生长数学下“二次根式”单元第一课的教学设计

☉江苏南京市宁海中学分校卜以楼

生长数学下“二次根式”单元第一课的教学设计

☉江苏南京市宁海中学分校卜以楼

文1、2分别与大家交流了生长数学下“初中数学第一课”和“接班第一课”教学设计的问题.本文以“二次根式”为例，和大家谈谈生长数学下单元第一课（或称“章首课”）的教学问题.一方面，为单元第一课教学提供一个课例研究的范式；另一方面，让本文与文1、2形成生长数学下不同内容“首课”教学的基本理念和基本结构，以便积累生长数学下的“首课”教学活动的经验.

一、基于教学内容的价值判断

单元第一课和初中第一课、接班第一课一样，首要讨论的问题就是基于什么样的价值判断来选择教学活动.就“二次根式”这一教学内容，笔者认为教学价值主要有以下三个方面.

1.用整体统领的观点来搭建结构.

整体指事物的全局和发展的全过程，是事物发展的统领部分，起主导作用.在数学学习中，它是数学中始终贯彻的基本观点、基本策略、基本套路.在数量上看它是“一”，这个“一”就是一脉相承、一以贯之、一如既往的思维方法.如果能灵活地运用整体的观点去理解、去学习、去探究数学知识，就会有一种居高临下、一览众山小的感觉与效果.

作为“二次根式”的章首课，用整体统领的观点来搭建本章的知识结构，应是价值定位的首要选择.整体统领的思想就是要求从数学内部结构上、从学习“式”这个知识模块上，对二次根式进行宏观上的分析、探究、理解与把握.从这个意义上说，二次根式章首课要研究与整式、分式相“同化”的基本知识，即要用整体的观点、联系的思想、统领的方法来研究二次根式的概念、性质、运算和应用这几个方面的内容.当然，由于二次根式又不完全等同于已经学习过的整式和分式，它应有其内在的特有的属性，所以还要用“顺应”的思想来研究二次根式的特性，这就是最简二次根式的涵义.

2.用类比联想的策略来满足生长.

类比联想是发现问题的一种思维方式.它起源于看到一种事物想到另一种和它相似的东西.通过类比联想活动来启迪思维，可以帮助学生进行探究、分析、总结、归纳，有利于提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.

作为“二次根式”的章首课，用类比联想的策略来满足知识的生长发展，是内生生长的必然选择.这是因为，学生在学习这一内容时，已经学习过代数式、整式、分式这些内容，明晰了“式”系统的基本结构，知道了“式”系统中部分成员的共性与特性，掌握了研究“式”系统的基本方法，积累了研究“式”系统成员的基本经验.所以说，从知识生长、生命成长的角度来讲，生长的内因与外因皆已俱备.这里的内因是指知识的纵向生长，即从整式生长到分式，再从分式生长至二次根式，以及学生探究新知识、分析新问题、研究新结论的渴望.这里的外因是指知识的横向发展，即学生在初一、初二积累的研究“式”的基本知识、基本数学活动经验，特别是类比思维的活动经验，以及教师将要设计的教学活动“思维场”.这两种因素碰撞到一起，立即会形成势不可挡的内生生长强大力量.为此，教学中要借势而发、顺势而为、因势利导，抓住这种不可多得的生长资源，发挥数学教学的最大效能，彰显类比思维的教育价值，促进学生的思维向高水平、高层次、高质量方向发展.

3.用自主建构的方法来积累经验.

建构主义认为，学习就是建构内在心理表征的过程.学习者并不是把知识从外界搬到记忆中，而是以已有的经验为基础，通过与外界的相互作用来建构新的理解.在这个过程中，由于新认知的介入，对已有知识的认识会发生调整和改变，所以说，学习并不是简单的信息积累，它包含由于新旧经验的冲突而引发的观念转变和结构重组，学习过程是新旧经验反复的、双向的相互作用过程.因此，教学时不能无视学生的这些经验，而是要把学生原有的知识经验作为新知识的生长源、生长点、生长力，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验.

作为“二次根式”的章首课，用自主建构的方法来进一步积累学习经验，是学生学会学习的根本选择.这就是说，要让这节课的学习活动成为学习二次根式这一内容的统帅、固化和程序，为今后再探究“式”这个大家庭中的其他“式”成员，再提供些必备的思想方法和学习经验，再丰富一下研究“式”的学习范式.

二、基于价值判断的活动设计

基于上述价值判断，可设计下列生长链来建构二次根式的生长路径和学习活动.

活动一：概念的建构.

问题1：学校决定将文正楼与文行之间的一块长为a m、宽为b m的矩形绿地进行改造.请你回答下列问题：

（1）这块绿地的周长是多少？这块绿地的面积是多少？

（2）如果这次改造总费用为c元，那么每平方米改造的费用是多少元？

（3）如果在这个矩形绿地中规划面积为2m2、8m2、S m2和9S m2的正方形种植新品种花木，那么这4个正方形的边长各为多少？

（4）如果在这个矩形绿地中还要规划一个边长为2m的正方形，则这个正方形的对角线为多少？

设计意图：通过学生熟悉的、简明的、能揭示二次根式本质的问题情境，让学生列出代数式，为下面研究这些“式结构”的数学本质作好铺垫.

有不少教科书上有这样的情境：面积为S m2的圆的半径是多少？笔者在这里不建议使用.因为此时这个圆的半径为，这个式结构可能会干扰学生对二次根式的认识.对于式子，会有一部分学生根据分母中是否含字母（事实上π不是字母）和是否含根号这两个标准对上述“问题1”中列出的代数式进行分类.这样对建构二次根式的概念造成分类标准上的错觉，效果可能会适得其反.所以在建立概念的起始阶段，要关注概念的本质，不要让非形式化的东西掩盖了概念的本质.

生成预设：如果学生表达有困难，可复习平方根、算术平方根的概念，让学生会正确地表达“问题1”中的问题.

问题2：请尝试对上述各问题得到的数学式子进行

设计意图：让学生尝试分类，就是让学生在分类中碰出思维的火花，能够看清二次根式概念的数学本质.

生成预设：对于，学生可能把它放在单项式中，这是有道理的.因为它们说到底就是一个具体的无理数，根据一个数、单独的字母是单项式的规定，可认定它们是单项式.但是，像这种类型的式子，显然不属单项式，但它们又与“长”得相同，为了研究方便，我们可以把这种类型的式子单独给予一个名称，暂且称之为二次根式.

问题3：谁能给二次根式下个定义？

设计意图：让学生提取用“样子+条件”的方法，对二次根式下定义，再次增强这种下定义通法的价值.

生成预设：如果学生想不到用“样子+条件”的方法对二次根式下定义，可启发学生：面对一个想说又说不清的概念，我们应该怎么办？学生当然会想到用“举例子”的方法.例子举不完怎么办？此时学生会想到用“样子+条件”的方法来下定义.如果学生想不到要说明二次根式具备的条件，可举出反例让学生在样子后面增加必要的条件.

活动二：性质的探究.

问题4：好，今天我们在“式”这个大家庭中又结识了二次根式这个新朋友，对于这个新朋友，我们要从哪些方面对它进行进一步的研究呢？

设计意图：让学生进一步明晰研究一个具体“式子”的基本套路.

生成预设：如果学生想不到研究具体式子的基本套路，可引导学生回忆在学习分式的过程中是怎样研究分式的，以此为类比源、生长点，让学生的视角定位到本节课要研究二次根式的“概念—性质—运算—应用”套路上来.

问题5：那么二次根式有哪些基本性质呢？

设计意图：让学生进一步明晰并运用从定义出发来研究基本性质的方法，探究想要得到的新结论.

生成预设：如果学生不会从定义法去研究基本性质，一是用举例归纳的方法得到（）2=a（a≥0）和= |a|；二是启发学生回忆在几何学习过程中是如何研究基本性质的，让学生想到从定义出发来研究基本性质.回归定义，应该有：若x2=a，则有a≥0，并且x=±，所以有（）2=a（a≥0）；或者可以从“式结构”上来做文章，从“式结构”（）2上看，是对a先开平方再平方，因此，可从平方根的源头即定义上来探究想要得到的东西；当然，也可以由（）2这个“式结构”想到“形结构”，这个“形结构”就应该是面积为a的正方形的边长定为，而边长为的正方形的面积也定为a，所以有（）2=a（a≥0）.当学生得到上述结论时，可追问：既然（）2=a（a≥0），那么=？从而得到二次根式的另一个性质=|a|.如果要追究为什么，那么完全可以依照上述方法进行探究.

活动三：运算的把握.

问题6：我们之所以研究性质，是为了更好地把握它的运算，那么你打算怎样研究二次根式的运算呢？

设计意图：让学生将研究分式运算的经验迁移过来，就是先研究乘除运算，再研究加减运算.

生成预设：如果学生要先研究加减再研究乘除，一是可以按照其思路进行研究；二是让学生回忆分式的运算是按什么顺序研究的，把学生的思维拉回到先研究乘除再研究加减运算上来.

问题7：那么如何研究二次根式的乘除运算呢？

设计意图：创设这样的思维场景，就是让学生用举例归纳的方法，得到二次根式乘除的运算性质.

生成预设：如果学生不知道如何下手解决这个问题，则可追问学生：研究二次根式的乘除运算，就是要研究一个什么样的东西？逼学生得到就是要研究“·=？”和“=？”.明确了要研究什么，学生当然会想到用猜想、赋值、尝试、归纳这种从特殊到一般认识事物的规律探究本问题了.

当学生会进行二次根式的乘除运算时，可追问学生：什么形式的结果可作为二次根式的运算结果呢？在此教师要作为探究的主体，领着学生得到最简二次根式的条件.在这个问题上，章首课可不必过多的探究，只要根据二次根式乘除的结果进行指导什么是最简结果，从而得到最简的二次根式条件即可.在以后具体的新授课中，可适当进行探究分析.

问题8：研究了二次根式的乘除运算，接下来我们就来研究其加减，那么如何来研究二次根式的加减运算呢？

设计意图：让学生将合并同类项的法则迁移到二次根式的加减运算上来，让学生尝到运用旧知识解决新问题的甜头.

生成预设：如果学生得到，可追问学生：这个结果正确吗？逼学生用估算的方法进行检验.如果不正确，那么什么样的二次根式可以相加减呢？让学生进行猜想、赋值、尝试、归纳，得到二次根式加减的运算性质.

活动四：应用的感受.

问题9：两个正方形的面积分别为S m2、9S m2，求这两个正方形的边长的和.

设计意图：通过实际问题，让学生进一步感受学习二次根式的必要性，以及学习二次根式的价值.

生成预设：如果学生解答有困难，则首先启发学生将问题数学化成二次根式，再运用二次根式的知识解决.

三、基于活动设计的教学反思

教学的目的不是为了传播知识，而是把知识作为训练思维的载体，在放飞思维的过程中让学生得到又一次的生长.上述活动设计对章首课的教学至少有三点启示.

1.重传承，更重生长.

章首课，对于学生来说一定是一个新的学习内容，面临的也是一个新的挑战.但是，这个挑战一定是建立在学生已有知识基础和学习经验之上的.从这个意义上说，这是个传承思维的过程.但是，教学中不仅要注意运用最近发展区理论，让学生自主传承、自主探究、自主发现，而且更要让学生在传承过程中，得到知识生长、经验生长、生命的成长.因此，从这个意义上说，教学活动又必须要让学生“在知识的活的身体里要有情感的血液在畅流”，以促进学生感悟生命的力量.只有让学生在思维活动中生命得到拔节提升，学生的生命才能得到自然生长，教学的最终目的才能落地生根.

2.重技能，更重策略.

如果说，新授课既要注意探究程序性知识，又要注意探究策略性知识，那么，章首课就更要重视策略性知识的探究.例如，本课例设计中一开始通过问题情境，让学生体悟到研究二次根式的必要性，然后根据学生的学习经验直入主题，研究二次根式的概念、性质、计算及应用，这是探究一个新知的大策略，在这个大策略下，又产生了如何研究二次根式的概念、性质、计算、应用这样一些小的策略.这些策略的研究一是基本经验，二是基于创新，又重在创新，而不是将学习的重点放在碎片化的技能训练上面，这是由章首课的地位与作用所决定的.

3.重内容，更重结构.

从某种意义上说，重内容就是学什么，重结构就是怎么学.教学活动的根本就是让学生学会学习，也就是让学生知道怎么学，所以说章首课更要在知识结构性上做好文章.这种结构上的东西，是由学生的悟性决定的.为此，要让学生找到知识的源头，也就是通常所说的知识的生长点，进而形成生长节，最终长成知识树.本课例中让学生借鉴分式的学习过程与经验，这就让学生找到了二次根式的生长源；研究二次根式的概念、性质、计算及应用等知识环节，就是让学生在生长点中逐步形成生长节；通过对上述知识的逐一探究，回头来看，便自然形成了知识树.显然，这是个由内往外的自然迸发的过程，具备了生长的本质特征，它定会为学生生命进阶注入新的能量，这也是生长数学所追求的教学意蕴.

1.卜以楼.“初中第一课”的教学设计［J］.中学数学（下），2016（11）.

2.卜以楼.“接班第一课”的教学设计［J］.中学数学（下），2015（12）.

3.苏霍姆林斯基.给教师的建议［M］.北京：科学教育出版社，2000.