数学建模在电子电器爬电距离和电气间隙测量中的应用

姚 磊，陈灿坤，许来春，周映虹，蒋 虹

（1.威凯检测技术有限公司，广州 510663； 2.广东工业大学，广州 510006）

引言

随着科技和生活的发展，人们对电气类产品的便携性要求越来越高，小型、轻便、易携带的产品越来越受欢迎，但是产品体积越小，爬电距离和电气间隙会成为电气产品安全事故的主要诱因，也更值得引起我们的关注。在全国各类产品抽查和风险评估活动中，爬电距离和电气间隙都是高风险和常出现的不合格项目。因此众多电子电气类产品检测标准中均有专门针对爬电距离和电气间隙的考核要求，在国内、外比对活动中，我们经常能够碰到揉进去各种考点后对指定部位确定最短爬电路径和电气间隙。

另外爬电距离和电气间隙的测量不仅仅是对高工作电压部位的要求，同样对于低压电路甚至是安全特低电压供电的产品，同样也应该设置足够的爬电距离和电气间隙，很多人会认为Ⅲ类器具内部都是安全特低电压，直接触摸都没有危险，即便不能设置足够的爬电距离和电气间隙也不会出现大的危险。比如2016年三星手机发生了多起着火事件（图1），据公开的Galaxy Note7 安全事故原因的调查结果，三星以及参与调查的几家第三方机构认为，Galaxy Note7 的“爆炸”并不是手机本身的设计问题，而是手机电池的设计和制造过程存在缺陷。较早出现安全问题的Galaxy Note7，主要采用的是来自SDI的电池（图2）。

图2可以清晰的看到，在外部引起电池电极变形后，导致了电池电极之间的爬电距离和电气间隙减小到安全限值以下，引起电池短路，从而导致了着火事件的发生，给人身构成很大的安全威胁,企业也因此遭受巨大的经济损失。

因此在产品设计、研发、小试、中试、定型、上市前合格评定和上市后市场监督各阶段，爬电距离和电气间隙都是重点要考虑的问题。而确定“最短的”爬电距离和电气间隙路径是问题的关键，下文就从测量的角度给出了一种建立三维模型，并运用数学模型计算爬电距离和电气间隙的方法。

1 实际样品如何建立三维模型

1.1 爬电距离和电气间隙影响因素

根据标准的定义，电气间隙是两个导电部件之间，或一个导电部件与器具的易触及表面之间的空间最短距离；爬电距离是两个导电部件之间，或一个导电部件与器具的易触及表面之间沿绝缘表面测量的最短路径。

图1 手机着火事故案例

测量需要考虑如下影响因素：

1）海拔高度：空气可以作为一种辅助的绝缘，一般电气设计基本能够满足2 000 m海拔高度的正常运行，当海拔继续增高，空气变得稀薄，空气绝缘的能力会降低；另外空气密度降低后，依靠空气作为散热介质的器具会发生温升比正常海拔高，这样会加速绝缘材料的老化，降低材料的绝缘性能，所以对于高海拔使用的器具要设计足够的爬电距离和电气间隙。

2）材料类型：在诸多影响因素中，绝缘材料的种类是对爬电距离影响很大的一个因素。对于绝缘材料，利用“相比漏电起痕指数（CTI）进行分组”，当绝缘表面沉积一定量的污染物时，带电部件之间的漏电流的闪烁释放的能量使绝缘表面损伤，这种损伤逐渐积累下会在绝缘面形成导电通道，需要我们对绝缘材料组别进行考虑。

3）污染等级：爬电距离和电气间隙的设置需要考虑绝缘部位的微观环境以及器具的宏观环境，污染等级按照严酷程度分为1、2、3、4级污染等级，过小的电气间隙可由固体微粒、灰尘和水完全跨接，因此当污染可能会在微观环境出现时，要规定最小的电气间隙。

图2 SDI电池异常和正常的电池负极对比图

4）工作电压和过电压类别：确定被测部位间的工作电压，并且需要根据工作电压确定额定脉冲电压的影响，在直接由低压电网供电的电气设备分成了四个过电压类别：过电压类别Ⅳ、Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ，根绝过电压类别考核最小电气间隙是否足够。

5）跨接：跨接因素也是考虑污染物沉积的影响，尤其在小尺寸的“间隙”和一定角度下的“槽”，因为容易累积导电灰尘，导致沿污染物表面形成爬电路径，因此需要重点考虑这些部位。

6）通过中介物：除了上述影响因素外，我们在进行实际测量时，也要考虑此两点中间的导电部件，很多时候中间的一个或多个导电部件会作为爬电路径，间接的降低了待测部位的爬电距离和电气间隙。

1.2 对于跨过圆弧面的爬电距离的一点思考

在IEC 60664-1 Insulation Coordination for Equipment within Low-voltage Systems-Part 1: Principles,requirements and tests标准中，用了11个图例描述了一些需要跨接的案例，并且在IECEE/CB SCHEME/CTL DECISION国际电工委员会CB体系CB实验室决议0717、590号文件中，分别对于跨接情况进行了延伸解释和规定了80 °角跨接的要求，但是对于圆弧表面是否需要跨接，并没有做出明确的规定。

笔者认为，在水平放置的PCB板上，小圆孔（直径小于标准中规定的X值）可以“看作”是没有底的间隙“gap”，不是槽“groove”；而大圆孔视为槽groove，而不是间隙gap，因为IEC 60664-1，IECEE/CB/CTL/DSH0590, 0717 要求是凹槽“recess”才考虑可能的跨接。

因此对于图3中的情况，小圆孔直径小于X值，则视小孔为一个间隙，最短爬电距离直接由A到B,小圆孔直接跨接。对于大圆孔（直径大于或等于标准中规定的X值），爬电路径需要沿着圆弧表面进行，而不进行X值的跨接（图4）。

如图4所示，在BCD圆弧上，由B和D分别向C做辅助线，夹角θ大于90 °，所以这里不符合“小于80 °”跨接条件，因此此段爬电路径是沿着BCD圆弧。如果圆的直径远远大于X值的时候，X的跨接长度放到圆弧上只是很小的一段，此时，无限大的圆弧的这一小段无限接近于直线了，这也印证了为何大孔上的圆弧爬电距离不跨接。

1.3 运用AutoCAD建立三维模型辅助分析

笔者参加了2017年IECEE/CB SCHEME/PTP国际电工委员会CB体系能力验证提供者IFM组织的17e11-Creepage and Clearance项目，本次比对样品尺寸非常小，用一元的硬币对比可以很直观的反应样品尺寸（图5，白色框图内为样品测试区域），这种小尺寸电路板更接近实际高集成、多层PCB电路板的结构。测量爬电距离和电气间隙有如下难点：

图3 直径小于标准中规定的X值（直接跨接）

图4 直径大于等于标准中规定的X值（不跨接）

图5 比对样品正反面图

1）用传统的测量方法如游标卡尺、千分尺不能测到爬电路径上的值，并且在如此小的尺寸下准确度不能保证；

2）另外对于圆弧上的爬电距离，用传统的测量工具不能直接测量；

3）确定爬电路径需要考虑正、反面带电部件的相对位置；

4）导电部位之间的爬电距离路径有多种可能。

笔者采用三维制图工具AutoCAD来生成样品的三维模型并辅助计算。具体过程如下：

先选择样品的一个基准点作为坐标的原点，对于样品上的关键位置点一一测量坐标值，按照测量坐标在AutoCAD中画出样品等尺寸的三维模型（图6），值得注意的是，在进行背面关键位置坐标测试的时候需要选择同一个原点作为坐标原点，这样可以减少因坐标原点不同带来两面图形有相对便宜的情况出现。

测量足够的基础数据，建立三维模型，为后续的计算奠定基础。比如利用AutoCAD强大的透视图功能，可以很清晰的看到上、下两面导电部位的相对位置（图7），方便确定爬电路径，另外利用AutoCAD中的尺寸标注功能，能够快捷地测量到空间中的尺寸或者角度信息，大大的节约了计算过程中数据的获取时间。

在进行完样品等尺寸三维建模后，我们也对AutoCAD图形中的尺寸和样品实际尺寸进行了对比，事实证明，二者偏差非常的小，证明我们后续基于三维模型中抓取的数据真实有效。

笔者认为这个图形和实体尺寸的验证环节非常重要，因为后续计算中用的基础数据均需要从图形中抓取，数据的准确性直接决定了后面计算工作是否有意义！

2 数学建模在圆弧面计算爬电距离的应用

上述讨论明确了圆弧上是否需要跨接以及何时跨接的问题，并运用AutoCAD进行了样品的实际尺寸三维建模，接下来我们就举例说明跨过圆弧的爬电距离和电气间隙的计算方法。

2.1 对于一个未知数的数学建模和计算

根据三维模型，举例计算导电部件T2到背面圆弧上B1点的爬电距离，如图8。

已知θ在0-17 °范围内变化（在三维模型上直接测量所得），CB=1.116 mm，BB1=1.378板厚度，α角实测38 °，∠ABC =α+θ/2，圆直径D=4.52 mm。建立计算T2到B1点的爬电距离L数学模型。

其中AB1为沿着圆弧表面的曲线长度，S为AB弧长，把圆展开平面如图9：

根据三角形余弦定理：

图6 样品等尺寸三维模型

图7 样品透视图（正反两面的相对位置）

其中：

T2到B1爬电距离L ：

已知θ在0-17 °范围变化，函数L可以对θ求导，求极值，过程较复杂。

为了简化计算，可以1 °为步长，对上述公式穷举出所有取值下L的值，并画出曲线如图9，图中可以看到在θ=12 °的时候，T2到背面圆弧上B1点爬电距离最小值为2.299 7 mm。

同理，电气间隙的求取类似于上述处理方法，只是把AB1作为A和B1点之间的空间直线来计算即可得到，此处不再赘述。

2.2 对于两个未知数的数学建模和计算

上个例子B1点是在圆弧上的一个点，所以在数学建模的时候只有θ一个未知数，在求解分析的时候相对较简单，下面再举例介绍以下圆周以外的点如何用数学模型计算爬电距离和电气间隙。

已知正面T7到背面T9的爬电路径为A-B-C1-D1，B和C1点是在∠EOF之间的圆周上的任一点，且∠EOF=32.094 °，α是BO与AO之间的夹角，β是C1O1与D1O1之间的夹角，（α+β）≤∠EOF，BB1=1.378 mm（PCB板厚度），圆半径R=2.26 mm。根据以上在三维模型中测得的参数，建立计算A到D1点的爬电距离数学模型L。

其中BC1为沿着圆弧表面的曲线长度把圆展开平面如图12。

样品正面A到圆上B的距离，由余弦定理得：

图8 导电部件T2到背面圆弧上B1点的爬电路径模型

图9 圆展开到一个平面求取沿圆弧面曲线AB1

图10 爬电距离L的变化曲线

样品背面D1到圆上C1的距离，由余弦定理得：

在圆壁上弧的长度BC：

所以可得：

通过数学模型的建立，可知爬电距离L是由α和β两个角度变量决定的，对于一个方程式两个未知数，从数学的角度不好求解最小值。

利用(α+β)≤32.094 °这个约束条件来进行数学分析，笔者用VBA编程运算，思路是让α和β角分别在0到32.09 °范围内，以0.01 °的步长变化，比如当：

α=0 °，β为0.01, 0.02,……32.09 °；

α=0.01 °，β为0.01, 0.02,……32.08 °；

以此类推。计算出T7到T9爬电距离的最小值，Lmin= 2.779 6 mm，此时对应的α= 5.45 °，β= 6.68 °。绘制的爬电距离云图如图13所示。

同理，电气间隙把BC1换成空间直线距离带入上述公式即可求得。

2.3 计算步长的选择

上述两个例子，T2到T10用了1 °的步长，T7到T9用了0.1 °的步长，关于步长的选择，肯定是越小，计算的值越接近真实的最小值，但是过小的步长会增加计算工作量。以T2到T10为例来验证1 °步长和0.1 °步长的差异（表1），对比发现最短爬电距离到小数点后第四位才发生变化，二者数据相差只有0.000 2 mm，基本可以忽略，所以笔者选用1 °的步长计算数据是可以接受的。

图11 正面T7到背面T9的爬电路径模型

图12 圆展开到一个平面求取沿圆弧面曲线BC1

图13 α和β两个变量的爬电距离云图

表1 采用计算步长1 °和0.1 °求得的最短爬电距离

3 结语

通过参加本次IFM爬电距离和电气间隙的比对，笔者提出对于尺寸较小的样品通过AutoCAD软件对样品进行三维建模，对被测样品进行路径分析，对路径搭建数学模型，并在文中通过实例计算了穿过圆孔的爬电距离数学模型。在求解数学模型时，运用MATLAB或者VBA编程运算等软件可以得到相对准确的数据。我们在参与国内外比对或者实际测量过程中，可以参考这种建模的思维方式，帮助我们准确快速的得到最小爬电距离和电气间隙值。

[1] 陈伟升. 家用电器安全国际标准理解与案例分析:基于IEC 60335-1第5.1版[M]. 中国质检出版社, 2016.

[2] 刘京玲. Note7拖累三星[J]. 中国消费者, 2016(11):30-30.

[3] 汪奕帆,陈灿坤 三星公开NOTE7爆炸原因——从家电标准角度检讨Ⅲ类器具安全.世界认证地图.2017.

[4] IEC.IEC 60664-1 2nd Edition Insulation Coordination for Equipment within Low-voltage Systems–Part 1:Principles,requirements and tests, April 1, 2007

[5] WG2-WG4.DSH 0717 Creepage and clearance determin ation,groove,recess,corner,bridging of distance X,Decision approved at the 2009 CTL Plenary Meeting

[6] DSH 590 Rule for creepage across grooves and similar surface discontinuities,Decision approved by the CTL during its 43rd meeting in Johannesburg.