√作为方根的符号.后来,由于l作为根式符号并没有太广泛地流行开来,而且随着对数的产生,l被拿去用作对数的符号.

(三)、用√表示方根的历史

著名数学家欧拉曾认为,根号“√”应该来源于“radix”的首字母小写形式“r”.但是从德国的代数手稿中我们却发现,那时人们似乎接受了一个看似很难站得住脚的观点：√是由点“·”演变而来的.在一部于1480年完成的拉丁文手稿中,曾用点来表示开方：“·”表示开平方；“·”表示开四次方；“···”表示开立方；“···”表示开九次方.很显然,采用这种符号并不是一个令人愉快的选择.于1524年之前完成的哥根廷手稿中,人们还惊奇地发现,当时数学家们也曾采用类似于蝌蚪的符号“”来作为方根符号.一部分学者认为,这一蝌蚪一样的符号,或许就是“·”由于书写时的笔迹问题多带了一个小尾巴,而在后来的手稿中演变成了“”.那么“√”是否是从“·”演化而来的呢？虽然一些学者乃至数学家都很喜欢这一观点,但是我们现在所拥有的证据却不能使我们对此下结论.

1525年,波兰-奥地利数学家鲁多尔夫(Christon Rudolff)在他题为《未知数》的一本欧洲流行代数书中,创作符号“√”表示平方根,小点后的尾巴已变成一段直线.同时他还引入了立方根符号“”,四次方根符号“”,其中后者被解释为两个平方根号的组合,即：√√[4].由于,鲁多尔夫的符号相比之下有着巨大的优越性,因而于16、17世纪很快地在德国、法国、意大利、英国以及西班牙等地流传开来.但是,我们不得不承认,这一符号其实也存在着明显的缺陷,如果被开方的是一个多项式或多重根式,那么符号的意义便不好区分,因而继续改进符号就显得十分必要.

1637年,笛卡尔(Descartes)将“√”与扩线“—”结合起来,便形成如今所使用的根式符号卡约黎(Floria Cajori)认为,笛卡尔曾学习过艾伯特·吉拉德(Albert Girard)的笔记[5].因为,吉拉德曾用√3).20+√239来表示现在的而笛卡尔于1640年9月30日写给梅森(Mersenne)的一封信中,就出现了√3)、√4)、√7)等的多次方根.也许他就是受到了其中半括号的影响,而将√与”结合在一起,因为在那时,括号便是一种运算顺序.至此,简单优美的已在笛卡尔的妙笔下诞生,但这一创造性的工作并没有迅速地传播开来,致使后来的部分数学家继续创造了一些符号.例如：1647年的奥特雷德(Oughtred),用表示平方根,约翰·沃利斯(John Wallis)用表示现在的然而,也正是由于科学家们的不断尝试,才对比出作为开方符号的优越性,也只有通过比较筛选,才可以留下最好,最合适的.之后,随着立方根符号,多次方根符号的相继问世,通用的根式形式日臻完善,渐渐地在世界上流传开来,通用至今.

二、根号在中国

是一个地地道道的舶来品,它由清代数学家李善兰翻译外国著作时引进.美国传教士狄考文翻译出版的《代数备旨》中也使用了作为开方符号.虽然没有根式符号的演变历史,但我国对根式的认知以及运算却早在刘徽之前已经存在.《九章算术》开方术中有言：“若当之不开尽者,为不可开,当以面命之.”便是说以“面”来命名一个开方不尽数,而“面”=

历史上,中国数学家们虽早已掌握了方根的知识,但是却未能创造出合适的符号去替代汉字表达方根.也正是由于中国古代多采用汉字达意,使之我们的一些数学知识不能在世界上广为流传.而这种现象,多与中西方文化息息相关.西方语言多是音节,大多符号可采用首字母或单词缩写的形式通过变形等手段来发明创造,使之符号简单好写,所蕴含的意义也一看便知.而汉字却不一样,本就是世界上最难的文字之一,即使能够学习西方那种“造”符号的办法,也未必能广泛流传开来.因此,数学符号之于数学传播的重要性显而易见,没有数学符号,便没有如今数学的发展.

三、教学启示

北师大版教科书中,根号是八年级上册第二章实数部分第二小节所学内容.在书中,它这样描诉：一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记作读作“根号a”.直截了当地给出了算术平方根的定义以及这一新鲜符号.同时,笔者发现,无论是此节还是下一小节立方根的学习中,教材里都未曾涉及到的相关数学史知识,只是通过一则定义,一些习题,让同学们接受这一符号.

根号是中学数学中学习到的最重要的数学符号之一,它的出现,不仅为学生定义了一类新的数,同时也定义了一类新的运算.曾做过一个有趣的调查,当问及学生们首次遇见觉得它像什么的时候,大多数人便将其想象成一个钩、汉字“厂”、一张滑梯等等.当然,这样的回答无可厚非,正是因为同学们对根号的认识并不深刻,也只得从表面上去观察它,记住它.德国数学家F·克莱因(F.Klein)曾说过：“符号常常比发明它们的数学家更难推理.”如若将一个数学符号就这样硬生生的摆在学生的面前,要求他们读、写,势必会使其“只能会形,不能会意”.随着年级的增加,所学的符号越来越多,形式也越来越复杂,若不能有趣的学习并记住各种数学符号,学生对数学的厌烦、抵触心理便会越来越严重.因此,笔者认为,教科书中应适当增加一些关于根号的演变史,教师也应重视数学符号的教学,在提高课程趣味性和人文性的同时,也可帮助学生更好地理解数学符号,拓宽视野.

[1]梁宗巨,世界数学史简编[M],沈阳: 辽宁教育出版社,1981: 134.

[2]徐品方,张红,数学符号史[M],北京: 科学出版社,2007: 358,218.

[3][美]霍华德·伊夫斯著,欧阳绛译,数学史概论[M],哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2009: 255.

[4]梁宗巨,王青建,孙红安,世界数学通史(下册·一)[M],沈阳: 辽宁教育出版社,2001: 444.

[5]Floria Cajori,A History of Mathematical Notation(Vol.1)[M],La Salle: The Open Court Publishing Company,1951: 360-379.

[6]郭书春,九章算术译注[M],上海：上海古籍出版社,2013: 133,137

[7]李继闵,刘徽关于无理数的论述[J],西北大学学报,1989,1(19).

[8]李文林,数学史概论[M],北京: 高等教育出版社,2011: 92.