基于刚体运动学的复杂装配体递推误差分析*

杜群贵 翟晓晨 文奇 杨伟朋

(1.华南理工大学 机械与汽车工程学院, 广东 广州 510640; 2.广东省汽车工程重点实验室, 广东 广州 510640;3.重庆大学 机械传动国家重点实验室, 重庆 400044)

实际加工制造出的零件与理想零件之间不可避免地存在着几何尺寸误差,装配体也因此存在着装配误差,并对装配精度产生不确定性影响[1- 4].

Paul[5]和Veitschegger等[6]采用齐次变换矩阵和微分变换方法描述了几何尺寸误差和运动学误差存在时机器人末端手臂准确位置的确定方法,奠定了误差分析的基础.当前应用较为广泛的误差、公差分析方法主要有Desrochers等提出的矩阵法[7]和雅可比旋量法[8],这两种方法都需要在每个误差特征(VF)处固结局部坐标系,其相对基准参考系均具有名义尺寸关系.实际上,考虑零件的几何尺寸误差后,固结在零件特征上的坐标系不可能一直位于产品设计时确定的名义位置处,其相对基准参考系也不可能具有名义尺寸关系,这两种只建立名义坐标系的方法并不能准确地描述误差传递的实际情形.

文献[9- 11]在Paul[5]和Veitschegger等[6]成果的基础上,进一步研究基于微分变换的误差、公差分析模型.文献[12- 15]分别将文献[9- 11]所得方法在机床上进行应用.比较发现,这些方法是一种开环的线性化误差分析模型,适用于具有单条尺寸链的简单装配体,对于复杂的装配体(如存在闭环尺寸链和并联尺寸链的装配体),则需要将其转化成一条条开环尺寸链,计算过程复杂;此外,这些方法虽可用于公差分析,但尚未得到符合公差语义的通用解析式.

由以上分析可知,基于刚体运动学的误差、公差分析方法都是用坐标系的变换表示零件特征的实际位姿,并没有在设计阶段明确提出符合公差语义的通用误差分析模型,以及针对不同类型的复杂装配体建立误差传递模型的方法.针对上述问题,文中提出在每个VF的名义位置和实际位置处分别建立名义局部坐标系和实际局部坐标系,结合VF对应的公差语义,得到递推误差数学模型;并根据微分变换原理,采用名义尺寸确定不同VF之间的几何关系,VF的变动则由一阶齐次变换矩阵确定,以提高模型的精度,简化计算过程,提高建模过程的清晰度,避免对非名义模型的几何操作;然后选取有代表性的具有两条并联尺寸链的复杂装配体,通过矢量变换得到通用的线性化误差分析模型,由于误差的系数矩阵具有普适性,易于编程实现,这就为类似复杂装配体的误差分析提供了极大的便利;最后通过一个实例介绍了上述误差分析方法的应用.

1 基于刚体运动学的递推误差分析模型

在产品设计阶段,确定公差后,假设VF在公差域内产生相对自身名义状态的微小变动:平移和旋转.

采用刚体运动学的方法对装配体进行误差分析,忽略形状误差,只选取有代表性的几何尺寸误差[16].如图1所示,由3个零件组成的装配体包含了两种类别的坐标系链:第1种为零件1、2、3都具有名义几何尺寸时,装配后形成的尺寸链采用实线箭头连接;第2种为具有误差时,装配后形成的尺寸链采用粗箭头线连接.很明显,零件1上的特征存在误差后,尺寸链上零件2和3的位姿也会产生误差.

图1 3个零件组成的装配体和坐标系图

Fig.1 Schematic representation of assembly composed by three parts andcartesian coordinate systems

步骤1 明确TF及对TF变动存在贡献的VF,选取合适的参考坐标系O,根据VF之间的相互基准关系建立尺寸链.

已知Fi与O之间的位姿关系可以采用Ti=[XiYiZixiyizi]T表示,采用齐次变换矩阵的形式可表示为

(1)

(2)

步骤4 确定Fi+1与O之间的位姿关系.

(3)

(4)

当不存在误差时,TF相对O的名义位姿关系表达式TN为

(5)

(6)

式中,N是尺寸链上组成环的个数.

事实上,对于尺寸链上的所有VF来说,只有第一个VF相对O具有名义几何关系,其他VF相对O的名义尺寸都失去意义,因此对装配体进行误差传递时必须采用递推的形式.

该方法符合几何物理意义,计算结果准确,但由于递推模型的非线性表达式不够清晰,特别是对于复杂装配体,计算过程繁琐,效率低,不容易编程,因此,文中参考描述机构运动学的微分变换思想,提出了递推误差模型的线性化表示.

2 递推误差分析模型的线性化

根据机构运动学的微分变换理论[5- 6],可以将VF的位置和姿态的误差矢量表示为固结其上的坐标系误差的线性函数.

(7)

式中,I为单位矩阵.

图2 两个VF之间的位姿关系矢量图

Fig.2 Vector representation of position and orientation between two VFs

的齐次误差变换矩阵.

为了得到具有普遍意义的误差分析模型,文中考虑6个自由度上的误差都存在时的一般情形,δDi可表示为

(8)

式中,δRi为Fi的旋转误差矩阵,di为Fi的平移误差矢量,ui、vi、wi、αi、βi、γi为Fi在空间6个自由度上的误差.

通过整个尺寸链的传递之后,当不考虑几何特征的误差时,如图3中的细箭头线组成的尺寸链,固结在TF处的坐标系FN相对O的名义位姿关系TN可用式(5)表示.

图3 单尺寸链误差传递矢量图

Fig.3 Vector representation of single dimension chain propagation of variable

(9)

最后得到误差沿整条尺寸链传递后,平移误差矩阵d、旋转误差矩阵δ和总体微分平移矩阵dT的线性表达式如下：

d=W1u+W2v+W3w+W4α+W6β+W8γ

(10)

δ=W5α+W7β+W9γ

(11)

dT=W1u+W2v+W3w+W10α+W11β+W12γ

(12)

式中,W1、W2、W3、W4、W6、W8分别为平移误差矩阵d的误差系数矩阵,W5、W7、W9分别为旋转误差矩阵δ的误差系数矩阵,由于式(11)中没有平移误差，W1、W2、W3和W10、W11、W12则构成了总体微分平移矩阵dT的误差系数矩阵.这些系数矩阵由名义坐标系之间的参数确定,具体表达式可以参考文献[9],不同的是需要根据公差和特征的类型,将VF不变度上的变量去除.

3 复杂装配体的误差分析模型

对于复杂装配体,通常需要考虑多个TF之间的尺寸关系,此时,需要建立多条尺寸链,然后计算多个TF之间的位姿关系.

图4 并联尺寸链误差传递矢量图

Fig.4 Vector representation of parallel dimension chain propagation of variable

图5 新开环尺寸链误差传递矢量图

Fig.5 Vector representation of new open dimension chain pro-pagation of variable

(13)

(14)

(15)

式中,N2表示原尺寸链2的TF处的坐标系编号,也是新尺寸链的起点,N1表示原尺寸链1的TF处的坐标系编号,也是新尺寸链的终点.

图6 两个VF之间逆变换的位姿关系矢量图

Fig.6 Vector representation of position and orientation between two VFs for inverse transformation

dCj=(δCj)Cj

(16)

式中,δCj为齐次误差变换矩阵.

根据文献[9]中计算平移误差矢量的方法,可以得到平移误差矢量dj的线性表达式为

dj=n1juj+n2jvj+n3jwj+n4jαj+n5jβj+n6jγj

(17)

式中,

旋转误差矢量δj的线性表达式为

δj=n7jα+n8jβ+n9jγ

(18)

式中，

新尺寸链中,TF的平移误差矩阵dB、旋转误差矩阵δB的线性表达式为

dB=WB1u+WB2v+WB3w+WB4α+WB6β+WB8γ

(19)

δB=WB5α+WB7β+WB9γ

(20)

总体微分平移矩阵dTB的线性表达式为

dTB=WB1u+WB2v+WB3w+WB10α+WB11β+WB12γ

(21)

以上各式中:

WB1=[(RC)N2-jn1(N2-j)Rim1i];

WB2=[(RC)N2-jn2(N2-j)Rim2i];

WB3=[(RC)N2-jn3(N2-j)Rim3i];

WB4=[(RC)N2-jn4(N2-j)+(pC)N2-j×

((RC)N2-jn7(N2-j))Rim4i+pi×(Rim7i)];

WB5=[(RC)N2-jn5(N2-j)Rim5i];

WB6=[(RC)N2-jn5(N2-j)+(pC)N2-j×

((RC)N2-jn8(N2-j))Rim5i+pi×(Rim8i)];

WB7=[(RC)N2-jn8(N2-j)Rim8i];

WB8=[(RC)N2-jn6(N2-j)+(pC)N2-j×

((RC)N2-jn9(N2-j))Rim6i+pi×(Rim9i)];

WB9=[(RC)N2-jn9(N2-j)Rim9i];

WB10=[WB5j×ptN1+WB4jWB5i×ptN1+WB4i];

WB11=[WB7j×ptN1+WB6jWB7i×ptN1+WB6i];

WB12=[WB9j×ptN1+WB8jWB9i×ptN1+WB8i];

(RC)N2-j和(pC)N2-j分别表示原开环尺寸链2中坐标系FN2-j的名义旋转变换的逆变换和名义平移变换的逆变换;Ri和pi分别表示原开环尺寸链1中Fi的名义旋转变换和名义平移变换;ptN1由式(4)得到,表示FN1在新尺寸链中的名义位置.

4 实例分析

图7所示的齿轮泵为文献[7]中的一个典型实例,由泵体、主动齿轮轴和从动齿轮轴3部分组成.采用文中提出的装配体误差分析方法计算齿轮泵装配体的中心距Δc误差值.图7中,在每个零件的VF处建立局部坐标系,由于名义局部坐标系和实际局部坐标系之间变动值很小,此处只表示出名义局部坐标系.通过分析,该齿轮泵可建立两条开环尺寸链,两条尺寸链的起点一致,均为图8中的参考坐标系原点O所在位置.

原尺寸链1由连接名义局部坐标系F1、F2、F3形成,如图8所示,名义局部坐标系之间的变换TN1为

TN1=A1A2A3

(22)

(A1+dA1)(A2+dA2)(A3+dA3)

(23)

原尺寸链2由连接名义局部坐标系F4、F5形成,尺寸链2的名义局部坐标系之间的变换TN2为

TN2=A4A5

(24)

(25)

通过将尺寸链2的每一个变换矩阵取逆操作,

图7 齿轮泵零件图(单位:mm)Fig.7 Parts of gear pump(Unit:mm)

图8 齿轮泵装配体的坐标系链(单位:mm)

Fig.8 Coordinate system chain of gear pump assembly(Unit:mm)

并与尺寸链1在参考坐标系的原点O处相连,得到新的开环尺寸链来描述Δc,如图9所示,新尺寸链以坐标系F5为起点,以坐标系F3为终点,名义变换矩阵TB为

(26)

图9 由两条开环尺寸链形成的新尺寸链

Fig.9 New dimension chain formed by two open dimension chains

(A1+dA1)(A2+dA2)(A3+dA3)

(27)

然后,运用第2和第3节的方法,得到误差分析的解析式,可直接用于极值法或统计学法的误差分析计算.其中,通过极值法得到的中心距误差范围为(-0.063 388,+0.063 388)mm,由统计学法得到的服从3σ分布的误差概率分布如图10所示.

图10 齿轮泵的误差概率分布椭球体

Fig.10 Ellipsoid of gear pump’s variable probability density distribution

5 结语

文中基于刚体运动学的误差、公差分析模型,在每个VF处建立两个局部坐标系,将特征的几何尺寸误差转换成附加到VF上的局部坐标系的变动,然后沿尺寸链逐渐累积并递推到装配体的TF处,得到6个自由度上误差的线性表达式,并将其应用到以并联尺寸链为代表的复杂装配体中,最后通过一个实例介绍了分析过程.文中方法可以根据装配体中的尺寸链选取误差传递模型的系数矩阵,计算过程清晰,更容易编程实现.对于其他类型的复杂装配体可采用类似的方法得到对应的误差系数矩阵,极大简化了计算流程.

由于在实际工作中，零件还会受到外部载荷、温度变化等作用而产生弹性变形，因此，在产品设计阶段考虑误差的基础上，有必要进一步研究零件弹性变形的影响，实现误差与弹性变形的耦合与传递.

[1] 郭崇颖.复杂产品几何误差评定与装配精度预测研究 [D].北京:北京理工大学,2015.

[2] ZUO X Y,LI B,YANG J,et al.Application of the Jaco-bian-torsor theory into error propagation analysis for machining processes [J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2013,69(5):1557- 1568.

[3] COSTADOAT R,MATHIEU L,FALGARONE H.Design method taking into account geometric variations management along the design process [M]∥Bernard A.Global product development.Berlin:Springer,2011:159- 166.

[4] NAUYEN D S,VIGNAT F,BRISSAUD D.Taking into account geometrical variation affect on product performance [J].Int J Product Lifecycle Management,2011,5(2/3/4):102- 121.

[5] PAUL R P.Robot Manipulator:mathematics,programming and control [M].6th ed.Cambridge:The MIT Press,1984:85- 118.

[6] VEITSCHEGGER W K,WU C H.Robot accuracy analysis based on kinematic [J].Robot Automatic,1986,RA- 2(1):227- 233.

[7] DESROCHERS A,RIVIERE A.A matrix approach to the representation of tolerance zones and clearances [J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology,1997,13(9):630- 636.

[8] DESROCHERS A,GHIE W,LAPERRIERE L.Application of a unified Jacobian-Torsor model for tolerance ana-lysis [J].Journal of Computing and Information Science in Engineering,2003,3(1):2- 14.

[9] WHITNEY D E,GILBERT O L,JASTRZEBSKI M.Re-presentation of geometric variations using matrix transforms for statistical tolerance analysis in assemblies [J].Research in Engineering Design,1994,16(4):191- 210.

[10] MANTRIPRAGADA R,WHITNEY D E.Modeling and controlling variation propagation in mechanical assem-

blies using state transition models [J].IEEE Transactions on Robotics and Automation,1999,15(1):124- 140.

[11] 刘建永,乔立红.一种考虑零件变形的装配误差计算方法 [J].计算机集成制造系统,2015,21(1):94- 100.

LIU Jian-yong,QIAO Li-hong.Calculation method for assembly error with consideration of part deformation [J].Computer Integrated Manufacturing Systems,2015,21(1):94- 100.

[12] 陈剑雄,林述温.基于微分变换的多轴数控机床几何误差解耦研究 [J].中国机械工程,2014,25(17):2290- 2294.

CHEN Jian-xiong,LIN Shu-wen.Geometric error decoupling for multi-axis CNC machines based on differential transformation [J].China Mechanical Engineering,2014,25(17):2290- 2294.

[13] 赵强强,洪军,刘志刚,等.任意拓扑结构机床运动轴误差传递链建模方法 [J].机械工程学报,2016,52(21):130- 137.

ZHAO Qiang-qiang,HONG Jun,LIU Zhi-gang,et al.Modeling method on motive axes error transfer chain for machine tool of arbitrary topological structure [J].Journal of Mechanical Engineering,2016,52(21):130- 137.

[14] 齐继宝,杨伟民.基于微分变化构造法的数控机床几何误差补偿方法 [J].农业机械学报,2016,47(9):398- 405.

QI Ji-bao,YANG Wei-min.Differential change construction based geometric error compensation for machine tools [J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2016,47(9):398- 405.

[15] CHEN J X,LIN S W,ZHOU X L.A comprehensive error analysis method for the geometric error of multi-axis machine tool [J].International Journal of Machine Tools & Manufacture,2016,106:56- 66.

[16] WHITNEY D E.Mechanical assemblies-their design,manufacture,and role in product development [M].1st ed.New York:Oxford University Press,2004:36- 42.