航空磁探中水下目标三维积分方程磁场建模

单志超，周家新，刘贤忠，杨 磊，赵海英

（1.海军航空大学，山东烟台264001；2.92351部队，海南三亚572000；3.92474部队，海南三亚572018）

铁磁性目标在地球磁场的磁化下产生的磁场与其周围的地磁场叠加产生磁异常[1-2]，航空磁探仪通过探测磁异常信号来发现目标[3]。为提高航空磁探仪的检测能力[4]，进一步对铁磁性目标进行定位和识别[5]，需要建立铁磁性目标磁场预测模型生成目标的高空磁场分布为航空磁探仪提供目标信号参考[6]。高精度的目标磁场预测模型不但能够用于辅助航空磁探[7-9]，还可以应用于磁性导航[10]、舰船消磁[11]等领域。

目前，建立水下铁磁性目标磁场预测模型的方法主要有边界元法[12]、积分方程法[13]、有限元法[14]和磁体模拟法[15-18]。边界积分法和曲面积分法对铁磁性目标磁场建模的原理与边界元法相同[12]。磁体模拟法主要有磁偶极子模拟[15]、旋转椭球体模拟[19]以及面磁荷模拟等方法。有限元法通过计算有限区域内的标量磁位来求解空间场点的总磁场[14]。在近场范围内，有限元需要剖分的场域小，能够进行精细剖分，计算精确。当计算场域较大时，有限元法需要进行大量的剖分，实时性和计算精度下降。积分方程法将铁磁目标源区进行离散化，分解为一个个铁磁性目标源，将空间场点处的磁场值认为是源区所有目标源的叠加。三维积分方程法考虑目标源的三维特性，减少假设条件，使得计算精度较传统的二维积分方程法更高。

1 三维积分方程法的基本原理

空间磁场预测点P(x,y,z)处的磁场可以认为是源区的铁磁体以及空间自由电流的矢量叠加，如图1所示，则点P处的磁场为：

式（1）中：HJ(P)为源区中空间电流在点P处产生的磁场；HM(P)为源区中铁磁性物体产生的磁场。

通过求解空间中的标量磁位分布φ(P)，可以解得源区中铁磁性物体产生的磁场：

式（2）、（3）中：grad为梯度算子；BM(P)为源区中铁磁性物体产生磁场的磁感应强度；μ0=4π×10-7H/m为真空磁导率。

建立如图2所示的柱坐标，由矢量格林公式可以得到，空间场点P处的标量磁位为：

式（4）中：div为散度算子；M(N)为空间场点N处的磁化强度；rNP为空间点P到场点N的矢径；Vm为场点N处磁源的体积；n是边界Sm的外法相矢量。

在柱坐标系中，可以得到：

当Mr和Mz为常数时，可以得到：

式（7）中，curl为旋度算子。

在航空磁异常探测中，铁磁性目标的高磁场无法直接使用式（4）、（5）得到，一般认为源区的空间自由电流J=0，则可以得到点P处的磁感应强度为：

在柱坐标系中，磁场强度可分解为Hr和Hz两个分量。航空磁探中铁磁性目标的磁体材料一般可以认为是均匀，将磁源剖分成N1个单元，并假设第n个单元处磁化强度满足

式中，n=1,2,…,N1为剖分单元的编号。

则可以得到：

式（10）、（11）中：|H|表示磁场强度的绝对值；χ(|H|)表示材料的磁化率；是由第n个磁源位置以及空间观测点P决定的几何系数，其物理含义是第n个磁源的单位磁化强度在空间观测点P处产生的磁场强度。

式（12）～（16）中：rN1、rN2、zN1、zN2分别为柱坐标系中第n个单元的边界，rN1＜rN2＜zN1＜zN2。

2 水下目标磁场预测模型

根据三维积分方程法的基本原理，求解N1个离散单元内部的磁感应强度。

式中：μri为第i个单元在地磁场磁化下的磁导率；vi为第i个单元的中心；Qi为第i个单元的中心。

由式（17）即可实现水下目标在空间任意场点P处磁场的预测。直接计算式（17）中耦合系数体积分形式相当困难，不妨先将其转化为等价面积分形式。对线性均匀磁介质或均匀磁化单元，假设源区内的自由电流为0，由矢量恒等式和高斯散度定理可以得到：

式（18）中：si为第i个单元的表面积；ni为第i个单元的外法线方向单位矢量。

对式（18）进行负梯度运算可得：

进而有：

将面积分中矢量展开成分量形式，可得式（20）的矩阵形式：

由式（21）可以看出，该单元耦合系数各元素为面积分形式，较体积分形式更方便求解。由于计算场点取在单元中心，而面积分在单元表面进行，即使当i=j时，面积分耦合系数的计算也不存在积分奇异性问题，耦合系数具体求解过程可以参见文献[17]。

3 模型精度理论验证

为检验本文的水下目标磁场预测模型精度，使用铁磁性长方体对模型精度进行验证。图3所示为铁磁性长方体，磁化率为99，长1 m，宽0.5 m，高0.3 m，放置在地磁场垂向分量为34 500 nT的外部磁场中。铁磁性长方体的空间磁场分布计算可以参见文献[17]。

以铁磁性长方体中心为原点，长方体的长轴指向磁东向，建立图4坐标系。其中：X轴平行于水平面，以指向地磁东向为正，称纵轴；Y轴平行于水平面，以指向地磁南向为正，称横轴；Z轴垂直于水平面，以向下为正，称垂轴。Bx、By、Bz分别是水下目标空间磁场BP在X轴、Y轴、Z轴的投影，分别称纵向、横向、垂向分量。空间磁场预测点P取在长方体中心正上方，x∈[-10m,10m]，y=0 m，z=-3 m。空间磁场预测值与理论值的对比如图5所示。

由图5的铁磁性长方体空间磁场理论值与磁场预测模型计算得到的预测值的对比，可以发现，本文建立的水下目标磁场预测模型在磁场的变化趋势、幅度上拟合较准确。

4 实验验证

实验使用长半轴为1 m短半轴为0.35 m的铁磁性长旋转椭球体作为水下目标，以椭球体的中心作为坐标原点，测量椭球体正上方x∈[-10 m,10 m]，y=0 m，z=-5 m处的磁感应强度值。实验中，磁场测量使用G858铯光泵磁力仪，分辨率可达0.05 nT。根据磁场预测模型，计算空间场点的磁场三分量预测值，将三分量预测值投影到地磁场方向与光泵测量值进行比较，结果如图6所示。

图6为磁感应强度预测值BP和实际测量值BM，平均绝对误差AT和平均相对误差AR定义如下：

可计算得：AT=0.320 5 nT，AR=12.368%。

5 结论

本文使用三维积分方程法对水下目标的空间磁场进行建模，通过铁磁性长方体对模型进行理论验证，使用铯光泵磁力仪测量铁磁性长旋转椭球体的高空磁场；然后，用本文的预测模型推算铁磁性长旋转椭球体的磁场，根据实际测量的磁场数据和预测值进行比较。结果表明，预测模型的推算精度较高，平均绝对误差为0.320 5 nT，平均相对误差为12.368%。

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