我国商品期货价格收益率及波动率长记忆性研究

刘军岭　屈军

内容提要：本文从非参数和半参数角度采用八种估计方法对我国沪铜、沪金、橡胶和连豆为代表的主要期货价格收益率和波动率的长记忆性进行实证对比检验，结果发现，从整体上看期货价格收益率长记忆性特征不明显，而波动率存在显著长记忆性结构，这说明不可预测信息对我国期货市场波动性具有长远影响。结论对我国期货市场效率度量、投资决策和风险管理具有指导和启示意义。

关键词：商品期货；波动率；长记忆性

中图分类号：F75266文献标识码：A文章编号：1001-148X（2017）01-0057-12

对长记忆性（Long Memory）研究最初源自于物理科学领域，最著名的案例始于Hurst（1951）对尼罗河最小水流量的分析以筹备阿斯旺大坝，发现标准预测方法在分析此类数据是失效的。实际中，诸多经济时间序列变量与水利、气象学等变量有着密切的关联性，例如农产品价格受气候因素影响较大。因此，从一定程度上可以推论出价格变量也会体现出长记忆性特征。

在传统时间序列模型中，ARMA能较好的刻画变量之间的自相关性，但其表现的是以几何级数迅速衰减的过程。在理论建模中，常假設价格服从白噪声过程，序列观测值之间不相关。而长记忆模型代表了缓慢衰减过程并具有一定的可持续性，位于ARMA模型和白噪声过程的中间地带更符合数据序列的表现特征，从而能揭示出更多的数据所隐藏的经济信息。1970年前后，国外学者开始将长记忆模型引入经济和金融领域，开始了对金融时间序列的非线性研究。Granger（1966）广泛讨论了长期依存性在经济学领域的应用，并逐渐扩大至股票市场、外汇市场、期货市场等。Mandelbrot（1972）首次将R/S分析法应用于美国股票价格，以此揭示股票市场的局部随机性和整体确定性。Myron和Bruce（1977）使用R/S方法研究了200只股票价格收益率数据并证实了绝大部分价格变量具有长期依存度的特征。Cheng和Lai（1995）发现发达国家的股票市场长记忆性不显著。Panas（2001）发现欠发达的股票市场（如希腊、埃及）存在长记忆性特征。Huang等（2015）研究了股票价格与期权定价模型中隐含的股票价格之间的长记忆性特征和分形协整，发现股票和期权市场的绝对价格运动存在长记忆性且呈现分形协整关系。

对期货市场研究代表性的成果，如Helms等（1984）研究发现期货价格收益率序列具有长记忆性特征，并认为商品期货价格变化的长记忆性比简单统计相关性更能提高价格的预测能力，历史价格信息对市场真实运动能产生影响；Nuno和Bonnie（2000）使用修正R/S方法、非参数谱检验和谱回归法估计期货收益率和波动率的长记忆参数，结果发现期货价格收益率不存在长记忆性行为，而波动率存在显著长记忆性结构；Jose等（2008）利用DFA方法对国际原油现货价格进行了检验，发现短期（一个月内）原油价格具有显著长记忆性，而长期（一个月以上）长记忆特征不显著。

国内学术界对长记忆性研究起步相对较晚但发展迅速，主要侧重于研究股票市场、汇率市场、宏观经济变量等。期货市场领域研究成果主要有：华仁海和陈百助（2004）采用了修正的R/S分析和GPH模型，实证研究了我国期货市场铜、铝等五种期货价格的收益率及波动方差的长记忆性特征，发现不同的期货品种在两者之间存在较大差异。金成晓和王继莹（2014）运用ADF-KPSS联合检验法、自相关系数法、R/S检验法实证检验了沪深300股指期货的收益率及波动率序列的长记忆性特征，发现价格收益率序列长记忆性特征不显著，而波动率序列则具有显著长记忆性。郑丰等（2013）采用了经典的R/S方法实证结果发现不同频率情形下（日收益率、周收益率）沪铜期货市场价格收益率序列存在长记忆特征。

对序列数据的长记忆性特征研究是一个复杂的过程，国外学术界对长记忆性研究范围越来越广泛，同时估计方法得到了逐渐丰富。国内研究成果大多采用比较传统的R/S检验和GPH估计法，由于研究方法、样本选择不同导致研究结论存在诸多分歧。因此，从不同的角度探究数据的长记忆性特征并进行横向比较显得尤为重要。我们采用不同原理的估计方法进行检验，力求最大程度减少方法本身缺陷所带来的检验偏误，以提高结论的稳健性；对期货市场长记忆性特征的研究主要侧重于全样本的估计，基于时变的视角更有利于深层次把握期货价格行为的微观结构特征。

一、长记忆性界定与经济涵义

（一）长记忆性界定

时间序列在t时刻和t-k时刻取值的关系可以通过跨时自相关系数进行度量。如果时间序列具有平稳性特征，那么变量的两个观测值之间的相关性程度仅仅取决于滞后阶数k。随着滞后阶数k的逐渐增加，观测之间的自相关系数将逐步衰减至零，即以往观测值所含的经济信息对当前影响减少。其中，对衰减速度的测度即反映了随机过程的记忆性（Memory）结构。

如果变量的所有观察值独立不相关，也就是通常所见的白噪声过程（White Noise），该随机过程则无记忆性（No Memory）。如经典的“有效市场假说”认为资产价格具有无记忆性，有效市场条件下，过去价格信息对未来价格预测并无影响。如果时间序列之间的自相关系数按照几何速率衰减，则认为时间序列具有短记忆性（Short Memory），如ARMA过程；如果自相关系数渐近服从双曲线速度缓慢衰减，则认为序列具有长记忆性（Long Memory或Long Range Dependent）。从定义上可以看出，长记忆性位于无记忆和短记忆两类极端情形下的中间地带，从而很好挖掘了经济数据在速率衰减过渡地带的重要信息。如Baillie（1996）指出，对时间序列进行纯粹的平稳性和非平稳性划分，很大程度上会造成重要信息的遗漏，使得研究结论具有片面性。

对长记忆性特征进行定量描述，学术界从不同角度进行定义。一种方法为，假设给定离散时间序列平稳过程Xt，ρ（k）=〈Xt，Xt+k〉表示滞后k阶的平稳过程Xt的自相关协方差函数，如果满足如下条件：

H称之为Hurst参数，当120，满足如下条件则称之为长记忆平稳过程：

从定性角度描述典型的长记忆时间序列过程具有如下性质：（1）序列轨迹含有局部性的趋势和周期性；（2）具有均值平稳特征，因此并不能观测到序列整体的趋势或周期性；（3）具有均值回复特征；（4）表现出可持续性行为。

当0

（二）长记忆性经济涵义

长记忆性经济涵义主要包括市场有效性度量、投资预测和风险管理等三个方面。长记忆性是基于非线性动力学的分形市场假说（Fractal Market Hypothesis，FMH）重要组成部分，主要针对传统有效市场假说（Efficient Market Hypothesis，EMH）提出了质疑。有效市场理论认为：在竞争性市场中，资产价格已经反映了所有可能的相关信息，历史价格信息对未来价格预测无效。新信息的到来常能被迅速套利。特别是在无风险规避、零利率和存在套利情形下，价格服从鞅随机过程（Martingale Random Process）（Fama，1970）。

分形市场假说则认为，有效市场理论的假设条件不符合金融市场的实际情况。该假说建立在市场参与者完全理性、同质性、价格连续变化等基础之上，而在现实金融市场常表现出复杂的非线性特征。为此，Peters（1991，1994）首次提出了分形市场假说，分形的概念最早由Benoit Mandelbort（1960，1968）提出，用以描述那种不规则的、破碎的、琐屑的几何特征。简单而言，所谓分形，是指从整体上看，几何图形是处处不规则的，但在不同尺度上图形的规则性又是相同的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是“自相似”的。分形市场假说认为资产价格运动也存在“自相似”特征。

分形市场假说强调资本市场信息接收程度和投资时间尺度对投资者行为的影响，并认为所有稳定的市场都存在“分形结构”。总体而言，有效市场假说只是分形市场假说在某些特殊情况下的一个特例。与前者相比，分形市场假说最大的优势之一就是它对市场不作任何统计方面的假设，而是直接对投资行为和价格的变动建立模型，从而使其能更广泛、准确的刻画市场的波动行为。

期货价格收益率反映了价格的变动，如果收益率表现出长期记忆性，那么期货市场过去价格信息将会影响到今天的市场价格。既然价格行为在时间上并不独立，那么资产在较远期的价格行为就有助于投资者预测它未来的运动方向，资产价格收益率持续性可以被市场参与者通过适当的投资策略所利用。对收益波动率的长记忆性考察，反映了期货市场当受到外界冲击时所受影响的持续性，对投资者进行风险管理决策具有指导作用。对于期货市场监管者，对收益率波动的持续性研究有助于对期货价格行为监管提供重要的参考价值。

二、长记忆性参数估计

对长记忆性时间序列进行分析的关键是对分整阶数（Fractional Integrated Order）即长记忆参数的估计。目前对长记忆参数估计常用方法主要包括以经典R/S统计量为代表的非参数法、以GPH估计量为代表的半参数估计法。

（一）非参数估计法

（二）半参数估计法

半参数法利用原点附近的谱密度函数的性质，并不需要精确的设定数据的产生过程，放松了对数据生成过程和模型的先验假设，并且较好的处理时间序列中短期记忆成分改进了非参数估计方法精度低的问题而受到了计量学者们的关注，而在实践中使用最普遍的估计方法包括基于对数周期图回归的GPH估计法、Local Whittle估计法以及基于Local Whittle估计法修正的Exact Whittle估计法。

1.GPH估计法。Gewek等（1983）通过谱回归（Spectrum Regression）或称之为对数周期图回归（Log Periodogram Regression）对d进行了较为简便的估计。如前文相同，L表示滞后算子，Xi表示时间序列，εi服从白噪声过程。

三、实证过程与分析

（一）数据说明与预处理

本文选取了以沪铜、沪金、橡胶和连豆为代表的具有流动性充裕、国际市场影响力高的期货品种为研究对象。由于期货合约采用的是月份制，本文将选取了近月连续合约。时间范围为2010年1月1日至2015年8月7日，共计1 359个观察值，数据来源Wind数据终端。

参照通常的处理方法，本文价格收益率数据为对数形式，即rt=log（Pt）-log（Pt-1），其中Pt表示第t日的收盘价，通常采用收益的平方或绝对值作为波动率的替代指标。如Ding等（1993）建议使用绝对值收益代替价格波动率，同时Davidian和Carroll（1987）证明了对于非对称和非正态分布收益率序列，绝对值收益波动率更为稳健。因此，参照大部分文献处理方式，本文取每日收益率的绝对值作为当日价格波动率。

（二）描述性统计

从表1可以看出，连豆、沪金、沪铜和橡胶的收益率均值接近于0，从偏度来看，除沪铜为左偏外，其他三个品种表现为右偏的特征。从峰度来看，四个品种的收益率和波动率序列的峰度值均大于3。从JB统计量的检验结果来看，在5%显著性水平下，伴随概率均为0，表明期货价格收益率和波动率均不服从标准正态分布，具有“尖峰厚尾”特征。

（三）静态Hurst指数估计

在对全样本的静态Hurst指数估计过程中，对GPH估计法选择带宽m=T05，显著性水平为5%。Exact Whittle估计法中傅里叶频率（Number of Fourier frequencies）选择m=T06取整。从表2可以看出，相同期货品种在不同的估计方法下表现较大差异性。从整体上可以看出，我国期货市场主要合约价格收益率的长记忆性并不显著，绝大部分数值处于05以下，说明期货市场基本上达到了弱式有效阶段。而价格波动率在不同的估计方法下均显示出存在不同的长记忆性结构，但品种之间表现出不同程度差异性。如以R/S检验为例，连豆期货市场效率最高，价格基本上符合白噪声过程，即过去的价格信息对未来预测基本上没有影响，而沪金、沪铜和橡胶收益率表现出不同程度的长记忆性，但从总体上来看，期货价格波动率比收益率表现出更强的长记忆性特征。

（四）时变Hurst指数估计

由于篇幅限制，本文仅报告了以连豆期货价格为主要研究对象，分别考察了价格收益率和波动率的时变Hurst指数在相同估计方法下的横向对比。选取了100天为滚动窗口期，即首先计算第1天至100天的Hurst指数，然后向前滚动1天计算第2天至101天的Hurst指数，持续到样本期末。为更方便对Hurst指数进行趋势性分析和比较，本文采用了窗口为20天的平滑处理。结果参见图1至图8及表3。对沪铜、沪金和橡胶价格收益率和波动率的Hurst指数变动的相关信息，有需要的读者可向作者索取（图中横线表示Hurst指数等于05）。

与静态全样本Hurst指数相比，时变Hurst指数能更形象和全面展示时间序列数据的长记忆性特征，长记忆性参数在不同的时间段表现出平稳长记忆性、反持续性等。期货市场并不是总处于Hurst等于05位置，即价格服从白噪声过程，过去的市场价格信息对现在、未来没有影响，而是表现为围绕05附近波动。从图1至图8横向对比可看出，连豆收益率时变Hurst指数大部分位于05横线的下方，说明连豆收益率大部分情形下存在负反馈效应，价格变化具有反持续性和均值回复性。而刻画的连豆价格波动率时变Hurst指数轨迹大部分位于05之上，说明连豆价格波动率大部分情形下存在正反馈耗散效应，波动率之间存在正相关且变化具有持久性、趋势增强性，即表现为波动率集聚现象。波动率集聚为期货价格预测提高了有效指导，即信息对价格冲击具有持续性的影响力，通过此特征可构建趋势性投资策略等。同时，由于存在波动率集聚现象，探索具有长记忆性特征的风险管理度量方法成为必然。从表3对时变Hurst指数的统计性描述来看，不同估计方法下收益率Hurst指数均值均低于波动率，结论与静态Hurst指数估计结果相同。

从连豆价格收益率和波动率的时变Hurst指数演变轨迹看出，评价期货市场效率不仅需要从整体上把握，同时需要从动态平衡的视角看待。期货市场既不是一直完全有效的，或是处于完全无效的状况，而是处于两者之间的动态变化过程中。市场有效性在不同程度效率中进行动态相互转换，而效率转换的最根本的来自于市场套利机制。市场套利因素是实现市场效率向完全有效均衡方向发展的根本推动力。当市场无效时，市场套利资金通过赚取无风险利润驱使市场向有效均衡位置靠拢。同时，期货市场作为一个耗散性系统，时刻受到来自系统内外市场信息的冲击，使得价格均衡系统受到偏离，同时又为套利資金创造了利润空间。如果从整体上衡量期货市场的有效性程度，那么相对于低效率市场，高效率市场当受到系统外界冲击时，能更为较快的速度向效率均衡位置靠拢。因此，市场功能的有效发挥从不平衡到平衡是动态调整过程，套利是动态调整过程中的核心。为此，提高期货市场效率需要从完善套利机制角度作为重要突破口，如产业链相关品种结构完善、套利指令设计以及套利相关指令的手续费优惠等措施。

另外，为检验连豆收益率和波动率序列时变Hurst指数分布在不同估计法情形下是否具有显著性区别，我们使用了两样本Kolmogorov-Smirnov检验法进行了假设检验，在5%的显著性水平下均强烈拒绝了两样本有相同分布的假设，说明收益率和波动率的分布具有显著差异性。

为稳健起见，我们对沪金、沪铜和橡胶期货的时变Hurst指数进行了估计，可以看出各期货品种价格收益率和波动率的时变Hurst指数分布具有显著差异性，且收益率均值大多低于波动率Hurst指数，在不同时期内呈现不同的分布特征，说明波动率序列比收益率序列更具有长记忆性，结论与连豆相似。

四、结论与启示

本文从非参数和半参数估计方法角度，对我国沪铜、沪金、橡胶和连豆为代表的主要期货合约价格的收益率和波动率进行了实证检验。与现有的研究文献不同的是，我们不仅使用了代表性的八种统计方法对研究对象进行了长记忆性参数估计结果的横向比较，而且从全样本静态和时变等两个维度对长记忆性特征进行全面刻画。研究发现：从整体上看我国主要期货品种的收益率长记忆性特征不明显，而波动率存在统计意义上的显著性。说明我国期货市场的运行效率基本达到弱式有效的阶段，但不同品种的期货价格收益率和波动率的微观结构存在差异性，即不同期货合约对市场信息接收程度存在差异性。另外，研究获得几点启示：首先，从研究方法来看，不同研究方法所依据的角度不同使得估计结果具有较大差异性，并没有说明具体哪一种方法占优，在投资实践中利用时变Hurst指数构成开平仓策略时需要注意不同估计方法所对数据的敏感性。其次，对期货市场价格发现效率的评价，不仅需要从整体上把握我国期货市场的运行效率，更需要从动态平衡视角出发。期货市场并不是一直处于高效率阶段，外部市场信息的冲击常会导致市场系统的非效率。从统计意义上说，市场在非效率和高效率之间来回震荡，其震荡的路径和时间的长短则反映了市场的成熟度。高效率的市场能及时对非效率的价格时刻进行修正。在价格修正过程中，套利资金的逐利性会促使市场系统向均衡方向发展，而完善的市场制度安排是实现系统向均衡方向逼近的前提条件。因此，套利是实现期货市场价格发现效率的核心，为套利机制的实现提供制度上的便利是提高期货市场有效性的重要突破口，是我国期货市场建设和完善的着力点。最后，我们主要从单分形的角度对期货价格收益率和波动率进行了检验，未考虑时间序列在不同时间标度下的统计特征以研究局部和整体特征的异同。因此，利用多重分形除趋势波动分析法（MF-DFA）、配分函数法等多重分形理论考察将是本文未来研究方向。

注释：

①也可以称：长期相关性（Long-range dependence）、缓慢衰减的平稳过程（Stationary process with slowly decaying）、长期相关性的平稳过程（Stationary process with long-range correlations）。

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Abstract：From the semi-parametric and nonparametric perspective， the paper empirically examines the long memory of commodity futures price yields and volatility， such as copper， gold， rubber and soybean by use of eight estimation methods. The research finds that： the long memory of futures price yields is not obvious as a whole， while there is significant long memory structure of futures price volatility，showing that unpredictable information has a long-term impact on the volatility of the futures market. The conclusions have important guiding and enlightment significance for efficiency measures of futures market， investment and risk management.

Key words：commodity futures； volatility；Long Memory

（責任编辑：李江）