2017年国内外六道不等式竞赛试题探析

☉广西恭城县恭城中学 韦兴洲

2017年国内外六道不等式竞赛试题探析

☉广西恭城县恭城中学 韦兴洲

2017年国内外高中数学竞赛陆续收官，不等式试题精彩纷呈，笔者摘取其中6道试题进行思考，有所收获.

题目1（2017年北京大学夏令营数学试题）求证：在△ABC中，cosA+cosB+cosC＞1.

证法1：在△ABC中，由A+B+C=π，得cosC=cos［π-所以，结合］上单调递减，得.利用三角函数的和差化积公式得cosA+

证法3：不妨设0＜A≤B≤C＜π.

综合（1）（2）（3），命题得证.

评注：在△ABC中，当A→0时，B+C→π，进而cosA+cosB+cosC→1.题目1与1965年民主德国的一道数学竞赛题相呼应，该题为：在△ABC中，求证：cosA+cosB+cosC≤，并说明何时等号成立.

题目2（2017年北京大学夏令营数学试题）已知a，，求证：

证明：由a，b，c＞0，abc=12，得. 而，从而原不等式成立.当且仅当时等号成立.

题目3（2017年塞浦路斯数学奥林匹克试题）已知x，y，z＞0，且x+y+z≥xyz，求证

证明：令，则.结合x，y，z＞0，且x+y+z≥xyz，得a，b，c＞0，且另一方面：从而原不等式成立.当且仅当即时等号成立.

题目4（2017年伊朗数学奥林匹克试题）若两个正实数x，y满足x4-y4=x-y，求证：

证法1：显然x2≠y2，结合平方差公式、立方差公式及得而，即（*）式成立，从而目标不等式成立.

证法2：显然x2≠y2，令x+y=t，结合x4-y4=x-y⇒（x2+y2）（x+y）=1，得由，得0＜t3＜2.另一方面：由0＜t3＜2得（**）式成立，从而目标不等式成立.

评注：在证法1中，由于x2≠y2，故的等号无法取到，在证法2中，由x2≠y2推出0＜t3＜2，故（t3-1）2≤1中的等号无法取到，而且证明过程中并没有用到x，y都是正实数这一条件，故结论加强为：若两实数x，y满足则.根据证明过程可得，当且

题目5（2017年基辅数学节试题）若实数x，y满足x2≥y，y2≥x，求证

证明：（1）当x≤0时，同理可证：当y≤0时即当x≤0或y≤0时，

先研究y2≥x≥y≥1时的情形.当y=1时，得x=1，此时

当y2≥x≥y＞1时，构造函数则则＞0，即g（x）在［y，y2］上单调递增，结合g（y）=（1-y2）（y2+1）＜0且g（y2）=y8-2y5+2y4-2y3+1=（y-1）（2y6+2y5+3y4+2y3+3y2+2y+1）＞0，从而x0∈［y，y2］，使得g（x0）=0.所以（fx）在［y，x0］上单调递减，在［x0，y2］上单调递增，则（fx）的最大值为（fy）与（fy2）中的较大者.而当y2≥x≥y＞1时1，且.所以当y2≥x≥y≥1时，（fx）≤1.同理可证，当x2≥y≥x≥1时，

评注：由g（x）在［y，y2］上单调递增，可得f（x）在［y，y2］上单调递增或先减后增，进而f（x）的最大值在x=y或x=y2处取得.另外，可以平移证明过程获得结论.题目5和题目6都体现了从函数的视角探究不等式，繁中有简，朴素自然.

题目6（2017年罗马尼亚数学奥林匹克试题）若n∈N*，求证

评注：迁移证明方法并注意到函数的奇偶性可得下列结论.

对n∈N*，x∈［0，π］恒成立.取

（1）sinmx≥msinx对m∈（0，1］，x∈［0，π］恒成立.

（2）sinmx≤msinx对m∈（0，1］，x∈［-π，0］恒成立.

解析上述试题过程中，应用了柯西不等式、权方和不等式、构造函数，以及凹凸函数的性质产生的搭桥法，有一题多解，有结论推广，得以管窥2017年高中数学竞赛不等式试题之部分特点.笔者水平有限，在此抛砖引玉，请同行指导.