锦上添花 感受数学之美

徐斌

摘 要：复习不仅是对所学知识的整理与回顾，而且要在此过程中达到知识的结构化。只有结构化的知识才能使学生有能力去解决问题，形成数学的素养。更重要的是，在对数学知识进行结构化的过程中，要培养学生的数学思维能力，发现数学的内在统一，感悟数学的美，这种数学学习过程中的美好体验，对于形成数学素养，激发学生的数学学习动机起着积极的作用。

关键词：面积；复习；数学美；体验

下面是《平面图形面积的总复习》一课的一个教学片断，教师在复习了平面图形的面积计算公式和推导过程之后，又组织学生对公式进行比较，找联系，对知识进行梳理。

师：你能根据公式之间的联系，把这些知识整理成知识网络吗？把你的想法说给同伴听，然后合作画出简图，并用箭头连接，表示出各种图形的联系。

小组合作完成，交流。

师：在小学阶段，我们首先学习的是长方形的面积计算公式，这是为什么呢？

生：长方形面积计算公式是基础，因为其他的公式都是根据长方形的面积计算公式推导出来的。

师：这些推导过程有什么相同的地方？

生：都是用了转化的方法。我们在探讨一种新图形的面积公式时，都是把它转化成已经学过的图形。

师：转化是一种重要的数学思想方法，我们在学习数学时很多地方都用得到它。

一、教学思考

1. 仅从推导过程中将面积计算公式联系起来够吗？

在上述教学片断中，学生根据计算公式之间的联系，自主整理，将公式的推导过程有机联系起来，使平时所学的零碎知识结成网，连成片。同时，在复习整理的过程中，注重引导学生进行比较、反思，有机地结合所复习内容的特点，渗透转化的数学思想。但笔者觉得这样教学不够完美。既然要将所学知识连成片，我们不能仅仅从计算公式的推导过程中将公式联系起来，从一些外在的形式上找知识之间的联系，还应该让学生深入公式的内部，探索公式之间的联系，促进学生的深度思维。

2. 如何让学生体验数学的内在统一美？

还有很重要的一点，复习的目标，不能仅限于知识的梳理，我们是否可以让学生在数学思想方法、数学活动经验、数学情感等方面有一个全面的提升？让学生在数学知识的“量”达到一定标准的基础上，在“质”上有飞跃，并在数学情感方面有所升华，这才是复习应有的教学目标。当学生将零碎的数学知识整理成一个知识系统后，学生通过思考、交流，引导发现图形之间的特殊与一般的关系，计算公式中的特殊与一般的关系，图形的外在特征与内部量的属性统一协调的关系。当学生自己发现这些公式间存在着密切的联系，并形成一个具有统一美的严谨系统时，那种对数学内在高度统一的认识与惊叹会油然而生。

基于以上思考，笔者对本课的复习进行了再实践。

师：长方形的面积为什么是用长乘以宽？

生：长表示每排可放多少个小正方形，宽表示一共有几排。求一共多少个，就是长乘以宽。

师：计算长方形的面积，实际上我们是用直接摆面积单位的方法求得的。

【设计意图】计算面积，实际上是计算图形中所含面积单位的个数。如何让学生认识到这一点？复习长方形面积的推导过程，回到最原始的方法，更利于学生从根源上认识其本质。

师：我们首先学习的是长方形的面积，这是为什么呢？有什么想法先在小组里交流一下。

生：长方形的面积计算公式是基础，其他图形的面积计算公式是以长方形为基础推出来的。

师：可不可以先学平行四边形的面积，再在此基础上推导其他图形的面积计算公式？

生：不行。平行四边形的角不是直角，摆正方形不好摆。

师：与其他的四边形相比，长方形比较特殊，四个角都是直角，里面摆小正方形有优势。

师：在研究了长方形的面积之后，我们研究其他的平面图形的面积，还需要摆小正方形吗？为什么？

生：不需要，因为都没有直接计算，都是转化为其他图形计算的。

师：都是间接计算的。在小组里说一说其他图形的面积的推导过程。

小组交流。

【设计意图】计算长方形的面积是直接测量的，其他图形的面积则可看作是经过转化后的再测量，属于间接测量。两者相比较，突出了求面积的实质是求面积单位的多少，同时也突出了转化的思想方法。

师：从这些公式的推导过程中，我们可以发现它们之间不是孤立的，而是有内在联系的。你能根据公式之间的联系，画一幅图让人一眼就看出6个平面图形面积计算公式推导方法之间的联系吗？

小组合作摆“网络图”，学生汇报并说明：为什么这样摆？怎样摆更合理些？

师出示教材中的网络图（如图1）：

图1

引导学生观察：想一想，为什么这样摆？你能看出这些箭头表示的意义吗？

生：从左往右，根据长方形的面积公式可以推导出其他图形的面积公式。长方形的面积计算是基础，正方形看成是特殊的长方形；由长方形的面积公式可以推导出平行四边形、圆的面积公式；由平行四边形的面积公式又可以推导出三角形和梯形的面积公式。

师：从右往左看，我们在探讨一种新的图形面积计算时，都是把它转化成已经学过的图形。所以我们要注重新旧知识之间的联系，并把新知转化成旧知。

【设计意图】新课标倡导自主探索的数学学习方式。数学知识的复习过程要让学生对知识进行自主梳理，尊重学生的个体差异，发挥学生的创造能力。自主整理不是放羊，让教师丧失其主导地位，而是教师要善于引导学生从不同的角度思考问题，从不同的角度找到统一点，构建不同的、属于学生自己的知识网络图。

师：从图形的外观上比一比，想一想：与三角形、梯形相比，计算长方形、正方形、平行四边形、圆形的面积时，为何不除以2？

生：因为没用两个完全一样的图形来拼。

生：长方形、正方形、平行四边形的上、下都一样大，圆的四周也一样，而三角形和梯形不是这样的。

师：在推导三角形、梯形的面积公式时都是转化为长方形的。当延长梯形的上底与下底相等时——

生：就成了平行四边形。

师：当梯形的上底缩短为一个点时——

生：就成为三角形。

师：梯形可以变化为这两种图形，那它的面积计算公式适用于计算这两种图形的面积吗？

生：可以。变化为三角形时，上底为0，所以还是底乘高的积除以2；变化为平行四边形时，上、下底相等，底乘2乘高再除以2，还是底乘高。

生：我发现用梯形的面积计算公式还可以计算长方形的面积……

生：我还发现圆的面积也可以用梯形的面积计算公式计算……

……

【设计意图】从图形的外观特征上找出面积计算公式之间的异同，目的是使学生认识到每个图形的外表与内在的统一；以运动变化的观点来看，我们可以把梯形看成是平行四边形和三角形的一般形式，而平行四边形和三角形是梯形的极端情形，梯形的上底延伸至与下底相等或上底缩短为一个点时，就成了平行四边形或三角形。而当学生以这种运动变化的观点思考图形及其面积计算公式时，就打通了计算公式之间的内部联系，学生在数学思考中体验到数学的内在统一美。

二、教学反思

1. 比较，感受数学之美

学生通过数学思考、交流，发现图形之间的面积计算的一致性与差异性与图形的特征（外观）有着密切联系，体会到每个图形的外部特征与内在数量化有着一致性，感受到数学的统一美，这是纵向比较；而发现梯形的面积计算公式普遍适用于三角形、平行四边形、长方形、正方形甚至圆形后，完成对公式的统一认识，这是横向比较。这种由公式表现出来的统一美，正是几何知识系统内在统一的体现。当然，仅仅通过面积计算公式的复习，就想让学生折服于数学完美的统一性是远远不够的。这种教学的意义还在于，能让学生将这种关系自然拓展到其他的几何图形的知识，比如体积计算公式、周长计算公式等。通过这样的比较，学生会觉得所学的数学知识一下子有了豁然开朗、经脉被打通的感觉。经过多种知识的沟通后，学生对数学的完美统一一定会有较深刻的体验。

2. 思考，促进美感升华

学生对数学美的感觉不仅仅来自于美丽的外在（美观对称的图案）。通过学生深层次的思考，学生对数学美的感受才更深刻。当学生整理知识时，发现公式之间的相互联系，发现梯形的面积计算公式能普遍适用于三角形、平行四边形、长方形、正方形甚至圆形，并形成一个具有统一美的严谨系统时，那种对数学内在高度统一的认识与惊叹会油然而生。这是思考后的感受，能在学生头脑中留下深深的印记，持久地影响着学生对数学的感情，对学生的数学学习起着积极的推动作用。