实变函数教学中一些探讨

摘 要：实变函数是数学相关专业的一门重要的专业课程，是现代数学的基础。本文中笔者针对实变函数内容抽象性，结合自身的教学经历，从教学内容出发，探讨反例、反证法和对比教学法在教学中的运用。

关键词：实变函数 教学方法 Lebesgue测度

中图分类号：O174.1 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2017）01-0018-01

1 引言

实变函数是高等院校数学及相关专业的一门重要的专业课程，它是学生普遍感觉难学的一门课程。感觉难学的主要原因有以下几点：①不知道为什么要引入那么多难于理解的概念，例如集合的基数、Cantor三分集、Lebesgue测度、可测函数，依测度收敛、可测函数的积分等；②随着现在选修课程的增多，实变函数等专业课程的学时越来越少，任课教师一般很难讲授完整相关理论，更不用说讲深讲透，特别是那些重要定理的证明；③学生感觉习题太难，学生做作业时感觉很难用所学理论知识解决课后习题，这需要任课教师花大量课外时间去讲解。因此，在教学过程中选择有效的教学方法将有助于学生理解所学的理论知识，起到事半功倍的效果，本文就实变函数教学过程中经常遇到的教学难题展开讨论，探讨反例、反证法和对比教学法在教学中的运用，使学生更好的掌握和理解这门课程的基本理论，做到学有所用。

2 重视反证法在定理证明中的运用

实变函数的基础是集合论，掌握集合论的理论知识是学好实变函数的前提。

几乎所有的实变函数课本第一章都是集合论，详情请参考文献[1-5]。反证法思想在其中一些重要的定理中有广泛的运用，例如：Bernstein定理，无最大基数定理，开集构造定理等证明，因此掌握反证法思想是非常重要的。

反证法是间接证明的一种论证方式，首先假设命题的已知条件成立，假设命题不成立，然后推导出和已知条件相矛盾的结论，从而证明原命题。其思想就是原命题和原命题的否定是对立的存在：原命题为真，则原命题的否定为假；原命题为假，则原命题的否定为真。恰当运用反证法思想可以让学生更好的理解相关的定理的证明。

3 积极寻找反例理解测度论中的相关概念和定理

实变函数有很多概念之间有很多联系，如几乎处处收敛、一致收敛和依测度收敛都是函数列收敛的概念，这些概念往往让学生感觉很抽象，难以理解透彻。我们常常寻找反例说明它们之间区别以加深理解相关概念之间的联系。例如：Cantor三分集就是一个很重要的反例，其基数为连续统基，但却是一个零测集，不含有内点。在测度论中Cantor三分集经常被用作反例来加深理解掌握相关的概念。

实变函数的很多定理条件往往很简单，却很容易被学生忽视，通过一些反例可以帮助学生理解这些极易被忽视却必不可少条件所起的重要作用。例如Egorov定理中条件是必不可少的，下面这个反例说明了这点。

例1：设φk（x）=1， x∈（0，k），

0， x∈（k，∞）. 则φk（x）≡1. 注意对?δ>0， 任意可测集Eδ?（0，∞）， {φk（x）}在（0，∞）上是不一致收敛于1的。

4 运用对比教学法学习Lebesgue积分理论

对比教学法就是运用比较的手段确定相关概念异同关系的教学方法，它在知识的深度和广度上做对比类推，把一些具有联系又有区别的概念或性质放在一起进行对比分析，使学生能更好的理解和掌握相关概念或性质的异同关系。运用对比教学法学习Lebesgue测度理论有重要的作用，它使得学生学习新知识时能够有效的克服陌生感，增强学习积极性。我们以Riemann积分理论和Lebesgue积分积分理论做对比，讨论两种积分理论的联系与区别。

Riemann积分通过Riemanna和的极限来定义的，而 Lebesgue积分是通过简单函数积分的极限来定义的。这两种积分理论有联系又有区别，相比较而言Lebesgue积分有着比Riemann积分更宽松的条件，但它不能运用于非绝对收敛的反常Riemann积分理论。例如在（0，∞）区间上是反常的Riemann积分，其积分为，

在区间（0，∞）上的Riemann积分是不存在的。根据Lebesgue可测函数的绝对可积性，在区间（0，∞）上不是Lebesgue可积的。由此可见Lebesgue积分理论是Riemann积分理论的推广，而不是它的替代物。

5 结语

在实际教学过程中，适当的教学方法有助于提高教学质量，但只谈论教学方法是远远不够的。要想学好一门数学课必须做一定量的习题，因此精选一些典型的，能够加深对所学知识理解的习题给学生做练习，之后再加以讲解，才能有效的提高教学质量，达到好的教学效果。

参考文献：

[1] 邓东皋，常心怡.实变函数简明教程[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2] 周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2008.

[3] 胡适根.实变函数[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4] 程其襄，张奠宙，魏国强.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2010.

[5] 那汤松，徐瑞云（译）.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2010.

作者简介：吴奎霖，男，博士，贵州大学副教授，研究方向：微分方程与动力系统。