优化建筑过程 发展运算能力——《分数与整数相乘》同课异构教学带来的思考

李　燕

运算能力是小学生数学学科素养的重要部分，《数学课程标准》指出：运算能力主要指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解算理，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题。从蔡婷婷和钱俊两位教师《分数与整数相乘》一课的同课异构教学中，我们能够感受到他们都聚焦了运算能力培养，有效地发展了学生的运算能力，但在优化算理和法则的建构过程中各有精妙构思。

一、找准建构起点，激活运算基础

有效的数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。这就要求数学教师要善于准确把握学生的学习起点，让学生在原有的认知水平上展开学习活动，使所有学生都能站在各自的“起跳点”上，运用自己的跳跃方式“跳一跳”，实现知识的有效建构。

在《分数与整数相乘》一课的教学过程中，两位教师都能找准学生新知建构的起点。“分数与整数相乘”这一教学内容是建立在学生对整数乘法意义的认识、同分母分数加法计算法则等基础之上的。纵观两位教师的教学，他们采用不同的导入形式，但究其根本都是让学生激活之前所学的运算基础，并迁移到对本课新知的探究中去。

蔡老师在复习铺垫环节设计了相同整数相加的快速抢答练习，以此来激活学生对整数乘法意义的认知基础，明确求几个相同加数的和可用乘法来计算比较简便。另外，还引导学生复习巩固同分母分数加法的计算法则。在复习铺垫环节找准了分数与整数相乘的已有认知起点，为后续分数与整数相乘意义的认识和算理算法的探究奠定了基础。

钱老师则采用情境引入的方式来激活学生对整数乘法的意义和同分母分数加法运算法则的旧知，通过对数据的精心设计，从题目中让学生体会到分数乘整数的必要性和优越性，从而迁移到本节课所要学习的分数乘法的意义上来。同时，钱老师在情境中所设计到的数据与之后出现的例题存在一定的联系性，也体现了钱老师在设置环节中充分考虑到了整体性。

两位教师采用不同的方式激活学生已有认知基础。学生主动迁移整数乘法的意义，面对求几个相同分数连加的新问题，能列出分数与整数相乘的算式，阐述列式理由。这表明学生已经完成了运算意义的建构。

二、落实建构基点，探寻运算理法

从数学学习心理学的角度来分析，运算能力主要是由问题最初定向、抽象概括能力、压缩简化运算环节能力、算法转换能力、优化算法能力及记忆能力等六个要素构成。曹培英教授从小学数学教学实际出发，整合上述各种运算能力要素，建构起算法、算理、口算、策略四位一体的运算能力模型结构。在这个模型中，基本口算是其他任何计算不可或缺的运算反应，是整个运算能力的有力托底；算法、算理构成了运算能力的左右两翼，在小学数学中两者是相辅相成的，计算法则教学中要实现两者的有机融合，做到循理入法、以理驭法、以法促理；运算策略是指运算信息挖掘、运算问题定向、运算方法选择及运算过程简化，它与其他三要素互相关联，是鉴别运算能力的敏感因素。在蔡老师和钱老师的两堂课中，重点关注了算理和算法探究过程的展开，落实建构基点，引导学生逐步展开探究。

蔡老师细致地引导学生经历探索过程。先是采用几何直观的方式，让学生“用图说话”，直观操作、表述题意，借助已有知识技能直观解决“3朵这样的绸花，一共用绸带几分之几米”这一问题。在此基础上，蔡老师引导学生脱离直观图，对计算过程加以展开，形成同分母分数加法、分母不变分子连加、分母不变分子相乘等多种形式，这实质上是一个推理过程的详细展开。然后教师帮助学生压缩和简化这个思维过程，直接写成分母不变、分子相乘的形式，让学生归纳概括分数与整数相乘的计算法则。

钱老师则采用了比较开放的教学手段，为学生提供了充足的自主尝试、合作研讨的时空，在学生迁移整数乘法意义列出分数乘法算式后，大胆放手让学生自己探究分数与整数相乘的算理和算法。学生借助已有基础大胆尝试，呈现出多种不同计算思路和方法：有的把乘法转化为同分数连加来计算结果；有的借助图形来直观推理计算；有的通过分数的意义来直接思考计算结果；也有的采用分子相乘分母不变的法则进行计算。钱老师适时地引导学生对这些不同的解决方法进行了点评，讨论、理解“分母不变，分子和整数相乘”的算理，通过比较多种方法，让学生选择出适合自己的计算方法。

三、把握建构节点，优化运算方法

如上文所说，运算策略是指运算信息挖掘、运算问题定向、运算方法选择及运算过程简化，它与其他三要素互相关联，是鉴别运算能力的敏感因素。因此，高水平的运算能力还体现在学生根据算式特点灵活运用巧妙策略，使计算方法进一步优化和完善上。分数与整数相乘的初步计算方法是需要得到进一步优化和完善的。这是本课教学的一个难点所在。因为学生受到分数加减法计算习惯的影响，习惯于在算出结果后再进行约分，而分数乘法需要在计算前先行约分后再计算，这样比较简便。

蔡老师在处理这一难点时，先是让学生解决变式问题，让学生在巩固初步算法的同时过渡到先约分后计算的优化算法。针对学生囿于先计算后约分的课堂现实，教师采用讲授、示范的方法，直接板演“先约分，再计算”的计算过程，让学生了解此方法更为简便，体会分数乘整数计算结果要为最简分数。

钱老师大胆充实了教材内容，在教学例题1时，当学生呈现了先计算后约分的方法后，教师并没有直接告诉学生优化的方法，而是紧跟着让学生练习一组题目，其中包括计算结果约分时数据较大、比较麻烦的，如引导学生先主动思考“怎样算可以更简便一些”，由于学生已经得出最简分数结果，受此结果启发，学生自发地想到了可以先约分后计算。这样的教学给学生独立探索尝试的机会，能够更好地培养学生灵活选择运算策略的能力。

四、夯实建构力点，提升运算技能

设计富有层次性的多样化巩固练习是形成运算技能的重要途径。两位教师在对学生运算能力和思维培养的深度、广度、宽度上都有着自己一定的思索，他们在巩固练习的设计上也充分考虑到基础性和发展性相呼应，层次性和逻辑性相联系，夯实了建构力点，较好地巩固和发展了学生的运算技能。

蔡老师首先安排画图填空练习，旨在巩固分数乘法的意义和算理；接着安排了一组计算练习，进一步强化和熟练运用运算法则，尤其是针对先约分后计算这一学习难点，再次引导学生辨析练习中出现的问题，重点体会这一算法的优越性；最后让学生运用所学新知解决生活中的实际问题。这些练习具有一定的基础性和层次性。

钱老师在教材原有练习题的基础上进行了调整和补充。他把画图计算练习放在了例1新授后作为即时巩固练习，帮助学生及时巩固运算意义和算理，在交流时选择横着涂和竖着涂两种不同的涂法，让学生进行比较，更有利于培养学生考虑问题思维的多角度、多方位。钱老师还设计了一组辨析题，让学生进一步明确算理，再一次强化基本算法，在分析中培养学生逻辑能力。

两位教师最后还都设计了一道拓展性练习题，启发学生灵活运用计算法则，把分子和整数交换位置，实现法则的交互变通性，有效培养了学生运算思维的灵活性，深刻地内化了运算法则。