基于排列组合的古典概型及应用

谢滟馨

摘 要：概率简单而直观的说法就是：概率是随机事件发生的可能性大小，概率论史上最先开始研究概率的方法是古典概率方法。古典概型是高中数学教学的重要内容之一，在高考及实际生活中起重要作用。高中数学教学的一个重点和难点是如何应用排列组合的知识解决古典概型问题，本文一排列组合为基础来研究古典概型及其应用，结果表明古典概率方法具有简单、直观，不需要做大量重复试验的优点。

关键词：概率 排列 组合 古典概型 随机事件

中图分类号：O212 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2017）01-0122-03

概率论是研究随机现象的模型（即概率分布），其最基本的一个问题就是概率的定义及其确定方法，概率是随机事件发生的可能性大小，是介于0和1之间的一个实数。分析近几年高考数学真题可知，每年都要涉及到概率统计的内容，以概率统计为背景知识的题目很常见，特别是对古典概型的考查。古典概型是一种比较特殊的概率模型，确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形；它简单、直观，不需要做大量重复试验，而是在经验事实的基础上，对被考察事件的可能性进行逻辑分析后得出该事件的概率。

高考数学中概率统计主要考查的是：在等可能性条件下的概率统计计算问题及运用概率统计知识来分析、解决高考数学中遇到的实际问题，其特点是常以应用题的形式出现，其难度不大，这与高考数学的发展方向是相符合的。

1 古典概率方法的基本思想

（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个。

（2）每个样本点发生的可能性相等（称为等可能性）。例如，抛一枚均匀硬币，“出现正面”与“出现反面”的可能性相等；抛一枚均匀骰子，出现各点（1～6）的可能性相等。

（3）若事件含有个样本点，则事件的概率为

P（A）==，其中Ω是样本空间

2 排列组合知识

排列与组合是古典概率的基础。排列与组合都是计算“从n个元素中任取r个元素”的取法总数公式，其主要区别在于：如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式，否则用排列公式。排列：从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列的总数记为A。 组合：从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素排成一组（不考

虑元素先后出现次序），称此为一个组合，此种组合的总数记

为C。

排列组合公式的推导都基于两条计数原理：乘法原理和加法原理。 在排列组合中，乘法原理和加法原理既是公式推导的基础，又是解决古典概型问题的主要依据。

3 基于排列组合的古典概型的应用

例1（盒子模型） 设有n个球，每个球都等可能地被放到N个不同盒子中的任一个，每个盒子所放球数不限，试求：

（1）指定的n（n≤N）个盒子中各有一球的概率p1；

（2）恰好有n（n≤N）个盒子各有一球的概率p2；

解析：因为每个球都可放到N个盒子中的任一个，所以n个球放的方式共有种Nn，它们是等可能的。

（1）因为各有一球的n个盒子已经指定，余下的没有球的N-n个盒子也同时被指定，所以只要考虑n个球在这指定的n个盒子中各放1个的放法数。设想第1个球有n种放法，第2个球只有n-1种放法，……，第n个球只有1种放法，所以根据乘法原理，其可能总数为n！，于是其概率为：p1= （1）

（2）与（1）的差别在于：此n个盒子可以在N个盒子中任意选取。此时可分两步做：第一步从N个盒子中任意选取n个盒子准备放球，共有C种取法；第二步将n个球放入选中的n个盒子中，每个盒子各放1个球，共有n！放法。所以根据乘法原则共有C·n！=A=N（N-1）（N-2）…（N-n+1）种放法。于是其概率为： p2== （2）

例2 （抽样模型） 一批产品共有N件，其中M件是不合格品，N-M件是合格品。从中随机取出n件，试求事件Am=“取出的m件产品中有件不合格品”的概率。

解析：先计算样本空间Ω中样本点的总数：从N件产品中任取n件，因为不讲次序，所以样本点的总数为C。又因为是随机抽取的，所以这C个样本点是等可能的。

下面先计算事件A0，A1的概率，然后再计算Am的概率。

因为事件A0=“取出的n件产品中有0件不合格品”=“取出的n件产品全是合格品”，这意味着取出的n件产品全是从

N-M件合格品中抽取，所以有C种取法，故A0的概率为：

P（A0）=

事件A1=“取出的n件产品中有1件不合格品”，要是取出的n件产品中只有1件不合格品，其他n-1件是合格品，那么必须分两步进行：

第一步：从M件不合格品种随机取出1件，共有C种取法。

第二步：从N-M件不合格品种随机取出n-1件，共有C种取法。

所以根据乘法原理，A1中共有CC个样本点。故A1的概率为： P（A1）=

同理，一般事件Am中含有样本点的个数：要使Am发生，必须从M件不合格品中抽m件，再从N-M件合格品中抽n-m件，根据乘法原理，Am含有CC个样本点，于是Am的概率为 P（Am）=， m=0，1，2，…，r=min{n，M} （3）

注意，在此应有m≤n，m≤M，所以m≤min{n，M}，否则其概率为0。

如果取N=9，M=3，n=4，则有

P（A0）=== ， P（A1）===

P（A2）=== ， P（A3）===

将以上结果列成一个表格（表1）：

表1中概率之和为1，这意味着m取0，1，2，3等四种情况中必有之一发生，所以可称其为一个概率分布。若把m看做随机变量，则此分布为m的分布。

例3（放回抽样） 抽样有两种方式：不放回抽样与放回抽样。例2讨论的是不放回抽样。放回抽样是抽取一件后放回，然后在抽取下一件……如此重复直至抽出n件为至。因为是放回抽样，所以第二次抽取时，任有n种取法……如此下去，每一次都有n种取法，一共抽了n次，所以共有Nn个等可能的样本点。

事件B0=“取出的n件产品全是合格品”发生必须从N-M件合格品中有放回地抽取n次，所以B0中含有（N-M）n个样本点，故B0的概率为： P（B0）=

事件B1=“取出的n件产品中有1件不合格品”发生必须从N-M件合格品中有放回地抽取n-1次，从M件不合格品种抽取1次，这样就有M·（N-M）n-1种取法。再考虑到这个不合格品可能在第一次抽取中得到，也可能在第二次抽取中得到……也可能在第n次抽取中得到，总共有n种可能。所以B1中含有n·M·（N-M）n-1个样本点，故B1的概率为：

P（B1）== n（1-）

事件Bm=“取出的n件产品中恰有m件不合格品”发生必须从N-M件合格品中有放回地抽取n-m次，从M件不合格品种抽取m次，这样就有Mm·（N-M）n-m中取法。再考虑到m件不合格品可能在n次中的任何m次抽取中得到，总共有C种可能。所以事件Bm含有CMm（N-M）n-m个样本点，故Bm的概率为：

P（Bm）=C

=C n（）（1-），m=0，1，2，…，n. （4）

由于是放回抽样，不合格品在整批产品中所占的比例M/N不变，记此比例为p，则上式可改写为：

P（Bm）=CPm（1-P）， m=0，1，2，…，n.

同样取N=9，M=3，n=4，则有：

P（B0）=（1-）4= ， P（B1）=4·（）2=

P（B2）=6·（）2（）2= ， P（B3）=4·（）3（）1=

将以上结果列成一个表格（表2）：

例4（彩票问题） 一种福利彩票称为幸运35选7，即购买时从01，02……35中任选7个号码，开奖时从01，02……35中不重复地选取7个基本号码和一个特殊号码。中各等奖的规则如下：

中奖级别 中奖规则

一等奖 7个基本号码全中

二等奖 中6个基本号码及特殊号码

三等奖 中6个基本号码

四等奖 中5个基本号码及特殊号码

五等奖 中5个基本号码

六等奖 中4个基本号码及特殊号码

七等奖 中4个基本号码，或中3个基本号码及特殊号码

试求各等奖的中奖概率。

解析：因为不重复地选号是一种不放回抽样，所以样本空间Ω含有C个样本点，要中奖应把抽取看成是三种类型中抽取：

第一类号码：7个基本号码。第二类号码：1个特殊号码。

第三类号码：27个无用号码。

注意到例2中是在两类元素（合格品和不合格品）中抽取，如今在三类号码中抽取，若记Pi为中第i等奖的概率（i=1，2，…7），运用例2的方法可计算得各等奖的中奖概率如下：

P1===0.149×10-6，

P2===1.04×10-6，

P3===28.106×10-6，

P4===84.318×10-6，

P5===1.096×10-3，

P6===1.827×10-3，

P7===30.448×10-3。

若记A为事件“中奖”，则A为事件“不中奖”，且由P（A）+

P（A）=P（Ω）=1可得：

P（中奖）=P（A）=P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7

==0.033485

P（不中奖）=P（A）=1-P（A）=0.966515

这就说明：一百个人中约有3人中奖，而中头奖的概率只有0.149×10-6，即两千万人中约有3人中头奖。 因此购买彩票要有平常心，期望值不宜过高。

例5（生日问题） n个人的生日全部相同的概率Pn是多少？

解析：把n个人看成是n个球，将一年365天看成是N=365个盒子，则“n个人的生日全部相同”就相当于“恰好有n（n≤N）个盒子各有一球”，所以n个人的生日全部相同的概率为：

Pn==（1-）（1-）…（1-） （5）

上式看似简单，但其具体计算是繁琐的，对此可以用一下方法做近似计算：

（1）当n较小时，（5）式右边中各因子的第二项之间的乘积×都可以忽略，于是有近似公式：

Pn≈1-=1- （6）

（2）当n较大时，因为对于小的正数x，有ln（1-x）≈-x，所以由（5）式得：

lnPn≈=1- （7）

例如，当n=10时，由（7）式给出的近似值为0.8840，而精确值为Pn=0.8831，n=30时，近似值为0.3037，精确值为Pn=0.2937。

这个数值结果令人很吃惊，因为许多人会认为：一年365天，30个人的生日全不相同的可能性是较大的，至少会大于

1/2。甚至有人会认为：100个人的生日全不相同的可能性也是较大的。对于不同的n值，表3列出用（7）近似公式计算出的Pn值。

表3中最后一行是对立事件“n个人中至少有两个人生日相同”的概率1-Pn。当n=60时，1-Pn=0.9922表明在60个人的群体中至少有两个人生日相同的概率超过99%，这是出乎人们意料的。而进一步的计算我们可以得出：当n>23时，有1-Pn>0.5。

参考文献：

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